3.2.2 向量组的线性相关性（二）在线视频

同学们好 欢迎来到我的课堂

今天我们继续学习

3.2节 向量组的线性相关性

前面 我们介绍了向量组线性相关与无关的定义

并且借助线性方程组和矩阵

给出了向量组线性相关的判定与算法

那么 今天我们抛开线性方程组的背景

通过演绎推导来给出向量组线性相关性的一般结论

这些结论包括

线性相关的直观意义

线性相关的性质与判定

定理1

向量组α1,…,αm

其中m≥2 线性相关

当且仅当向量组当中

至少有一个向量可由其余向量线性表示

我们先来证明必要性

设向量组α1,…,αm线性相关

则存在不全为零的数k1,…,km

使得α以k为系数的线性组合等于零向量

不妨设k1不等于零

于是α1就能表示成α2,…,αm的下面的线性组合

我们再看充分性的证明

不妨设α1能用α2,…,αm线性表示

则存在数λ2,…,λm

使得α1=λ2α2+...+λmαm

将上一个式子移项整理 得到下面的形式

等号的左端即全体向量α1,…,αm的线性组合

其中系数不全为零

这就说明α1,…,αm线性相关

下面我们给出定理1的逆否命题

向量组α1,…,αm

其中m大于等于2 线性无关

当且仅当向量组中

任意向量都不能由其余向量线性表示

注意

一个命题成立其逆否命题必成立

下面我们来看一个例子

假设α1是非零向量

α2与α1不成比例

α3=α1+α2

那么 显然向量组α1 α2线性无关

向量组α1 α2和α3线性相关

在上面的例子当中

α3可以用α1 α2 经由线性组合表示出来

如果我们将这样的向量视作冗余信息

那么定理1和1'

揭示了向量组线性相关与线性无关的直观意义

也就是线性相关的向量组有冗余信息

线性无关的向量组没有冗余信息

在上面的例子当中

α3相对于α1和α2 是冗余的向量

不难验证

α1 α3是线性无关

而α1 α2 α3是线性相关的

因此 α2相对于向量组α1 α3来说是冗余的

也就是说冗余是相对的

定理2

若向量组中部分向量线性相关

则整个向量组必定线性相关

证明 设α1,…,αs

这里s＜m

是向量组α1,…,αm的一个线性相关的部分组

则存在一组不全为零的数k1,…,ks

使得k1α1+...+ksαs=0

那么将上一个式子当中补齐

α_(s+1),…,αm的项 配以系数0 仍然成立

等号的左边是全体向量α的线性组合

而且系数不全为零

这就说明整个向量组α1,…,αm线性相关

下面我们给出定理2的逆否命题

它仍然是正确的

定理2’

若整个向量组线性无关

则其任意部分都线性无关

注意定理2和定理2’的结论

反映了向量组与其部分组之间的关系

即 若部分相关则整体相关

若整体无关则部分无关

另外

上述结论也可以用定理1来理解

定理2即表明 部分有冗余则整体有冗余

定理2’表明 整体有冗余则部分无冗余

下面看一个例子

设有3维向量组A

它由三个3维行向量构成

另有一个向量组B

它由三个5维向量构成

显然向量组B是由A增加两个分量得到的

我们称向量组B是向量组A的加长向量组

注意 加长向量组增加的分量

可以位于原向量的

末尾 开头 也可以在其他位置

只需保证位置固定即可

下面 我们来讨论向量组与加长向量组线性相关的关系

定理3

若向量组线性无关

则其加长向量组也线性无关

下面的证明以列向量为例进行

设α1,…,αm是线性无关的一组列向量

β1,…,βm是它的加长向量组

不妨设βi等于

αi后面加上γi构造得到的列向量

下面我们来证β1,…,βm线性无关

考察β1,…,βm的任意线性组合

如果它等于零向量

将βi的形式代入 即得到下面的式子

考察这个式子结果的前若干个分量

我们就得到

k1α1+k2α2+...+kmαm等于零向量

由于α1,…,αm线性无关

所以k1,…,km全都等于零

这就证明了β1,…,βm线性无关

下面给出定理3的逆否命题定理3’

若加长向量组线性相关

则原向量组也线性相关

注意

这里我们刻画了另一种整体与部分的关系

要与前面注意区分

向量组与其部分向量组相比

是向量的个数发生了变化

而向量组与其加长向量组相比

是分量的个数发生了变化

由于它们本质上不同

所以得到的结论也不相同

定理4

若向量组α1,…,αm线性无关

而加上β以后线性相关

则向量β可以α1,…,αm线性表示

且这样的表示是唯一的

在证明之前

我们首先直观上来理解这一结论

α1,…,αm线性无关

即没有冗余

加上β以后线性相关 即有了冗余

所以直观上 β就是冗余信息

它能用α1,…,αm线性表示

下面我们来看严格的证明

这里我们首先证明 β可以由α线性表示

由于α1,…,αm加上β以后线性相关

则存在不全为零的系数k1,…,km

以及k使得这一线性组合等于零向量

下面我们来说明k不等于零

否则 若k=0

上式即变形为

k1α1+...+kmαm=0

其中k1,…,km不全为零

这就说明α1,…,αm线性相关 与题设矛盾

所以k≠0

由此 我们可以写出β有这样的一个表示

即β可以由α1,…,αm线性表示

下面我们再来证明这种表示是唯一的

假设β能写成α1,…,αm的两种线性组合

将两式相减

我们得到这样的一个形式

由于向量组α1,…,αm线性无关

上述线性组合当中的系数全都是0

即得到 L1=h1 ... Lm=hm

这就证得线性表示是唯一的

定理5 若向量组α1到αs

可以由β1,…,βt线性表示 并且s大于t

则向量组α1,…,αs线性相关

直观上

由于α1,…,αs可以由较少数量的向量线性表示

因此α1,…,αs当中有冗余

下面我们来看严格的证明

证明

根据题设 我们将αi用β进行线性表示

下面证明存在不全为零的系数k1 k2,…,ks

使得α以k为系数的线性组合等于零向量

将前面αi的表达式代入 整理得到

上式当且仅当这一形式

将这个式子重新整理

得到下面的形式

显然 最后这个式子成立

只需要β1 β2,…,βt

前面的系数取为零

即 当k1,…,ks满足下列齐次方程组的时候

前面的各式依次成立

由于这个齐次线性方程组

包含t个方程 s个未知量 s＞t

故该齐次线性方程组必有非零解

设k1,…,ks为方程组的非零解

则k1,…,ks不全为零

并且使得k1α1+k2α2+...+ksαs=0

因此α1,…,αs线性相关

下面给出定理5的逆否命题 定理5’

若向量组α1,…,αs

可以由β1,…,βt线性表示

且向量组α1,…,αs线性无关

则s小于等于t

继续 我们可以得到一个推论

若向量组α1,…,αs与β1,…,βt等价

且都线性无关

则s=t

这个证明是显然的

因为根据定理5'

既有s小于等于t 也有t小于等于s

今天 我们得到了关于向量组

线性相关性的以下结论

了解了线性相关性的直观

线性相关有冗余 线性无关无冗余

我们讨论了两种整体与部分的关系

此外

我们还讨论了向量组线性相关性

和单个向量可否由一个向量组线性表示

和两个向量组之间可否线性表示之间的联系

需要注意的是

我们讨论整体与部分的关系

得到的结论并不完全

请大家思考 整个向量组线性相关

部分向量线性相关还是线性无关呢

又比如 加长向量组线性无关

那原向量组线性相关还是线性无关呢

今天的课就到这儿

同学们再见