1.2 行列式的性质在线视频

嗯

同学们好

欢迎大家参加线性代数

这门课程的学习

本节我们要介绍的内容

是

行列式的性质

前面呢

我们已经

定义了行列式

大家也都知道一个n级行列式

它是由n阶乘项

所构成的

所以严格的按照这个定义

来计算这个行列式

其实难度还是很大的

那么这样的一种行列式的定义方式

或者说我们引出来的行列式的这样一个概念

它在运算上有什么样的特性呢

这就是我们这一章这一节我们要分析的

它在运算上有什么样的特性呢

对这个n阶行列式我们先来看

对这个n阶行列式我们先来看

如果是的

把行和列的位置

我们去做一个交换

原来是这个行列式的行

现在是变成了是

我这个行列式的列

也就是说

行和列据互换

得到了一个新的行列式

我们把它称作是原来这个行列式的

转置行列式

把它记作是呢

T

这个D的

右上角大T或者说呢是这样一个

D的一撇来表示

称作是呢 它的转置行列式

那好了

把行和列的位置我们去交换一下以后

得到了这个转置行列式

和原来的这个行列式是什么关系呢

哎

我们有第一个性质

行列式与它的转置行列式

值是相等的

也就是说

行列去互换以后

行列式的值

是不变的

为什么我们来看一下它的证明

对吧

那我这样一个

D

它的这样一个转置行列式

D的

大T

就是转置行列式

我们用的b1 b2 bn对吧

b21一直到b2n

一直到bn1 bnn来表示

如果转置行列式

我们用这样一个记号来表示

那大家就会发现

我们原来这个行业式

和它的转置行列式

市

它的元素之间就会有这样一个关系

什么关系呢

这就是bij

等于

aji

相对于是呢

行或列我们就互换了

对吧

行和列就互换了

因此

我们由前面

讲的定理3

对吧

我这个时候的这个行列式

按照定义呀

如果是的

我现在考虑的是

把列下标

按照自然顺序1 2 n来排

对吧

好

行下标

i1 i2 in

它实际上是1到n的一个n级排列

是吧

n级排列

那好了

我们实际上就可以把这样一个行列式

根据我的这样一个bij和

你这个aji是相同的

是不是啊

因此我们就可以把它转化为是什么呢

那就是bi11 bi22对吧

binn

它实际上的话呢

就可以把它转换成是一个新的

按照我们刚才说的

嗯 因为bi11

实际上就是等于的

a1i1啊

对吧

所以你把它这样一转换以后

转换以后其实就变成是什么呢

相当于我们这个时候

按照你这个行列式

这些原始的定义啊

第一个下标1 2 n

按照自然顺序排啊

第二个下标

i1 i2 in

是1到n的一个n级的排列

对不对啊

每一项的符号呢

是由这个排列的逆序数来确定的

那么刚好就是

等于我们最原始的

这个行列式的定义啊

因此的话呢

就是我把行和列去做一个互换以后

行列式的值呢

实际上

是不变的

也就是说呢 在我们的行列式里头

行

和列

某种意义上来讲

这个地位是相同的

因此

同学们以后会发现

那就是我们对行成立的这种性质

对列同样也是肯定的

反过来也是一样

对吧

对列成立的性质

对行也是成立的

因此呢

今后我们去讨论性质的时候

我们主要是针对行来讨论

对列

同学们可以得到完全类似的性质

完全类似的性质

接下来我们看第二个性质

第二个性质就是什么呢

如果我互换了行列式的某两行

或者两列

行列式的值是变号的

大家来看

如果我是D

是我们这个行列式

它的一般元素是aij

对吧 D1是什么呢

互换了某两行以后所得到的行列式

它的一般元素

我bij来表示

也就是说D1和D

它们的元素之间会有这样一个关系

当我这个m

不等于i或k的时候

就说不存在

第i行

第k行的时候

那bmj就等于amj

当我这个m是等于i或k的时候

对吧

这个时候的话呢

我的这个bij实际上就是等于akj

而我这个时候的bkj

它就是等于什么呢

aij

相当于呢

我这个m是等于i等于k的时候

相当于我们有这样一个关系

对吧

这是因为你交换两行所得到的

因此我们按照行列式的定义啊

大家看一下

D1

它相当于呢

我第一个下标按照自然顺序排了

对吧

它的一般项

前面的符号是由第二个下标排列的逆序数所确定的

是b1j1

大家看啊

一直到biji

然后呢到bkjk

