2.5.1 矩阵的秩（一）在线视频

同学们好

欢迎大家来到我的课堂

这次课

我们一起来学习矩阵秩的定义

以及用初等变换求矩阵的秩

矩阵的秩是线性代数中一个非常重要的概念

那么

为了给出矩阵秩的定义

我们首先引入一个辅助概念

k阶子式

所谓的k阶子式

它指的是从A矩阵中A的规模是m乘n

任取k行k列位于这些行和列相交处的元素

保持它们原来的相对位置所构成的k阶行列式

那么我们就称为A矩阵的一个k阶子式

显然k小于等于mn中较小的那个数

好我们看一个例子

这是一个三乘以四规模的一个矩阵A

我们可以计算A的二阶子式

那么根据定义

我们可以在A中任取两行两列

比如说我们可以取A中的第一行和第三行

第一列和第三列

那么在这些相交的位置

我们有四个元素

1326我们保持它的相对位置不变

得到一个二阶子式

我们还可以取A的第一行

第二行

A的第一列第四列

那么位于相交处

有四个元素1001

我们保持它的相对位置不变

可以得到另外一个二阶子式

当然我们还有别的选取方法

那么二阶子式它实质上也是一个行列式

我们可以计算出它的值

第一个二阶子式等于零

第二个二阶子式等于一

显然

一个m乘以n的矩阵

它的k阶子式一共有Cm^k这样一个组合

再乘以Cn^k

有了k阶子式的定义之后

我们就可以定义矩阵的秩

如果A中不为零子式的最高阶数是r

既存在r阶子式不为零

而任何的r加1阶子式皆为零

那么我们称r是矩阵的秩

我们记为秩A等于r或者rA等于r

我们规定

零矩阵的秩就等于零

而从矩阵秩的定义出发

我们可以很容易地推导出以下性质

第一个

一个矩阵的秩大于等于零

小于等于mn中较小的那个数

第二个

由于行列式与其转置行列式相等

所以A的秩与A转置的值是相等的

第三个

如果一个方阵的行列式不等于零

那么这个方阵的秩就等于n它的阶数

而如果一个方阵队的行列式等于零

那么A的秩小于n

而我们把可逆矩阵又称为满秩矩阵

因为可逆矩阵A的行列式不等于零

A的秩等于n

所以又称为满秩矩阵

而不可逆矩阵呢

又称为降秩矩阵

好我们来看一个例子

我们给出一个三乘四的矩阵A

我们要算它的秩

那么

根据我们刚才的定义

所谓一个矩阵的秩

它指的是

如果存在一个非零的二阶子式

而所有的2加1阶子式都等于零

那么矩阵A的秩就得r

我们很容易的可以找出它一个非零的二阶子式

1001行列式等于1不等于零

我们再来计算A的所有的三阶子式

这个时候

根据我们的公式

它的全体三阶子式等于

Cmk乘以Cnk

所以应该有四个

我们分别把这四个三阶子式写出来

比如说第一个三阶子式

那么我们取123行

同时我们去取它的123列

我们还可以去取它的123行

124列

以及123行

134列和我们的123行

234列

通过简单计算

它所有的三阶子式全部都等于零

所以

根据定义A的秩等于二

好我们再看一个例子

我们求这样一个矩阵

A的秩

我们发现

在这个矩阵中

它的最后一行是一个全零行

而且呢

它还是一个行阶梯型的矩阵

有三个非零行

所以我们知道这样一个矩阵A

它的全部的四阶子式为零

此外

还存在一个三阶子式

我们可以取这样一个矩阵

A的123行

124列

这样一个三阶子式等于24不等于零

所以矩阵A的秩等于三

从上面这两个例子

我们看出了

如果我们要根据定义去求一个矩阵的秩的话

我们需要依次考虑它的从低阶到高阶的子式

那么如果A的规模比较大的话

这样一个计算过程是很麻烦的

而我们之前又知道一个行阶梯形矩阵

它的非零行的数目就是这个矩阵的秩

这就给我们一启发我们能不能够通过初等行变换

把一个矩阵A化为行阶梯形矩阵

而非零行的数目

就是这个矩阵的秩不需要进行计算

这样一个思路是可行的吗

答案是肯定的

所以

接下来我们来看到如何用初等变换来求矩阵的秩

我们知道

初等变换可以得到两个等价的矩阵

那么这两个等价的矩阵秩会发生改变吗

不会

矩阵经初等变换之后

它的秩是不变的

我们可以对这个定理进行一个简要的证明

我们先证明

如果A矩阵经过一次初等变换变为B

那么A的秩小于等于B的秩

我们不妨假设A的秩等于r

而且A的某个r阶子式D不等于零

我们分别考察三种初等行变换

