5.4.2施密特(Schmidt)正交化方法在线视频

同学们好

欢迎大家来到我的课堂

本讲我们主要学习

施密特正交化向量组的方法

标准正交化向量组的方法

上一讲

我们学习了正交

正交向量组的定义

正交向量组

与我们学过的线性无关向量组之间

有什么联系呢

实际上正交向量组一定是线性无关的

请同学们和老师一起来证明这个定理

假设α1 α2 αs是一组正交向量组

根据线性无关的定义

假设存在一组数k1 k2 ks

使得k1α1加上k2α2加到ksαs

等于零

想用正交这个特点去证明

就需要构造出内积

我们试着用α1去和等式两边做内积

右边呢

还是0

左边

根据内积的性质化为这样的形式

由于α1 α2 αs两两正交

所以它们两两内积为零

等式左边就只剩下第一项

又因为α1是非0的向量

α1自己和自己的内积就不能等于零

所以只能k1是0

同理

用α2 α3 αs去和等式两边做内积

我们会得到k2

k3

ks都等于零

所以α1 α2 αs线性无关

这样就证明了我们的定理1

需要注意的是

线性无关的向量组未必是正交向量组

考察下面这个向量组

（1 0 0)

(1 1 0)

(1 1 1)

假设k1α1加上k2α2

加上k3α3等于零

此线性方程组的系数矩阵等于这样一个矩阵

很显然

α1 α2 α3是线性无关的

但是α1 α2内积等于1 不等于0

所以α1 α2 α3不是正交向量组

线性无关向量组未必是正交向量组

正交向量组有非常好的性质

是否可以将任何一个线性无关向量组化为正交向量组呢

实际上

任何一个线性无关向量组都可以用施密特正交化向量组的方法

找到一组正交向量组与其等价

我们以两个向量构成的线性无关的向量组为例

分析一下如何构造一组正交向量组与其等价

假设

α1 α2是R^n中的线性无关的一个向量组

我们想构造一组正交向量组β1 β2

使得β1 β2和α1 α2等价

两向量组等价的意思是什么呢

就是能够互相线性表示

先构造第一个向量

β1

β1只要满足能由α1 α2线性表示即可

所以我们最简单的令

β1=α1

再构造β2

β2需要和β1正交

而且α2能由β1 β2线性表示出来

所以不妨设

α2等于k1β1加上k2β2

在这里k2一定不会是0

否则的话

α2就变成了k1β1

k1β1又等于k1α1

就矛盾于α1 α2线性无关了

接下来我们算一下系数k1

用α2和β1作内积

将α2的表达式代入

我们得到如下这个式子

由β2 β1内积等于零

我们会得到α2和β1的内积

等于k1倍的β1 β1内积

然后我们就得到了k1这个系数

它就等于α2和β1的内积除以β1和β1的内积

同理

由α2和β2作内积

得到系数k2等于α2 β2的内积

除以β2和β2的内积

我们就已经得到了

α2等于k1β1+k2β2的形式

其中k1和k2我们都已经用α2 β1 β2表示出来了

我们得到了β2的构造方法

k2β2等于α2减去β1的一个倍数

它前面系数是什么呢

它前面的系数是α2β1的内积除以β1

β1的内积

β1的内积

事实上

从几何角度来看

我们推出的这个式子

表明β1和β2是两个垂直的向量

我们将α2在这两个垂直的方向上做了一个分解

用同样的方法

我们可以把n个线性无关的向量

组成的向量组化为正交向量组

这种方法就是施密特正交化方法

设α1 α2 αs是线性无关的向量组

构造下面的β1 β2 βs

使得β1 β2 βS 是正交向量组

而且与α1 α2 αs等价

其构的方法是令β1就等于α1

β2呢

等于α2减去α2和β1的内积除以β1和β1的内积

再乘以β1

再乘以β1

β3是等于α3减去β1的倍数

再减去β2的倍数

它们前面的系数分别是

α3和β1的内积除以β1和β1的内积

α3和β2的内积除以β2和β2内积

这就是施密特正交化方法

任一线性无关的向量组

不仅可用施密特正交化方法

构造一组正交向量组与其等价

进一步我们还可以

将得到的向量组中每一个向量都单位化

构造一组标准正交向量组和它等价

下面就是将线性无关的向量组

标准正交化的方法

第一步我们需要将其正交化

用施密特正交化方法将α1 α2 αs

化为与之等价的正交向量组β1 β2 βs

第二步单位化

将βi除以

它自己的长度

得到γi

那么

γ1 γ2 γs就是和α1 α2 αs等价的标准正交向量组

例1

将线性无关的向量组α1 α2 α3化为标准正交向量组

首先

第一步

我们需要用施密特正交化方法

把它化成正交向量组

令β1是α1

β2呢

等于α2减去β1的倍数

系数是α2和β1作内积除以

β1和β1作内积

β3等于α3减去β1的倍数减去β2的倍数

这样我们算出来的β1

β2

β3就是正交向量组

而且它和α1 α2 α3是等价的

第二步

我们需要将这个正交向量组化成标准正交向量组

也就是将每个β除以它自己的长度

得到γ1 γ2 γ3

γ1 γ2 γ3

就是我们需要求的标准正交向量组

而且和α1 α2 α3等价

例2

已知α1等于 （1 1 1）

求一组非零向量α2 α3

使得α1 α2 α3两两正交

由题意

我们知道α2 α3应该满足方程α1和x的内积等于零

也就是说

这样的一个线性方程组

通过解它 得到基础解系

是ξ1和ξ2

就是α2 α3需要满足的

但是α2 α3是要求两两正交

ξ1 ξ2 只是线性无关的

所以我们需要将ξ1和ξ2再正交化

令α2等ξ1 α3等于ξ2减去ξ1的倍数

这样就得到了α2 α3是正交的

同时

它们和α1也是正交的

所以α1 α2 α3是两两正交的

通过本讲的学习

我们知道了正交向量组一定线性无关

而且我们可以将任意一个线性无关的向量组

用施密特正交化方法将其正交化

然后再单位化

就会得到一组与原向量组等价的标准正交向量组

本讲到此结束

同学们再见