一直到bnjn

那好

根据我们刚才讲的这样一个关系

对不对啊

呃

实际上的话呢

那在这种情况下我们会发现

对吧

我相当于在这里头的话呢

当你这样一个b1j1

然后是a1j1

因为我只要这个

相当于第一个元素

不是k不是i的时候 对吧

但是呢biji

它应该就是等于呢

akji

然后的话呢bkjk

它实际上呢

是等于我这样一个aijk

这是因为你交换了两行啊

所以在这种情况下的话呢

其实大家会发现

那我们如果

就是把这样一个位置顺序

我去交换一下

再换回来

就是把akji和aijk

对吧

我再互换一下这两个的位置

那这个时候的话呢

实际上我们就会发现

你的这样一个

第二个下标的排列

它相当于的是两个元素交换了一下位置

交换了一下位置以后

是吧

从这个j1 ji jk到jn

换的是什么呢

j1 jk ji jn

交换了两个元素的位置

奇偶性质是刚好改变的

奇偶性是不一致的

因此我们对到这个定义的时候

对吧

如果我们在这个时侯

把你的这个一般项的表达式

a1j1对吧

到aijk到akji一直到anjn

然后

所对应的第二个下标排列

对吧

也换成是什么呢

j1 jk ji jn

在这种情况下

就和我的这个

行列式的定义就完全就对应起来了

但是呢 和原来我们这个D1

它的这样一个

推导的这个表达式

去相比较的时候

对吧

相当于呢

你去交换了一下我的这样一个位置呢

所以奇偶性改变了

因此

前面我们多出一个负号来了

去掉这个负号以后

后面的部分

那刚好不就是我们的这个行列式D了吧

因此我们就引出来了

交换了这样一个两行以后

行列式的值

刚好是改变符号

那好了

为了以后我们这个表达起来

方便起见

同学们注意我们交换两行

我们经常就把它记为是呢

把ri和rj对吧

我们做了这样一个交换

用一个双向的箭头来表示

那如果说我交换的两列

那我们就用ci或cj

一种双向的箭头来表示

它们是去交换的两列

但这个只是个记号问题

那么有了这个性质以后呢

我们就可以得到一个推论

就是如果行列式

它有两行

或两列

对应元素是完全的是相同的

那这个行列式的值一定是等于零

为什么呢

你交换一下这两行以后

对吧

还是一样的

但是它的符号改变了

它就相当于是

D1会等于

我这个负的D啊

所以这个行列式是一定是等于零的

好接下来

我们看第三个性质

就是

如果把行列式的某一行

或者某一列的所有元素

我们都是去乘上同一个数k

这个时候的话呢

哎

我们会发现在行列式的计算的时候

某一行乘上了同一个常数k

这个常数k

可以提到这个行列式的符号外面来

这个证明的方案就是说比较简单

为什么呢

我们这个时候的左端

我按照行列式的定义

这样一些项目代数和啊

那么第i行ai

对吧

我这个时候直接ji

这一项的话呢

实际上的话呢

它是一个k乘上aiji

这个k的话呢

因为是代数和吧

每一项都有一个k

我就可以把它提出来啊

把所有的这样一个

项目这个k都提出来了

其实剩下的后面这一部分的话呢

它刚好不就是我的这个行列式D了吧

也就是说把k提出来以后

对吧

剩下的部分刚好就是我们的行列式D

也就是k乘上我们行列式D

也就是我们要证明的右端啊

好以后的话呢

我们把第i行乘了一个常数k

我们就把它记为是k去乘上ri

如果呢

第i列乘上的一个常数k

我们就把它记为是k去乘上一个ci

这个只是个记号

便于我们今后的话呢

就是大家来识别

有了这个性质以后呢

我们同样可以得到一个推论

就是行列式里头

如果某一行某一列

所有的

对吧

这样一个元素的公因子

我都可以提到行列式的符号

外面呢

因此的话呢

如果行列式中

某两行某两列

对应元素

成比例

那这个时候行列式

也是等于零

为什么呢

有了我们刚才讲的这个推论1

对吧

对应两行元素成比例

那就有公因子了

我把这个公因子就提到行列式的符号外面来了

所以剩下的行列式呢

对应有两行元素是相同

那行列式的值为零了

对吧

所以前面成了一个常数以后

这个常数乘上零最后还是等于零

比如说像这样一个三阶行列式

对吧

这个三阶行列式的话

大家来看

它的第一行和第三行

对应元素是成比例的

如果我们严格按照行列式的定义来做

应该有6项

但是现在的话呢

