当前课程知识点：测试与检测技术基础 > Week7 测试系统特性分析（2） (Analysis of measurement system II) > 测试系统对典型激励的响应函数 (The response function of typical signal stimulus) > 测试系统对典型激励的响应函数 (The response function of typical signal stimulus)
下面我们看一下
对于一个测试系统而言
它对典型的
激励的响应函数的情况
首先我们看一下
传递函数和频率响应函数
它们都是描述测试系统
对正弦激励的响应的
那么系统它的输出
通常是包括两个部分
一个部分呢是瞬态的输出
一个部分是稳态的输出
那么另外呢对于
瞬态输出为系统的自然响应
它是随着时间衰减为零
对于频率响应函数
描述系统的稳态的输出
它是传递函数的一种
特殊的情况
对于动态响应
可以通过施加其激励来获取
那么三种重要的激励信号
有单位脉冲
单位阶跃和斜坡函数
单位脉输入下的
系统的脉冲响应函数
对于一个单位脉冲函数δ（t）
它的傅立叶变换我们都知道
是△（jω）=1的
同样对于δ（t）的
拉氏变换△（s）也是等于1的
对于测试装置在
激励输入信号为δ（t）的时候
它的输出也就是Y（s）
它实际上是等于H（s）
对于Y（s）
作拉普拉斯变换的反变换
我们就可以得到装置输出的
时域的表达式
就是y（t）等于h（t）
h（t）是测试装置的
脉冲响应函数
或者叫权函数
对于一个一阶惯性系统
它的传递函数
H（s）等于1/（τs+1）
这是我们前面已经提到的
一阶惯性系统的
脉冲响应函数
那我们也可以求它的
脉冲响应函数
h（t）等于什么呢
等于1/τ乘以e的-t/τ的指数
对于一个二阶系统
它的传递函数
我们前面已经得到了H（s）
则我们可以求得
其脉冲响应的函数h（t）
在这个当中
我们可以看一下
对于脉冲响应函数h（t）
它有三种情况
一种是所谓的欠阻尼情况
h（t）等于后面这个式子
另外一种是临界阻尼的情况
这时候它的ζ＝1的
在欠阻尼情况ζ﹤1的
那么当ζ﹥1的时候
我们把它称之为
所谓的过阻尼的情况
图3.19当中
就是一个二阶系统的
脉冲相应函数情况
可以看到是在不同的阻尼情况下
ζ值的一个变化
对于它输出的脉冲响应函数的情况
接下来我们看一看
单位阶跃的输入下
系统的响应函数
以及阶跃函数
和单位脉冲函数之间的关系
我们可以看到
δ（t）=dζ（t）/dt
那么我们可以得到3.63式
也就是我们可以得到
ζ（t）等于-∞到t’
对δ（t）的积分
因此系统在单位阶跃信号激励下
它的响应
就等于系统对单位脉冲响应的积分
一阶惯性系统H（s）
等于什么呢
1/（τs+1）
那么我们对单位阶跃函数的响应
它的响应函数y（t）
就等于1－负t/τ的指数
那么对它进行拉普拉斯变换
我们就得到了Y（s）
得到了3.66式
当时间t＝4τ的时候
y（t）就等于0.982
这个时候系统的输出值
与系统的稳定时的响应值之间
它的差已不足2%
那么这个时候可近似认为
系统已达到稳定的状态
那么从图3.22一阶系统
对阶跃输入的响应
可以看到这样的情况
那么什么情况呢
一阶装置时间常数
应该越小越好
阶跃输入方式简单易行
这样实际上是
对于系统的一阶特性而言
是越来越好的
对于二阶系统
我们也曾经分析过
他们三种不同的情况
在图3.67式当中
是欠阻尼的情况
在3.68式当中
是临界阻尼的情况
那么在3.69式当中
是过阻尼的情况
那么由于时间关系
我们在对二阶系统的分析呢
不做详细分析了
图3.23表示的是
二阶系统对单位阶跃的响应
在ζ=0.6-0.8之间的时候
那么系统的响应特性
是对二阶系统而言
它的单位阶跃响应
是比较好的
做个小结
阶跃响应函数方程式当中
误差项均包含因子e（-AT）项
当t趋于无穷的时候
动态误差就为零
也就是它没有稳态误差
系统响应在很大程度上
取决于阻尼比ζ和固有频率ωn
如果ωn越高
系统的响应越快
阻尼比ζ直接影响系统超调量
和振荡次数
当ζ=0的时候
系统超调量为100%
系统就会持续的振荡
当ζ>1的时候
系统就蜕化为
两个一阶系统的串联
这个时候系统虽然没有超调
但是要很长时间
才能达到稳态
当ζ<1的时候
如果选择ζ在0.6-0.8之间
那么最大的超调量约在
2.5%-10%之间
对于5%-2%允许误差
这种情况的时候
我们认为达到了稳态
所需要调整的时间也最短
因此
许多测量装置
在设计参数的时候
通常是将阻尼比选择在
0.6-0.8之间
下面我们看一下
单位斜坡输入下的
系统的响应函数
斜坡函数可以视为
阶跃函数的积分
系统对单位斜坡输入的响应
可以通过系统对
阶跃输入响应的积分求得
在图3.25当中
就是一个一阶系统的单位阶跃响应
那么对于一个
单位斜坡函数的定义是
γ（t）等于什么呢
等于在t<0的时候
是=0的
在t≥0的时候
是=t的
对于一个一阶系统的
单位斜坡响应
那么它的式子y（t）
是由（3.71）式来表示的
那么它的传递函数Y（s）
是由（3.72）式来表示的
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