2.1 矩阵的概念在线视频

同学们好

欢迎大家来到我的课堂

我们一起来学习第二章矩阵

早在18世纪

法国数学家拉格朗日就已经用到矩阵的概念了

矩阵这个词首先由英国数学家希尔维斯特使用

英国数学家凯莱

它首先把矩阵作为一个独立的数学概念

并发表了一系列关于矩阵的文章

凯莱被认为是矩阵理论的创立者

那么在这一章我们将一起来探讨以下内容

矩阵的概念

矩阵的运算

逆矩阵 矩阵的初等变换和矩阵的秩

我们首先来学习矩阵的概念

矩阵是什么呢

矩阵的概念是凭空而来的吗

我们不妨来看一个实际生产中的例子

某企业生产四种产品

各种产品的季度产值如下表

那么在左边这样一个表格中

我们可以看到它的相应的行代表的是季度

相应的列 分别代表的是甲乙丙丁四种产品

数字58它代表的是一季度以产品的产值

其余数字具有类似的含义

如果我们把这些数字

保留它的相对位置不变

把它们单独拉出来

并且呢我们用一对圆括号把它封装

这个时候我们将得到一个数表

这个数表就把这个企业生产的产值

这样一个这样的重要信息给它抓取出来了

我们在看到数学中大家非常熟悉的n元线性方程组的解

那么在这n个线性方程组中

x1 x2到xn是未知量

aij是系数

那么右端由bi所构成

我们知道这样一个线性方程组的求解

跟我们的未知量用什么样的变量表示没有关系

我们可以用xi表示

也可以用yi或者zi表示

我们把系数ai j和常数项bi我们把它拿出来

并且呢我们保持它们的相对位置不变

同样的我们也可以用一对圆括号把它封装起来

那么对线性方程组的研究

就可以转化为对这张表的研究

这张表在我们的2.5节

我们把它称为线性方程组的增广矩阵

那么从上面这两个例子中

我们把这些来自于生产生活实际中的数表

把它们的一般规律归纳起来

我们就可以得到矩阵的概念

所谓矩阵

它指的是由m乘n个数aij

i从12一直到m

j从12一直到n

排成的m行n列的数表称为m行n列矩阵

简称mxn矩阵

那么其中的aij我们把它称作矩阵第i行第j列的元素

也就是说我们把m乘n个数

我们再用一对圆括号封装起来的矩形阵列

就是我们的矩阵

我们可以用大写的数学字母A表示这样一个矩阵

也可以把它写为aij

再加上一对圆括号

甚至我们还可以把这个矩阵的规模

m×n写在右下角

我们注意到

如果一个矩阵它的元素全部是0

我们把这样一个矩阵叫做零矩阵

元素均非负的矩阵

我们把它称之为非负矩阵

特别的

如果在一个矩阵中

它的行数等于列数

那么这样的矩阵我们称为n阶矩阵

或n阶方阵 我们把它记为An

那么在这个地方

大家要把矩阵的概念和行列式相区别

对于矩阵而言

它有m乘n个数m和n可以不相等

那么构成一个长方形的阵列

当m等于n的时候呢

它就构成一个正方形的阵列

我们是用一对圆括号

把它们封装起来

而行列式呢 则是n行n列n平方的元素

它是正方形的

我们是用一对单数线把它封装起来

元素是实数的矩阵

我们把它称之为实矩阵

而元素是复数的矩阵

我们把它叫做复矩阵

特别的

如果是一个1乘n的矩阵

也就是说这个矩阵只有一行

这样的行矩阵

我们把它称为n维行向量

其中的元素称为分量

n×1的矩阵

也就是说 这样的矩阵它只有一列

我们把它称为n为列向量

行向量与列向量统称为向量

比如说我们的向量通常用希腊字母表示

行向量α等于

a1 a2一直到an

为了区分分量我们中间加上逗号

列向量β

它的分量分别是b1 b2 bn

好

我们看下面的例子

第一个矩阵

那么第一个矩阵它是两行四列

所以呢这是一个2乘以4的矩阵

并且它是实矩阵

第二个

第二个矩阵中i是虚单位

所以这是一个复矩阵

并且它是三行三列

所以它是一个3乘以3的矩阵

也叫做三阶方阵

第3个

第三个矩阵

它只有一个元素

它是一个一行一列1乘以1的矩阵

同学们要注意

1乘1的矩阵a11 就是我们的数字a11

矩阵的规模是各种各样的

那么如果有两个矩阵

它们的行数和列数都相等

这样的矩阵们把它叫做同型矩阵

对于同型矩阵A和B而言

它们的规模

都是m×n

如果A B对应位置上的元素相等

也就是说aij等于bij i从1到m j从1到n

如果满足这样一个条件的话

我们就称矩阵A与矩阵B相等记为A等于B

请同学们看下面这个例子

这儿有两个矩阵

A矩阵和B矩阵

而且呢A B是同型矩阵 规模都是2乘以3

现在我们假设A等于B

那么请问系数xyz分别是多少

好

我们根据同型矩阵相等的定义

我们发现在B中x是B12的位置

那么它应该与A中A12的位置相等

所以x等于2

y对应的是A中第一行第一列的位置

所以y等于3

而z对应A中第二行第三列的位置

所以z等于2

下面我们来看一些特殊形式的矩阵

比如说请同学们看这样一个线性变换

它的第一个方程是y1等于λ1乘以x1

第二个方程是y2等于λ乘以x2

最后一个方程是yn等于λnxn

那么在这样一个线性变换中

它的特点就是yi只与xi有关

那么同样的我们可以把未知量xi和yi都把它拿掉

那么剩下的系数我们同样可以把它排成一个方阵

就是下面的这样一个n阶的方阵

在这样一个方阵中

它的特点就是主对角线上的元素

分别是λ1 λ2

一直到λn 而主对角线以外的位置元素值都是0

这样的矩阵

我们把它称为对角矩阵 记为diagλ1 λ2一直到λn

如果在对角矩阵中

主对角线上的元素都等于λ

这个时候我们得到的矩阵称为数量矩阵

更特别的在数量矩阵中

如果主对角线上的元素都是1

那么我们就得到了n阶的单位矩阵

记为En 或者简记E

单位矩阵有许多良好的性质

我们在后面的学习中将会用到

好 同学们再来看这样一个线性方程组

这样一个线性方程组

它的特点就是

第二个方程中我们缺失了x1

也就是x1前的系数是0

那么同样的第三个方程

我们缺失的是x1x2

最后一个方程我们只有系数xn

那么同样的

我们可以把未知量xi把它拿掉

而把这个系数拿出来

保持它的相对位置不变

这个时候我们得到了这样一个形式的矩阵

这样一个形式矩阵

它的特点是

主对角线以下的位置元素值全都是0

这样的矩阵

我们把它称作上三角矩阵

类似的

如果主对角线以上的位置元素值都是零的话

我们把它称作下三角矩阵

好同学们

我们今天的课就到这儿

下次课再见