测试系统的动态特性 (Dynamic characteristics)在线视频

接下来我们给同学们介绍

3.4测试系统的动态特性

在动态特性的过程当中

我们将会介绍

它的线性系统的数学描述

以及用传递函数

或者是频率响应函数

描述系统的传递特性

那么第三个方面

会给各位同学介绍

测试系统

对典型激励的响应函数

第四个方面

会介绍一下测试系统

对任意输入的响应

最后呢我们给

同学们介绍一下

测试系统特性参数的

实验的测定

好，首先我们看一看

对于测试系统

它的动态特性

不仅取决于系统的结构参数

而且呢与输入信号

还是密切相关的

我们在研究测试系统的动态特性

实质就是建立输入和输出信号

和系统结构参数三者之间的关系

通常我们把这样的一个过程

称为数学的建模

那么动态特性的数学描述

有以下四种方式

一种是微分方程

一种是传递函数

还有就是频率响应函数

以及阶跃响应函数等

好，首先看一看

线性系统的数学描述

在一个动态测量当中

测试装置或系统本身

应该是一个线性系统

那么它的原因

有以下两个方面

一方面是

仅能对线性系统做

比较完善的数学处理

另外呢

在动态测试当中

要做非现行校正的过程当中

它是比较困难的

下面我们看公式3.3

线性系统的输入

和输出之间的关系

那么从3.3当中

我们可以看到

这是一个微分方程

在这个常系数的微分方程当中

x(t)为系统的输入

y（t）是系统的输出

那么an……ao

bm……到b0为系统的物理参数

它们均为常数

因此我们也可以称这个方程叫做

所谓的常系数微分方程

它所描述的是系统

那么这个系统是什么呢

是线性定常系统

或者叫线性时不变系统

下面我们看一下

线性时不变系统的基本性质

首先看一下叠加性

如果x1和y1分别是输入和输出

x2和y2分别表示

另外一对输入和输出

那么我们就有

x1+x2与y1+ y2相对应

这就我们所说的3.4式

比例性质是指

如果说x(t)和y(t)

