5.1 相似矩阵的定义及性质在线视频

同学们好

欢迎来到线性代数课堂

可以说线性代数课程的研究对象是矩阵

本课程中我们会学到矩阵之间的三种关系

等价 相似 合同

为何要学习矩阵之间的这些关系呢

实际上是因为在实践生活中遇到的问题

转化为矩阵时

一般都比较复杂

我们可以通过矩阵间的这三种关系

将复杂的矩阵化简为最简单的矩阵

对角矩阵

同学们应该已经学习了什么叫做两个矩阵是等价的

矩阵A和B等价

是指矩阵B可以由矩阵A

经过一系列的初等变换得到

换句话说

就是存在可逆矩阵P Q 使得P乘A乘Q等于B

所以我们可以找到合适的可逆矩阵P和Q

使得

方阵A与对角矩阵等价

但是等价这种关系

是有可能改变矩阵的很多性质的

比如两个等价的方阵的行列式一般不相同

从本节课开始

我们要学习矩阵之间的第二种关系

相似

相似这种关系可以保持矩阵的大部分性质不变

所以非常有用

本章我们会将一个复杂的矩阵相似于对角矩阵

如何定义相似的这种关系

才能比等价这种关系有更好的性质呢

请同学们跟老师一起来学习

相似对角化这一章

本章共分四节

从章节标题我们可以看出

本章主要是用特征值和特征向量作为工具

研究矩阵的相似对角化问题

特别是一类特殊的矩阵

实对称矩阵的相似对角化问题

我们先看第一节是如何定义相似这种关系

使它比等价这种关系更好的

设A和B都是n阶方阵

如果存在可逆矩阵P 使得P的逆AP等于B

我们就称A相似于B

B是A的相似矩阵

对A进行运算P的逆AP

称为对A进行相似变换

可逆矩阵P 称为把A变成B的相似变换矩阵

相似的定义中

A左右两边的矩阵是互逆的

比等价要求的条件加强了

显然相似一定是等价的

相似是否能比等价保持更好的性质呢

我们一起来学习相似矩阵的性质

相似矩阵满足反身性

对称性

传递性

反身性即自己和自己相似

我们只要取P为单位矩阵E

就得到A相似于它自己

对称性

如果A相似于B

则B相似于A

传递性

如果A相似于B B相似于C 则A相似于C

下面我们来证明对称性

如果A相似于B

则存在可逆矩阵P 使得这个式子成立

等式两边左乘P

右乘P的逆

就得到存在可逆矩阵P的逆 使得B相似于A

由于对称性

A相似于B

也可以说成A和B相似

同样用相似的定义及矩阵乘法满足结合律

可以得到性质（3）的证明

除了反身性 对称性 传递性

相似矩阵

还有如下的性质

它们有相同的行列式

相同的秩

它们的逆 高次幂也相似

先证明有相同的行列式

计算B的行列式

它等于

P的逆乘以A乘以P的行列式

由于矩阵乘积的行列式等于行列式的乘积

而且

P的逆的行列式和P的行列式乘起来等于1

所以B和A的行列式

是相等的

接下来我们证明 秩相等

由于可逆矩阵P的逆和P

都可以写成一些初等矩阵的乘积

也就是说A左乘了一些初等矩阵

右乘了一些初等矩阵

得到了矩阵B

根据矩阵乘以初等矩阵秩不变的性质

我们就能得到A和B的秩相等

再看性质3

我们将P的逆AP等于B这个式子两边

取逆

就可以得到性质3

性质4的证明

因为A相似于B

所以存在可逆矩阵P使得这个式子成立

接下来计算B的m次方

m个P的逆AP相乘

由矩阵乘法满足结合律

将中间的P乘以P的逆先乘起来

都得到单位矩阵E

中间只剩m个A相乘

最后得到的就是

B的m次方等于 P的逆乘以A的m次方乘以P

B的m次方就相似于A的m次方

用性质4

我们很容易得到下面的结论

设φ(λ)是λ的一元多项式

如果n阶方阵A相似于B

我们就可以得到φ (A)

相似于φ (B)

接下来我们进入第三部分的学习

相似矩阵性质的应用

计算矩阵A的多项式

若A相似于对角矩阵Λ

则存在可逆矩阵P 使得P的逆AP等于Λ

由性质我们知道下面三个式子成立

P的逆A的m次方乘以P等于Λ的m次方

A的m次方就等于P乘以Λ的m次方乘以P的逆

φ (A)等于P乘以φ( Λ)乘以P的逆

而对于对角矩阵Λ的计算

有很好的性质

Λ的高次幂

及Λ的多项式都只需要计算

对角线上的元素的高次幂

及多项式即可

接下来我们看一个例题

已知矩阵A Λ和P

3个二阶方阵

第一问要验证

P的逆AP等于Λ

也就是想验证A和Λ相似

第二问求A的k次方

第一问

如果我们直接去验证

这就需要计算P的逆

如果我们将需要验证的式子两边左乘P

得到AP等于PΛ

只需要计算PΛ和AP

用矩阵乘法很容易计算PΛ和AP的结果相同

再看第二问

由第一问知Λ和A是相似的

由相似的性质我们能得到

A的k次方等于P乘以Λ的k次方乘以P的逆

其中Λ是对角矩阵

所以它的k次方等于对角线上元素的k次方

P的逆我们是可以计算出来的

然后将它们三个乘起来

即可得到我们要求的结果

A的k次方

A的k次方的元素

大家看一下是比较复杂的

大家课后可以自己尝试一下

直接算A的k次方

是比较困难的

可以用数学归纳法

显然没有我们这样用相似于对角矩阵计算简便

通过本讲

我们知道相似矩阵有很多相同的性质

如果知道方阵A与一个对角矩阵相似

我们可以利用相似的性质

很简单的计算A的行列式 秩

方幂

多项式等等

既然这样

我们就自然的会问

方阵A满足什么条件才能相似于一个对角矩阵呢

若知道方阵A能相似于一个对角矩阵

怎么求相似变换矩阵P和对角矩阵Λ呢

这些也是本章后面要解决的核心问题

本讲到此结束

同学们再见