有了这个性质以后

很简单

对应元素成比例

行列式的值

一定是为零的

好

接下来我们看

行列式的第四个性质

也就是说呢

如果行列式的第i行

它的各元素都是两个数之和

那这个时候的行列式

我们就可以把它

分解为两个行列式之和

这两个行列式

分别以这两个数

不是这一行

两个数相加了吧

对吧

作为你第i行对应元素的位置

而其余未知的元素与行列式是相同的

什么意思

对吧

我们要计算的这个行列式

好 第i行

是由两个对应元素相加

所构成的

那好

我这个行列式

就可以把它分解为两个行列式去求和

怎么分解呢

除了第i行

其余的

都和原来这个行列式是完全一样的

那么第i行

第一个行列式的第i行

是由

第一部分元素所构成的

两项加起来啊

对吧

第二个行列式个第i行

刚好是什么呢

由第二个元素

所构成的

因此反过来去看这个性质

同学们会发现了 那两个行列式能不能相加了

从右端看 对吧

有条件

那就是什么呢

如果只有某一行元数是不相同

其余行的原则都是对应完全相同

那好

这个行列式可以相加

怎么相加呢

得到了一个新的行列式

就是把第i行的对应元素加起来就可以

其余行保持不动

对吧

其余行保持不动

当然这个证明的话呢

也比较简单

我们根据行列式的定义

对吧

它的一般项

是这样构成的

那这个时候的一般项的话呢

因为你的这个时候的ai

对吧

ji加上bi ji

我们刚好利用这个

求和的运算

我可以把它分为两部分了

而这两部分的话呢

前面这一部分

刚好就对应到了

第一个行列式

对吧

其余行都相同

就是把第i行

跟第一部分的元素所构成的

第二个行列式

刚好是什么呢

那就是

我其余行都相同

就是第i行

因我这个

第二个元素所构成的

对吧

也就是得变成两个行列式去求和

两个行列式去求和

所以呀

在这里头大家知道

我们引进了一个数学符号

我们经常关心的是什么呢

你这样一个数学符号

能不能去做这种

类似于我们的代数运算

比如说

加

减

乘

除

所以我们在这里头

可以给同学们提一个问题

就是我认为n级行列式

可不可以去做

加

减

这两种运算

令这个性质

在一定的条件下

我们是可以做这种运算的

那两个行列式的不能相乘

两个行列式

能不能相除

我们把这个问题

先给大家留下来

好

有了这个性质以后

比如说

像我们这样一个

二阶行列式

对吧

它的第二行

是由两个对应元素相加所构成的

那我就可以把这个

行列式分解为两个行列式相加

对吧

两个行列式相加

第一个行列式

第一部分元素所构成的

第二行

第二个行列式

它的第二行

是由第二部分元素

所构成的

行列式的性质呢

我们还有一个性质

那就是的

我们把行列式的某一行

它乘上了一个常数倍

加到另外一行上去

整个行列式的值是不变的

也就是说像这样一个行列式

对吧

我把这个

第i行的k倍

加到了第j行上去

行列式的值

保存不变

为什么呢

这个我们证明面的角度来看

实际上的话呢

也是可以很方便的

得到这样一个结论

实际上的话呢

大家可以按照定义

对吧

按照定义

把它分解为两个行列式相加

后面这个行列式的话呢

因为有一个常数倍k

把它提出来了

把它提出来了

实际上的话呢

有对应两行元素是相同的

行列式的值为零了

当然我们这里头不详细的去

描述这个过程了

同样

我们引进一个记号

我们这个数去乘上

第i行

把它加到第j行上去

那我们就记为是什么呢

kri

对吧

乘了k倍啊

加到了第j阶行上去

记为是rj

加了

就第j行

加上了k乘上ri

那完全类似的

我要是把

第i列的k倍

加到第j列上去

就变成是什么

cj

加上k

乘上ci

有了这些性质呢

大家可以来看一个例题

比如说

如果我们这样一个三阶行列式的值

是等于1

现在要同学们计算一下

我这样一个

D

也就是说这样一个

新的三阶行列式的值

等于多少

那么

我们根据这个行列式的性质

实际上的话呢

大家会发现

第一行

第一列

有没有公因值啊

我们发现第一列有公因值是4

那我先可以把4提出来啊

对吧

接下来的话呢

我们会发现

第二列

有两个对应元素去相加减

那我利用行列式的性质

我又可以把这个行列式