是一对输入输出

则对任意的常数a

我们就有3.5式的关系

也就是ax（t）与ay（t）

同样也是一对输入和输出之间

的对应关系

那么对于微分特性

如果x（t）与y（t）

是一对输入输出

那么我们就有

dx（t）/dt

与dy（t）/dt

是一对输入输出的关系

那么积分的特性是

如果x（t）和y（t）

是一对输入输出

那么当系统初始状态为零的时候

那么就有x(t)的

0到T之间的积分

与y（t） 0到T之间的积分

是一对输入输出的关系

小结一下

系统x（t）＝x（t—a）

那么它是线性时不变的

系统y（t）＝t2x（t）

是线性时变的

因为当输入x（t）发生

时移t0的时候

x（t—t0）的响应

应该是t2x（t—t0）

而不是（t—t0）2x（t—t0）

系统y（t）＝x（t）的绝对值

是非线性时不变的

因为对于任意两个信号

x1（t）和x2（t）

以及两个常数a1和a2

通常是|a1x1（t）+a2x2（t）|

是≠a1|x1（t）|+a2|x2|

今后我们所讲的系统

在没有特殊声明的情况下

均是指线性时不变系统

通常我们把它记为LTI系统

下面我们看一下西蒙·拉普拉斯

实际上皮埃尔—西蒙·拉普拉斯侯爵

这个人是非常有名的

实际上皮埃尔—西蒙·拉普拉斯

它是在1749年3月23日出生

他是法国著名的天文学家和数学家

以及天体力学的科学家

那么拉普拉斯

他的一个最大的发明

是用数学的方法

证明了行星的轨道大小

只有周期变化

这就是著名的拉普拉斯定理

那么同时

它是拉普拉斯变换

和拉普拉斯方程的发现者

这些数学的工具

已经在科技的各领域当中

得到了广泛的应用

好，下面我们看一看

用传递函数

或者是频率响应函数

来描述系统传递的特性

首先我们看看

拉普拉斯变化的定义

如果y（t）满足下面的条件

那么当t≤0的时候

就有y（t）＝0

当t大于0的时候

y（t）在每个有限区间上

是分段连接的

这是第一个需要满足的条件

第二个需要满足的条件是

y（t）乘以e的-σt

它在0到-∞的积分

要小于∞的时候

在这个当中σ为正实数

也就是y（t）为指数级

那么我们定义y（t）的

拉普拉斯变换Y（s）

就为3.11式这个形式

具体为Y（s）＝y（t）

乘以e的-st

它的0到∞的积分

其中s为复变量

s＝什么呢

s＝a+jb

在这其中a是大于0的

那么对于一个传递函数而言

如果系统的初始条件为0

那么我们就可以对

3.3式作拉氏变换

在旁边我们可以看到3.3式

对3.3式做拉氏变换

我们就得到下面这个式子

就是Y（s）

乘以后边这个代数表达式

那么左边X（s）

再乘以下面这个表达式

下面我们看看

定义输入和输出两者之间的

拉普拉斯变换之比

我们把它称为传递函数H（s）

H（s）等于什么呢

等于Y（s）/X（s）

我们在这儿把它用3.12式来表述

传递函数的特性有哪些呢

首先我们看看H（s）

它是不因输入x（t）的改变而改变

那么在这当中仅表达的是

系统的特性

第二个方面呢是

H（s）所描述的系统

对任意一个具体的输入x（t）

都明确给出它相应的输出y（t）

在这个等式当中

各个系数an，an—1等等

和bm，bm—1等等

是由测试系统本身的结构特性

所唯一确定的常数

我们称为什么呢结构参数

下面看一看传递函数的特性

传递函数H（s）

表征了系统的传递的特性

公式当中分母s的幂次n

代表系统微分方程的阶次

也称为什么呢

传递函数的阶次

在上一页的式（3.12）当中

可以得到如下传递函数的特性

等式右边与输入x（t）无关

也就是传递函数H（s）

不会因为输入x（t）

的改变而改变

它仅表达系统的特性

由传递函数H（s）

所描述的系统

对于任一具体的输入x（t）

都明确给出了相应的输出y（t）

等式中各个系数an

an—1等

和bm，bm—1等

是由测试系统本身的结构特性

所唯一确定的常数

图3.6是一个组合系统串联

那么我们接下来

把传递函数的定义式3.12式

应用于线性传递元件的

串、并联的系统

这个时候我们就可以得到

简单的运算的规则

在上一页当中

图3.6（a）所示

是两个传递函数分别为

H1（s）和H2（s）的环节串联后

形成的传递函数H（s）

它等于下面这样的一个等式

那么对于图3.6（b）

它是两个环节

H1（s）和H2（s）

并联后形成的组合系统

这个系统的传递函数呢

就是H（s）＝Y（s）/X（s）

它等于什么呢

等于H1（s）+H2（s）

这是组合系统并联的情况

那么对于图3.6（c）

它是两个环节

H1（s）与H2（s）

连接成闭环回路的情况

那么这个时候

Y（s）＝X1（s）H1（s）

