2.2.3 矩阵的运算（三）在线视频

同学们好

欢迎大家来到我的课堂

今天我们一起来学习矩阵的转置

分块矩阵和方阵的行列式

首先我们来看到矩阵的转置

我们假设有矩阵A

它的规模是m乘以n

这个时候

如果我把A的所有行与列互换

这个时候我们得到的矩阵

就叫做A的转置矩阵

记作A^T或者A'

那么我们从定义中可以清楚的看到

A的转置矩阵

把m乘以n的矩阵变成了n乘以m的矩阵

我们来看一些例子

我们给出A矩阵

这是二乘三的矩阵

那么我们做它的转置

这时候A矩阵的第一行

1 2 2变成转置矩阵的第一列

A的第二行变成转置矩阵的第二列

转置矩阵就变成三乘二的矩阵

我们在看B矩阵

B是规模一乘二的矩阵

我们做转置B的行变成列

B转置是一个二乘一的矩阵

B转置是一个二乘一的矩阵

根据矩阵转置的定义

我们可以很容易的得到它具有以下

运算性质

当然前提我们依然假设

所有的运算都是有意义的

第一条

A转置的转置又回去了变为A本身

第二条

A加上B括号的转置等于

A转置加上B转置

第三条

k乘以A括号的转置等于

k乘以A转置

因为k是实数

实数的转置是本身

最后一条A乘以B括号的转置

我们要倒着写

等于B转置乘以A转置

那么一条我们从转置的定义

也很容易推出

我们可以把第四条推广到

三个矩阵乘积

A乘以B乘以C括号的转置

等于C的转置乘以B的转置

再乘以A的转置

那么由于矩阵乘法不满足交换律

一般情况下

A乘以B括号的转置

不等于A转置乘以B转置

我们来看例子

我们分别给出AB两个矩阵

我们现在要求A乘以B括号的转置

那么我们的第一种方法

自然可以先把A乘以B算出来

根据矩阵乘法的运算法则

我们可以算出这样二乘三的乘积矩阵

那么我们再做转置

这个时候

A乘B乘积矩阵的第一行

0 14 -3

变成转置矩阵的第一列

A乘B的第二行变成转置矩阵的第二列

这是第一种方法

那么根据矩阵转置的运算性质

我们还有第二种方法

也就是A乘以B括号的转置

等于B转置乘以A转置

我们可以先把两个转置矩阵算出来

再做乘法

那么我们先算B的转置

所有的行变成列再算A的转置

然后再做乘法

我们发现

两种运算方法

我们算到相同的结果

假设一个矩阵的转置就是本身

也就是说

假设A是n阶方阵A转置就是A

那么我们称A为对称矩阵

如果A转置等于-A

那么也就是aij等于-aji

同时主对角线上的元素aii等于0

那么矩阵我们称为反对称矩阵

比如说大家看第一个矩阵

以主对角线为界

那么关于主对角线对称位置的元素值

是相等的

2和2 -1 -1 0和0

所以这是一个对称矩阵

大家再看到第二个矩阵

第二个矩阵它是三阶方阵

主对角线上的元素值都是零

而关于主对角线上对称的位置

元素值反号

-1 1 1 -1 -2 2

所以这是一个反对称矩阵

我们知道矩阵的规模是千变万化的

而如果是大规模的矩阵

我们直接去处理的话

往往会带来很多困难

在这个时候如果我们去借助

分而治之

化整为零的思想

我们往往可以简化计算

这样一个思想就得到了分块矩阵

所谓分块矩阵

它指的是

用若干条纵线和横线

将矩阵A分成许多小矩阵

每个小矩阵称为A的子块

以子块为元素的矩阵

就称为分块矩阵

比如说我们看例子

这是三乘四的矩阵

它里面有一些未知的元素值是零

如果我们在

第二行和第三行之间画一条横线

第三列和第四列之间画一条纵线

我们就可以把矩阵A分成4个子块

其中A12和A21这两个子块

是零矩阵

我们就把这样矩阵中

特殊的元素零给它抓出来了

我们知道

零矩阵在运算的时候

相当于数字零

它会带来很多便利

我们再看例子

这是四阶方阵

那么它里面有一些元素值

是0有一些元素值是1

我们可以从

第三行和第四行之间画一条横线

第三列和第四列之间画一条纵线

这时候我们发现分成的四个子块中

有三阶的单位矩阵

还有零矩阵

那么同样的对这样四阶方阵

我们还可以采用另外的划分

比如说我们可以从

第二行和第三行之间画一条横线

第二列和第三列之间画一条纵线

那么时候我们分出两个二阶单位阵

和一个零矩阵

单位矩阵和零矩阵在运算的时候

相当于数字1和0

会带来非常多的便利

如果在一个对角型的矩阵中

它的主对角线上的元素

是一个一个的方阵的话

那么这样形式的矩阵

我们把它叫做分块对角矩阵

或称为准对角矩阵

我们可以把它简记为

diagA1 A2 一直到As

其中A1 A2 As都是方阵

好我们来看例子

我们用矩阵分块法求A乘以B

这是A

这是B

我们知道对矩阵做分划

我们的原则是

尽可能的把零矩阵和单位矩阵

给它划分出来

那么根据这样原则

我们可以在A矩阵的第二行和第三行之间

画一条横线

第二列和第三列之间画一条纵线

两个二阶单位矩阵和零矩阵

而为了使得A乘以B

矩阵的乘法可以进行

B矩阵的划分

我们要特别小心

首先

我们是根据A矩阵的列划分

来确定B矩阵的行划分