分解为两个行列式

去相加减了

所以利用加减运算的性质

我们可以这样来做啊

当然我也可以是什么呢

你会发现

对吧

我的第二列

第二列

它的第一部分

实际上的话呢

是由第一列的两倍所构成的

因此

我也可以是什么呢

把第一列

它的负二倍

加到我的第二列上去

那前面

二倍的

a11

二倍的a21

对吧

二倍的a31

不就全都消掉了嘛

所以同学们注意啊

利用性质去做运算的时候

不是唯一的

对吧

我们可以把它先分解为两个相加减

也可以是什么呢

把某一行的常数倍

或者某一列的常数倍加到另外一边去

在这种情况下

大家就会发现

第二列有公因子-3

我又可以提出来呀

所以

剩下的这个行列式

就是你提出来告诉我行列式

这个行列式是1啊

所以和前面的4乘上-3

结合起来

其实呢

最后我们算一下行列式的值

那就等于负的12了

那好了

我们前面谈到过

上三角 下三角

它的这个行列式的计算是很方便的

那现在我们

把一个复杂的行列式

如果能够化为是一个上三角或下三角形的行列式

那这个时候我们行列式的值

就很好计算了

所以有了这个性质以后呢

实际上

通过性质把一个复杂的行列式

化为一个上三角下三角的行列式

从而达到计算的目的

这是我们经常用的一种方式

这一点的话呢

同学们可以再看一个例题

比如说我们要继承这个三阶行列式

对吧

那好了

我通过性质

先考虑的话呢

你这样一个

这个方法不是唯一的啊

对吧

最左上角的1

第一行第一列1

不为0

所以我把1的常数倍

加到第二行

第一行的常数倍

只要把1倍加下去就可以了

所以就把

-1这个元素就化为零了

我把第一行的-2倍

加到第三行上去

对吧

把第一列

我们最后的这个a31这个元素2

就化为零了

化为零了

那好

到了这一步

对吧

我们再来看

再往下来做的时候

那就是什么呢

第二行

第三行

是不是啊

我如果是把第二行

这个2这个元素它的常数倍

加到第三行上去

把3所在的位置化为0

那是要怎么办呢

我只要把

第二行的

负的二分之三倍

它去乘上2不就等于-3嘛

加到第三行上去

把三这个元素不就

化为零了吧

所以呢

我们就化为

除了主对角线上的元素

对吧

下方的元素全部都为零

这就是个上三角形的行列式

上三角形的行列式

那不就等于

主对角线的元素乘起来吧

从而呢

把这个行列式就算出来了

所以按照定义

这是有6的阶乘项

就是说3的阶乘有6项

但是呢

我们用性质的时候

就没有必要这样

一项一项去计算了

直接把它化成是一个上三角行的行列式

我们就可以了

很方便的

把这个行列式的结果

计算出来

三阶

我们可以这样来做

同学们的话呢

也可以来看

你比如说更高阶的

像这种四阶的

对吧

我们可以完全类似的来计算

当然这里头呢

先从这个最左上角的这个元素

a11等于0

把它的常数倍加到底下去

把底下化为零很难

但是呢 我会交换一下

第一行

第二行啊

对吧

这样的话呢

最左上角这个元素就不为零了

但交换两行

行列式的值变号

我再把第一行

它的负一倍

加到第三行

负一倍加到第四行上去

对不对

结果呢

我就可以把行列式

化成是这样一种形式呢

到了这种形式以后呢

我们再来从第二行

第一个不为零的元素-1

对吧

我再把它的1倍

第二行的1倍

加到第三行上去

又把下面这个元素化为零了

好

在这种情况下的话呢

大家来看第三行

第四行

第四行

其实在第三行的话呢

我们会发现第三个元素是0

而第四行的第三个元素是不为零

是3了

所以

这个时候呢

你可以把第三行第四行

再去做一次交换

交换以后呢

出来一个负号

最终化成了一个

上三角行的行列式啊

所以行列式的值呢

就等于

对角线上的元素乘起来

再考虑前面

-1乘-1是等于1呀

是吧

所以最终的话呢

我们算出行列式的结果

这就是说呢

我们

提出来了行列式的概念以后

这一次

在这一节里头

我们

讨论的行列式的

五个性质

有了这五个性质以后

实际上的话呢

同学们可以看到

给我们提供了一个

计算行列式的一个很重要的方法

就是利用这些性质

把行列式

化为这种三角形的行列式

达到呢

计算去行列式的目的

本节

我们要介绍的

就这些内容

谢谢大家