那么X2（s）呢

等于X1（s）H1（s）H2（s）

那么最后

X1（s）＝X（S）+X2（s）

那么系统的传递函数

H（s）＝Y（s）/X（s）

它等于什么呢

等于H1（s）/（1—H1（s）H2（s））

图3.6是一个组合系统的

闭环的回路的传递函数的情况

接下来我们看看传递函数的特点

H（s）与输入信号x（t）

及系统的初始状态是没有关系的

系统的动态特性

完全是由H（s）来决定

这是它的特点1

第二个特点是

H（s）只反映系统的传输的特性

与系统具体的物理结构

是没有关系的

也就是说

对于同一形式的传递函数

可以表征具有相同的传输特性的

不同的物理系统

那么H（s）的分母

取决于系统的结构

分子则与系统

与外界的关系

比方说输入点的位置

以及输入方式

被测量及测点布置的情况

是有关系的

第三个特点是

传递函数与微分方程

是完全可以等价

那么它们之间也可以相互转化

好，那么接下来我们看看

H（s）在复频域当中

表达系统的动态特性的情况

微分方程在时域

表达系统的动态特性

这两种动态特性表达的形式

对于任何的输入信号的形式

都是适用的

比方说n＝1

表示一阶系统的传递函数

n＝2为二阶系统的传递函数

N≥3表示高阶系统的传递函数

当n＝0的时候

0表示零阶系统的传递函数

那么这个时候

我们把它称之为

所谓的叫静态的灵敏度

下面我们看一下频率响应函数

首先看一下它的定义

那么它的定义是

系统的初始条件为0的时候

输出y（t）的傅立叶变换

Y（jω）和输入x（t）的

傅立叶变换X（jω）之比

我们称为什么呢

称为系统的频率响应函数

记为H（jω）或者是H（ω）

当系统初始条件为零的时候

我们对微分方程进行傅立叶变换

就可以得到频率响应的函数

那么下面这个式子

就是系统的频率响应函数的表达式

H（jω）等于什么呢

Y（jω）/X（jω）

将s＝jω代入到

这个传递函数的公式当中

那么我们就可以得到

频率响应函数

是传递函数的这样一个特例

那么对于线性系统的

频率响应函数H（jω）

它实际上是等于

用虚数指数函数

表示的正弦输出

与正弦输入之比

因此

我们将频率响应函数称为什么呢

称为正弦传输函数

根据频率保持的特性

如果x（t）＝Xsinωt＝Xe（jωt）

那么这个时候y（t）就等于

ysinωt+φ＝Yej（ωt+φ）

那么把输入和输出的各级导数

代入到线性的微分方程当中

我们就可以得到H（jω）

它等于什么呢

等于Y比上X乘以ejφ(ω)

H（jω）为复变量的函数

那么就有相应的模和相角

对于频率响应特性

H（jω）等于什么呢

等于A(ω)ejφω

对于它的幅频特性

那么A(ω)等于什么呢

等于Y/X

它与ω的关系

相频特性是φ(ω)＝φ

它与ω之间的关系

这两者分别是指

把幅频特性当中

A(ω)和ω之间的关系

相频特性指φ(ω)与ω之间的关系

A(ω)反映了线性时不变系统

在正弦信号的激励下

它的稳态输出与输入的幅值比

随频率的变化

我们把它称为系统的幅频特性

幅角Φ(ω)反映了

稳态输出与输入相位差

随频率的变化

我们把它称为系统的相频特性

下面我们看一看

传递函数和频率响应函数的区别

推导传递函数的时候

系统初始条件我们都设为零

也就是说对一个从t＝0开始

所施加的简谐信号激励

对它进行拉普拉斯变换

那么得到的解

我们会得到系统的输出

是由两个部分组成的

一部分由激励所引起的

它是反映系统固有特性的

瞬态输出

那么另外一部分是

该激励所对应的系统的

稳态的输出

对于频率响应函数H（jω）

输入为简谐信号的时候

在观察时刻

系统的瞬态响应已经趋近于零了

频率响应函数

表达的仅仅是系统

对简谐输入信号的稳态的输出

你看传递函数和频率响应函数

描述不同的输入状态系统的输出

那么我们注意看下面这张图

传递函数描述的是什么呢

是系统输入和输出之间的关系

它是指

系统在激励开始之后

有一段过渡的过程

经过一定的时间

系统就输出趋于定值了

那么下面这个图已经可以看到

是这样的一个关系

那么对于频率响应函数而言

它是描述系统的输入输出

当输入为简谐信号

观察时系统的瞬态响应已趋近于零

频率响应函数表达的

仅仅是系统对简谐输入信号的

稳态输出

那么从下面这张图当中

我们就可以看到

是上面描述的文字的情况

传递函数和频率响应函数应用场合

测试工作中

常使用频率响应函数

描述系统的动态特性

在控制技术当中

我们通常使用传递函数来研究典型的

由扰动引起的系统响应

以及一个过程

从起始的瞬度变化过程

到最终稳态过程的全部的特性

好，这节课就上到这儿

好同学们

这一课的内容

我们就讲授到这里

我们下节课再见