3.3.2 向量组的秩（二）在线视频

同学们好

欢迎来到我的课堂

今天我们继续学习

3.3节 向量组的秩

前面我们介绍了向量组的极大无关组

和秩的概念

并且

介绍了如何计算

向量组的极大无关组和秩

并用极大无关组表示其余向量

今天我们来讨论

关于秩的更多性质和结论

定理1

若向量组α1,…,αs

可以由β1,…,βt线性表示

则α1,…,αs的秩

小于等于β1,…,βt的秩

直观上这里β1,…,βt

包含了更多的信息

因此其中的线性无关向量个数

大于等于α当中线性无关向量的个数

下面我们来看一个证明

将α1,…,αs的秩记作r1

β1,…,βt的秩记作r2

不妨设α1,…,αr1

是向量组α1,…,αs的极大无关组

β1,…,βr2

是向量组

β1,…,βt的一个极大无关组

由于α1,…,αs

可以由β1,…,βt线性表示

此外由于极大无关组

和向量组之间相互等价

即可以相互表示

因此α1,…,αr1

可以由α1,…,αs线性表示

进而可以由β1,…,βt线性表示

因此最终可以由

β1,…,βr2线性表示

又因为α1,…,αr1是线性无关的

根据前面我们介绍的结论

r1小于等于r2 命题得证

利用定理1

我们能得到下面的推论

若向量组α1,…,αs

与β1,…,βt等价

则两个向量组的秩相等

直观上这里α1,…,αs

与β1,…,βt

包含同样多的信息

因此极大无关组是相同的

利用定理1

下面我们给出

几个关于矩阵秩的结论

定理2

对任意矩阵A和B

有A B乘积的秩

小于等于

A的秩与B的秩两者之小

注意 这是关于矩阵秩的结论

那么由于矩阵秩等于矩阵的列秩

即矩阵列向量组的秩

因此下面的证明我们将

矩阵问题化为

向量组的问题进行讨论

设A为m行n列的矩阵

其列向量以α1,…,αn来记

矩阵B元素记作bij

我们记C=AB

并将C的列向量用γ1,…,γs来表示

下面我们将AB=C

这一矩阵乘法式子

转化为向量组的线性表示关系

我们将C和A两个矩阵

用其列向量加以表示

写成下面的形式

利用分块矩阵乘法

我们得到

γj等于

α1 α2,…,αn的这样形式的线性组合

于是

向量组γ1,…,γs

可以由向量组α1,…,αn线性表示

这就证得

γ1,…,γs的秩

小于等于α1,…,αn的秩

也就证得

AB矩阵的秩小于等于A的秩

那么类似地

我们可以将矩阵B和C

用它们的行向量来进行表示

就可以证得矩阵A B乘积的秩

小于等于矩阵B的秩

因此

命题得证

定理3

设矩阵A B行数相等

以A B并排构造出来的矩阵

其秩小于等于A B秩之和

大于等于矩阵A的秩和矩阵B的秩

同样我们将矩阵秩的问题

化为矩阵的列秩进行讨论

设A的列为α1,…,αn

B的各列为β1,…,βL

那么A B并排构造的矩阵

为α1,…,αn

以及β1,…,βL

为列构造的矩阵

我们首先证明左端的不等号

由于A的列向量组

包含在(A,B)这个大矩阵当中

因此可以由(A,B)的

列向量组线性表示

就证得A的秩小于等于

矩阵并排以后(A,B)的秩

同理

B的秩也小于等于这一结果

左侧不等式得证

下面我们考虑右端的不等式

记A的秩为r1 B的秩为r2

不妨α1,…,αr1

是A的列向量组的极大无关组

β1,…,βr2

是B的列向量组的极大无关组

则A B并排构造的矩阵

其列向量组可以由α1,…,αr1

以及β1,…,βr2线性表示

于是

A B并排构造的矩阵秩

小于等于r1+r2

即小于等于

A的秩加上B的秩

定理4

对任意同型矩阵A B

A B和的秩小于等于矩阵秩之和

证明

将A的列记做α1,…,αn

B的列记作β1,…,βn

这里由于A B是同型矩阵

α与β维数相同

可以相加

A+B所得结果

各列即

α1+β1,…,αn+βn

显然A+B的列向量组

可以由α1,…,αn

以及β1,…,βn线性表示

因此

矩阵A B和的秩

小于等于这个大向量组的秩

也就是

将A B并排所得矩阵的秩

根据定理3的结果

这一结果小于等于

A的秩加上B的秩

今天我们推导的若干结论

包括(1)向量组的秩与两个向量组

可否线性表示之间的联系

(2)有关矩阵秩

我们得到了三个结论

分别是矩阵求和 矩阵取乘积

矩阵并排以后

所得矩阵的秩

与原矩阵秩之间的关系

我们知道 等价的向量组

有相同的秩

那么请大家思考

反过来是否成立呢

今天的课就到这

同学们再见