3.1.2 向量组及其线性组合（二）在线视频

同学们好

欢迎来到我的课堂

今天我们继续学习3.1节向量组及其线性组合

前面我们介绍了向量线性组合与表示的定义

也看了一些简单的例子

那一般情况下

怎样判断向量是否能用某个向量组线性表示呢

如果可以 其系数又怎样计算

今天我们就来解决这个问题

含有m个方程

n个未知量的线性方程组

它有矩阵表示Ax=b 其中A为系数矩阵

将A的列记作

α1 α2,…,αn

线性方程组也有下面的向量表示

注意 线性方程组的向量表示恰好表明

列向量b能够由α1 α2,…,αn线性表示

因此 列向量的线性表示问题就是线性方程组是否有解的问题

于是我们有下面的定理

列向量β可以由列向量组α1 α2,…,αn线性表示

当且仅当

这一线性方程组有解

用线性方程组的矩阵表示

即Ax=β有解

其中

A为α作列构造的矩阵

注意

1 这一定理告诉我们

列向量的线性表示

就是线性方程组求解问题

2 对于行向量

它的线性表示可以转化为列向量来处理

这是因为 如果行向量之间存在这样的线性表示

那么将它们取转置 对应的列向量有相同的线性表示

例1

判断β是否能用下面两个向量线性表示

解 题中给出的是行向量

我们取转置 考察列向量的线性表示问题

即判定下列方程组是否有解

我们首先写出这个方程组的增广矩阵

注意虚线后面代表的是常数列

接下来我们要对这一矩阵做初等行变换

注意 对增广矩阵作初等行变换

这一过程就是线性方程组的消元解法

这一过程中得到的矩阵

都对应着原方程组的一个同解方程组

我们先用第一行第一列的元素1将下方的元素

消成0 接下来

为简化计算

我们将第二行除以-5

然后用第二行第二列的1将下方元素消为0

这样就得到了一个行阶梯形矩阵

所谓行阶梯形矩阵

即满足两点要求

一 非零行在上

零行在下

二

非零行的首个非零元的下方都是0

有了这个行阶梯形矩阵

我们就得到了原方程组的一个同解方程组

注意 这里第三个方程是0=1

显然矛盾

所以这一方程组无解

这就表明β不可以用α1 α2线性表示

例2

判断γ是否能用下面的向量组线性表示

同样我们考察列向量的问题

判定下列方程组是否有解

写出增广矩阵

利用第一行第一列的1消去下方的非零元

紧接着处理第二行

最后我们得到了行阶梯形矩阵

从这一阶梯形矩阵对应的同解方程组

我们可以看到不包含矛盾的方程

这一方程组是有解的

那么 为了继续求出它的解

我们对这一矩阵继续变换

我们将第一行减去2倍的第二行

得到这一形式

这个矩阵称为行最简形矩阵

所谓行最简形矩阵 满足三个要求

一 首先是行阶梯形矩阵

二 非零行的首个非零元是1

三 这些1所在列的其余元素都是0

根据这个行最简形矩阵

我们得到原方程组的同解方程组

即方程组的解为x1=2

x2=-3

这样就得到了

γ^T=2α1^T-3α2^T

所以

题中的γ可以由α1 α2线性表示

并且γ=2α1-3α2

根据例1 例2的计算

我们知道 设α1,…,αn为m维列向量

以它们为列

构造矩阵A 那么线性表示 线性组合的判定

即看是否存在x1,…,xn

使得下面的线性方程组有解

具体的算法是 由增广矩阵出发

经过初等行变换先化作行阶梯形矩阵

如果当中出现矛盾

则方程组无解

否则 继续施行初等行变换化为行最简形矩阵

最后

根据这一形式写出线性组合的系数

刚刚 我们讨论了一个向量

用一组向量表示的问题

接下来我们来看两个向量组之间的线性表示

定义

设有向量组A: α1,…,αs

以及向量组

B: β1,…,βt

如果B当中的每个向量都能由A线性表示

则称B可以由A线性表示

注意向量组之间的线性表示具有传递性

即 如果C可以由B线性表示

B又可以由A线性表示

则C可以由A线性表示

如果再进一步 向量组A和B能够相互线性表示

我们就称向量组A B是等价的

注意 向量组之间的等价关系

满足三个性质

1 反身性

任意向量组与其自身等价

2 对称性

若A B等价

则B与A也等价

3 传递性

若A与B等价

B与C等价 则A与C也等价

实际上 在数学中满足这三条性质的都称为广义的等价关系

例3

设矩阵A和B分别由三个3维列向量构成

并且

αi βi满足下面的关系式

试证明A B的列向量组等价

并且用β1 β2 β3

表示α1 α2 α3

这里

我们可以用初等的方法

根据这个向量方程组求解α1 α2 α3

但是 我们下面考虑用矩阵乘法来刻画向量组之间的线性表示关系

由题设 β1 β2 β3为列构造的矩阵

与α1 α2 α3为列构造的矩阵之间

有这样一个矩阵乘法关系式

我们不妨以β1为例做一个简单的验证

根据分块矩阵的乘法

等号两端第一列

左端的第一列为β1

右端的第一列

即α1 α2 α3 三个子块

对应乘以1 1 1 再求和所得

即 等于α1+α2+α3

因此

这个乘法公式恰好刻画了前面α与β之间的线性表示

我们将其中的3阶数值矩阵记作C

上式即B=AC

容易验证|C|=2≠0

即C是可逆矩阵

进一步计算可以得到C的逆矩阵

于是由B=AC得到 A=BC^(-1)

即得到下面这一形式

同样

根据分块矩阵乘法

我们将其写开 即得到

α1=3β1−3β2+β3

α2 α3的表达式以此类推

这就说明矩阵A B的列向量组能够相互线性表示

即它们等价

今天 我们学习了以下内容

首先

在线性方程组的背景下

我们给出了向量组线性表示的判定

从增广矩阵出发

给出了向量组线性表示的判定算法

(3)

我们给出了两向量组的线性表示和等价的定义

最后在例子当中

我们用矩阵乘法刻画了向量组的线性表示关系

回忆之前

我们曾经介绍过矩阵的等价

今天又学习了两个向量组的等价

大家可以思考 矩阵的等价和向量组等价之间有何联系

今天的课就到这儿

同学们再见