第一种

把A的第i行和第j行互换得到B

或者A的第i行乘以k得到B

那么这个时候

在B中总能够找到与D相对应的二阶子式D1

此时

D1

要么等于D要么等于-D或者呢

等于k乘以D

而由于D1不等于零

所以B的值大于等于r

如果我们把A的第j行乘以k加到第i行

得到B矩阵

因为对于变换

i行和j行互换结论是成立的

所以我们只需考虑

把A的第二行乘以k加到第一行

得到B这样一种特殊的情形

下面我们分两种情形讨论

第一种

如果A的r阶非零子式D

它不包含A的第一行

这个时候D也是B的r阶非零子式

那么显然B的秩大于等于二

第二种情形 D包含A的第一行

这个时候

我们把B中与D对应的r阶子式记为D1

我们对D1进行行分化

那么它对应的行列式可以写为这个样子

好那么根据行列式的运算性质

我们可以写为D1

等于D加上k乘以D2

如果p等于二的时候

我们有D1等于D不等于零

而如果这个p不等于二的时候

这个时候D2也是B的二阶子式

那么我们有D1减去k乘D2等于D不等于零

这个式子

我们可以推出来D1与D2不同时为零

所以

综合这两种情形

我们在矩阵B中总存在二阶非零子式

D1或者D2

所以B的秩大于等于r

那么在上面这个证明中

我们看到了

如果A经过一次初等行变换变为B

我们有A的秩小于等于B的秩

由于B也可以经过一次初等行变换变为A

那么同样的

我们有B的秩小于等于A的秩

所以最终我们说明了A与B的秩是相等的

经过一次初等行变换矩阵的秩不变

那么经过有限次的初等行变换

矩阵的秩也是不变的

假设A经过初等列变换变为B

那么A的转秩经过初等列变换也变为B的转秩

那么由上面的证明

我们知道A转秩的秩和B转秩的秩也是相等的

而转置不会改变矩阵的秩

所以我们推得A的秩等于B的秩

那么

综上

如果A经过有限次初等变换变为B

那么A的秩等于B的秩

好由这个定理出发

我们回顾一下A与B等价的充要条件是存在的

可逆的矩阵P和Q使得P乘A乘Q等于B

那么我们可以得到下面这个推论

对于矩阵A和B若存在可逆矩阵P和Q

使得P乘A乘Q等于B

那么A与B的秩相等

而在这样一个定理的证明过程中

我们很自然的可以得到求矩阵秩的算法

那就是我们利用初等行变换将矩阵化为行阶梯矩阵

而非零行的数目

就是这个矩阵的秩

显然

采用初等行变换法求矩阵的秩

比采用定义去计算矩阵的秩

大大简化

好我们来看一个例子

我们现在要用初等变换法来求矩阵A的秩

那么这样一个矩阵是一个四阶方阵

根据我们刚才的算法

我们要用初等行变换法

把这个矩阵化为行阶梯矩阵

非零行的数目就是矩阵的秩

我们一列一列来做

我们首先利用这个1把1以下的三个位置变成零

所以我们可以把

负1乘到第一行加到第二行

负3乘到第一行加到第三行

负1乘到第一行加到第四行

处理完第一列

接下来

我们处理第二列

利用a22等于二这个位置

把下面两个位置变成零

所以我们可以用负1乘以第二行加到第三行

负2乘以第二行加到第四行处理完第二列

处理完第二列之后

我们发现第三行是一个全零行

我们可以把第三行和第四行做一个交换

这个时候

我们得到一个行阶梯形矩阵

而行阶梯形矩阵中

非零行的数目就是这个矩阵的秩

所以A的秩等于3

对于矩阵的秩的性质

我们前面已经提到了一些最基本的性质

下面我们把它们归纳如下

第一条一个矩阵的秩大于等于零

小于等于mn中较小的那个数

第二个转秩不会改变一个矩阵的秩

第三条如果A与B等价

那么A与B的秩相等

第四条

如果矩阵PQ可逆那么P乘A乘Q的秩等于A的秩

第五条

AB这样一个大矩阵的秩大于等于

AB矩阵中秩大的那个小于等于A的秩

加上B的秩

特别的

当B=b为一个非零列矩阵时

我们有

AB这样一个大矩阵的秩

大于等于A的秩小于等于A的秩加上1

第六条

A加B的秩小于等于A的秩

加上B的秩

第七条

A与B乘积的秩小于等于

A的秩和B的秩中较小的那个

第八条

如果A乘B等于零矩阵

那么A的秩加上B的秩等于n

在这个地方

n是A的列数也是B的行数

我们利用矩阵秩的定义以及相关的定理和推论

我们可以对这八条性质进行证明

在这个地方我们就不再赘述

好我们这节课就上到这里

同学们再见