6.3.2 正定二次型判定在线视频

同学们好

本节我们继续来学习正定二次型

在上一节

我们学习了正定二次型的概念

并给出了几个

正定二次型判定的定理

我们来看一下

定理1是

n元二次型正定的充分必要条件是

它的正惯性指数是等于n

由于正惯性指数等于n

也就说明A的特征值是全为正

所以我们有推论

对称矩阵A是正定的充分必要条件是

矩阵A的特征值都为正

进一步我们又给出了定理2

n阶对称矩阵A

为正定矩阵的充分必要条件是

A与单位矩阵合同

根据合同的定义

我们就可以得到一个推论

n阶对称矩阵A

是正定的充分必要条件是

存在可逆矩阵C

使得A等于C的转置乘以C

由于C是可逆矩阵

行列式不等于0

那么我们还得到了一个正定矩阵的必要条件

也就是说如果A是正定矩阵

那么行列式是大于0

再根据规范形是唯一的

以及合同的矩阵具有相同的规范形

我们还可以得到

如果A是正定矩阵，A和B合同

那么B也是正定矩阵

最后我们还给出了一个通过行列式

来判断矩阵A正定的一个充分必要条件

对称矩阵A是正定的充分必要条件是

A的所有顺序主子式都为正

接下来我们来看一个例题

判断下面二次型是否正定

根据我们前面学过的理论

我们可以用两种方法来解答这道题

首先来看第一种解法

我们先写出二次型的矩阵

这样一个对称矩阵

我们通过计算它的各阶顺序主子式

如果对称矩阵A的

所有顺序主子式都大于零

那么它就是一个正定矩阵

我们分别来看这个矩阵的

1阶、2阶和3阶顺序主子式

很容易看出来1阶顺序

就是a11这个元素

它等于5

当然是大于0

再来看2阶顺序主子式

它是由左上角的

5 2 2 1组成的行列式

它的值是等于1也是大于0

再来看矩阵的3阶顺序主子式

那么由于矩阵本身就是一个3阶矩阵

所以也就是也行列式本身

我们算出行列式的值也是等于1大于0

所以矩阵的3个顺序主子式都是大于0

我们得到二次型是正定的

接下来我们用另外一种方法

来判断二次型的正定性

就是通过特征值

我们来看特征方程

通过特征方程

我们求出矩阵A的3个特征值

分别是1和5加减2倍的根号6

而这三个数都是大于零

所以二次型也是正定的

那么这道题也给出了我们平常去判断

二次型正定性的可行算法

我们可以通过判断二次型的矩阵

所有的k阶顺序主子式

它要大于0来判断二次型的正定性

也可以通过去判断特征值

我们再来看一个例题

t取何值的时候

这个实对称矩阵是个正定矩阵

这里t是未知数

那么我们可以用

顺序主子式的办法去判断

由于1阶顺序主子式就是2

我们不需要去做判断

它本身大于0

我们来看2阶和3阶的顺序主子式

我们分别去求它的行列式

我们就得到了两个不等式

通过这两个不等式我们就取出

使得2阶和3阶顺序主子式大于0时

t的取值范围

我们就得到

t当大于负的3分之根号15

小于正的3分之根号15的时候

使得矩阵A是正定的

上面我们学习了正定二次型

那在实际应用中

我们还可以把二次型

进行进一步的分类

我们首先给出半正定二次型的定义

如果对任意的非零向量x

都有fx是大于等于0

那么我们就称二次型

是半正定二次型

并称对称矩阵A

是半正定矩阵

我们还可以去定义负定矩阵

和负定二次型

如果对任意的非零向量x

都有fx小于0

那么f我们就把它称为是负定二次型

对称矩阵A就称为是负定矩阵

类似的我们还可以去定义

半负定二次型和半负定矩阵

也说如果对任意的x不等于零

fx都是小于等于0

那么二次性f就称为是半负定二次型

对称矩阵A就称为是半负定矩阵

我们把以上性质都称为是

二次型和矩阵的有定性

不具有有定性的二次型

以及矩阵我们就把它称为是不定的

我们来看几个例子

f这个二次型它就是一个负定二次型

g这个二次型它是不定的

因为我们可以找到两个非零向量

比如(1,0,0)和(0,0,1)

我们把它代入分别得到二次型的值

一个是等于1一个是等于-2

这样二次型g就是不定的二次型

我们前面学习了正定二次型的理论

我们可以看到

如果f是正定二次型

那么-f就是一个负定二次型

因此对于负定二次型

我们还可以通过特征值去判断

也就是说负定二次型它的特征值都为负

此外对于正定二次型的时候

我们还可以通过k阶顺序主子式去判断

正定二次型它的所有k阶顺序主子式

都是大于0

那么我们就得到了

关于负定二次型的判定

就是这样一个定理

实对称矩阵A是负定的充分必要条件是

奇数阶的顺序主子式为负

偶数阶的顺序主子式为正

这个定理利用正定二次型的判定定理

以及行列式的性质

我们很容易就可以得到

下面我们来看一个例子

判别二次型的正定性

首先我们要写出二次型的矩阵

然后我们分别去计算

它的各阶顺序主子式

我们可以看到1阶顺序主子式

是-5小于0

我们再去计算

它的2阶和3阶顺序主子式

那么通过计算我们可以得到

2阶顺序主子式是大于0

而它的3阶顺序主子式

也就是行列式本身是小于0

那么对于这个二次型我们得到

奇数阶的顺序主子式小于0

偶数阶的顺序主子式是大于0

根据我们前面的判定定理

这个二次型就是一个负定二次型

我们今天的学习就到里

谢谢大家