A分成两列B就只能够分成两行

换句话说只能画一条横线

这条横线到底打在哪里

我们还得保证子矩阵的乘法能够进行

根据这样一个原则

这样一条横线

只能够打在

B矩阵的第二行和第三行之间

而对于B矩阵而言

纵线打在哪里

在理论上我们是没有任何约束的

但是为了抓取B矩阵的特点

同时从运算的平衡角度出发

咱们不妨把B矩阵的这样一条纵线

打在第二列和第三列之间

同样的把B分成四个子快

我们把分好块的AB之间来做乘法

那么乘出来依然是二乘二的分块矩阵

那么在这样一个乘积矩阵中

用A的第一行乘以B的第一列

那么是1 2 二阶单位矩阵

乘以B11加上

0乘以B21等于B11

那么用A矩阵的第一行

乘以B矩阵的第二列

那么乘出来是B12

同样的道理

算出乘积矩阵第二行的元素

好我们把相应的子块

代入计算式子中

我们可以算出A11

乘以B11加上B21等于

-2 4 -1 1二阶矩阵

同样的我们可以算出

A12乘以B12加上B22

那么等于1 1 5 3这样一个二阶矩阵

那么当所有的子块计算完成之后

我们可以把它拼回去

得到我们A乘以B这样一个四阶方阵

那么我们把B11放在左上角

B12放在右上角

那么A11乘以B11

加上B21放在左下角

A1乘以B12

加上B22放在右下角

这就是分块矩阵乘法的应用

我们知道

矩阵的规模可以是矩形的

也可以是正方形的

那么对于n阶的方阵而言

我们可以定义它所对应的行列式

也就是说

我们把n阶方阵A所有元素构成的行列式

保持相对位置不变

称为n阶方阵A的行列式记为A

我们加上类似于绝对值这样一个记号

或者detA

我们看例子

比如说A这样二阶的方阵

我们可以定义它所对应的行列式

2 3 6 8

那么这样行列式算出来等于-2

根据方阵行列式的定义

我们可以推出它具有以下运算性质

第一条A转置的行列式等于A的行列式

因为转置不改变行列式的值

第二条

λ乘以A

λ乘以A

这样一个数乘矩阵的行列式

它等于λ的n次方乘以A的行列式

那么这个地方为什么是n次方呢

n从何而来

就要用到

数与矩阵相乘以及数与行列式的相乘

我们看等号的左边

λ乘以A

数与矩阵相乘

是乘到矩阵A的每个元素上去

而对于行列式提公因子

是一行的公因子就可以往外提

A有n行

可以提出n个λ

自然就是λ的n次方

第三条

A乘以B乘积矩阵的行列式

等于行列式的乘积

等于A的行列式乘以B的行列式

而我们从第三条出发可以推出更多的性质

比如说

A的k次方的行列式

等于k个A的行列式的乘积

A乘B的行列式等于B乘A的行列式

A乘B的行列式等于零

我们可以推出其中某一个的行列式是零

要么A的行列式是零

要么B的行列式是零

我们还可以推出

A乘B的行列式等于A乘C的行列式

如果这时候A的行列式不等于零

我们就可以推出

B的行列式和C的行列式相等

好同学们看到这些性质

我们就想到

如果我们把些行列式的符号给它去掉

那么相应的这三条性质都是不成立的

也就是说A乘B不等于B乘A

A乘B等于零矩阵推不出任何一个是零矩阵

A乘B等于A乘C

我们也无法用消去律推出B等于C

那么归根到底

是由于行列式计算出来的是数

造成的方阵行列式的性质

与矩阵乘法性质截然不同

我们看例子

假设A是三阶方阵

A所对应的行列式等于三

我们要求

后面这样一个方阵对应行列式是几

大家来观察后面这样一个形式

二分之一A转置括号的平方

A转置是三阶的方阵

二分之一做数乘再做平方

它依然是三阶方阵

再求它对应的行列式

我们根据行列式的运算性质

那么我们可以把平方分开写

写成二分之一A转置乘以二分之一A转置

那么两个二分之一相乘等于四分之一

把四分之一拿到行列式的符号之外

应该是四分之一的n次方n等于三

是四分之一的三次方

而乘积的行列式等于行列式的乘积

而转置不改变行列式的值

等于六十四分之一

乘以A的行列式再乘以A的行列式

最后我们算出来等于六十四分之九

我们最后看个例子

我们给出两个行向量A和B

C等于A转置乘以B

我们现在要求C的99次方

自然的

我们把C等于A转置乘以B带进去

那么是99个A转置乘以B

我们又发现

B的规模是一乘二

A的规模也是一乘二

但是A转置的规模是二乘一

根据矩阵乘法的结合律

我们从第二个矩阵开始

依次与后面的矩阵做乘法

那么我们等于A转置再乘以

括号B乘A转置

再乘以括号B乘A转置

那么配对之后我们最后还剩下B矩阵

这个时候

我们有98个

B乘以A转置相乘

而我们刚才说了

B乘A转置乘出来是

一乘一的矩阵是数字

4的98次方

而数字在矩阵乘法中可以

放到任何位置

我们把它拿到最前面来

那么我们剩下1乘2这个列向量

与2乘1这个行向量做乘法

那么乘出来是2 1 4 2

这样一个二阶矩阵

所以从例子中我们发现

当我们灵活地运用矩阵乘法

以及转置矩阵的运算性质的时候

我们可以大大化简我们的计算

同学们

我们这次课就上到这

下次课 再见