5.4.1 n 维空间中向量的内积在线视频

同学们好

欢迎大家来到我的课堂

从上一讲

我们得知并非所有的方阵都可以对角化

但是接下来的课程会告诉我们

实对称矩阵一定是可以对角化的

为了讨论实对称矩阵的有关性质

需要研究向量内积和正交的概念和性质

这就是本讲我们要学习的内容

什么是向量的内积呢

n维实向量α和β的内积

定义为两向量的分量 对应相乘再相加

这里需要注意的是

这是一种运算

两向量的内积运算结果是一个实数

如果将向量当作矩阵来看

内积就等于α的转置

乘以β

需要说明的是

在三维实向量空间中

内积也称为是点积 数量积

记作α点β

此内积是三维实空间中内积定义的推广

但是

当n 大于3的时候

已经没有直观的几何意义了

内积的性质

很容易验证

内积满足下面三条性质

对称性

线性性

非负性

由于内积满足非负性

即自己和自己的内积是非负的

我们就可以用内积的开方

来定义向量的长度

向量的长度也叫模或者是范数

定义为自己和自己的内积的开方

用向量两边加两个竖杠来表示向量的长度

长度是1的向量

我们称为是单位向量

下面看个例题

证明对任何非零向量α

α除以它的长度都是单位向量

我们需要计算α除以它的长度

这个向量的长度

等于它自己和自己内积的开方

基于内积运算的线性性质

α的长度分之一

是一个数

可以挪到内积运算外面来

这样就证明了

将向量α除以它的长度

就是单位向量

我们把这个向量

叫做α的单位化向量

对一个非零向量α求单位向量 α除以它的长度

就称为把α单位化

下面是有关长度的4条性质

非负性

齐次性

施瓦茨不等式以及三角不等式

性质1和2非常的显然

性质3

施瓦茨不等式在数学的许多分支都有广泛的应用

此处我们可以用性质3来证明著名的三角不等式性质4

也就是两边之和大于等于第三边

下面先证明性质3

施瓦茨不等式

如果β等于0

不等式显然成立

如果β不等于0

β和β内积大于0

我们取向量α+tβ

由内积的性质

α+tβ自己和自己的内积大于等于0

也就是说对任意的t

β和β的内积乘以t 平方加上2倍的α β的内积

乘以t 加上α和α的内积大于等于0

这是一个一元二次不等式

所以Δ 等于4倍的α β的内积的平方

减去4倍的α α的内积

乘以β β的内积 应该是小于等于0

从而我们可以得到

α β的内积的绝对值

小于等于α的长度乘以β的长度

这就是性质3的证明

这个证明是一个构造性的

我们构造了一个α+tβ

如果有同学知道一个向量

在另一个向量所在直线上的射影的表示的话

也可以试一试下面的方法

用射影向量的长度小于等于原向量的长度

来证明性质3

这个证明从几何上看起来更直观一些

接下来我们用性质3

证明性质4

计算

α加β的长度的平方

它等于α加β

自己和自己的内积

展开

就是后面这个式子

α β的内积小于等于α β内积的绝对值

所以我们又得到后面这个式子

性质3

α β内积绝对值

小于等于α的长度乘以β的长度

所以我们得到这个式子小于等于

α的长度的平方

加上β长度的平方

加上2倍的α长度乘以β的长度

就等于α长度

加上β长度的平方

所以我们就得到α加β的长度

小于等于α的长度加上β的长度

三角形两边之和大于等于第三边

如果α的长度乘以β的长度不等于0

我们可以将施瓦茨不等式等价于下面这个式子

-1小于等于α β的内积

除以α的长度乘以β的长度

小于等于1

这样我们就可以来定义

α和β的夹角

设α和β是两个非零的n维向量

那么我们定义它的夹角为θ

等于arccos α β的内积除以α的长度β的长度

当夹角是90度的时候

我们称这两个向量是正交的

也就是说

如果两向量内积是0

我们称它们是正交的

注意零向量和任何向量都正交

因为零向量和任何向量内积都等于0

n维单位向量组

ε1 ε2 εn 中

任意两个向量都是正交的

那怎么定义一个向量组是正交的呢

在R^n 中

两两正交且不含有零向量的向量组

我们把它都叫做正交向量组

注意的是第一条n维单位向量组

是正交向量组

第二条

如果正交向量组中

每个向量都是单位向量

我们给它起另外一个名字

叫做标准正交向量组或者单位正交向量组

下面例1

已知α1和α2

是两个正交的向量

我们需要求另外一个向量α3

使得α1 α2 α3是正交向量组

也就是说

它们两两都是正交的

我们假设α3这个向量 它的分量是

x1 x2 x3

根据正交

会得到α1和α3内积等于0

α2和α3内积也等于0

我们就会得到这样一个线性方程组

将系数矩阵化简

我们会得到基础解系

1 0 -1

我们将α3就取作这个基础解系

那么α1 α2 α3就是正交向量组

本讲我们学习了向量的内积 长度 夹角

它们的定义以及相关性质

以及正交 正交向量组

标准正交向量组的定义

同学们是否都明白了呢

本讲到此结束

同学们再见