2.3.1 逆矩阵(一)在线视频

嗯

嗯

同学们好

欢迎大家来到我的课堂

今天我们一起来学习

逆矩阵的定义以及方阵可逆的条件

我们首先简单的回顾一下中学中倒数的定义

在数的运算中

如果a b

ab=ba=1

那么我们称a是b的倒数

即为a的负1次方等于b

那么这样一个倒数的定义

我们能不能够推广到矩阵呢

我们看下面这个例子

我们给出ab两个二阶方阵

a等于1 0 0 2 b等于1 0 0 1/2

我们用a乘以b

那么简单计算 乘出来是一个二阶单位阵E

我们也可以用B乘以A简单计算

它同样是一个二阶单位阵E

所以在形式上

我们同样可以写为AB=BA=E

这种形式和数的运算中

倒数的定义是非常的相似的

而满足这样一个条件的矩阵B

就称为矩阵A的逆矩阵

下面我们给出它严格的数学定义

设A为一个n阶方阵

若存在n阶方阵B使得

AB=BA=E那么我们称方阵A是可逆的

并称B为A的逆矩阵简称A的逆

那么显然有A的逆矩阵为B 则B的逆矩阵为A

从这个定义中

我们也可以清晰的看到

只有方阵

我们才能定义它的逆矩阵

好

接下来我们自然要问一个方阵的逆矩阵是唯一的吗

答案是肯定的

我们不妨来做一个简单的证明

现在我假设逆矩阵不唯一

我假设B1和B2都是A的逆矩阵

那么根据定义我们有AB1=B1A=E我们有AB2=B2A=E

那么如果我们能够说明B1=B2

那么逆矩阵就是唯一的

下面我们看怎么样说明这个事情

这个时候我们要用上单位矩阵

也就是我们用单位矩阵E去右乘B1

而单位矩阵E它又可以写为AB2

根据矩阵乘法满足结合律

我们可以把B1和A先结合在一起进行计算

而根据我们上面的式子

B1乘以A等于单位阵

单位阵再乘以B2就是B2本身

所以逆矩阵是唯一的

那么同样类似的

我们可以把A的逆矩阵记为A的负1次方

好

为了下面叙述的方便

我们再引入一个定义

我们同样假设A为一个n阶方阵

如果A对应的行列式不等于0

我们称A是非奇异矩阵或者非退化矩阵

如果A的行列式等于0

我们称A为奇异矩阵或退化矩阵

好

请同学们来看下面两个例子

En n阶单位阵的逆矩阵是什么

对

就是n阶单位阵本身

这个我们根据逆矩阵的定义很容易进行推导

好

我们看第二个

A是一个对角矩阵

对角线上的元素ai不等于0

那么这个时候A的逆矩阵是什么

同样的

根据逆矩阵的定义

我们也能够很容易的推导出A逆依然是一个对角矩阵

对角线上的元素等于ai分之一

接下来

我们自然会问两个问题

是不是所有的方阵都可逆

怎么判断一个方阵是否可逆

在可逆的情况下这个逆矩阵

我们又怎么去求

为了回答这两个问题

我们首先引入一个重要的概念叫做伴随矩阵A*

我们假设

Aij是方阵A中元素小aij的代数余子式

那么我们称下面这样一个形式

A*叫做A的伴随矩阵

我们从这个形式上可以清楚的看到

A*中的每一个元素都来自于A的代数余子式

请大家认真看Aij这个下标

我们发现

A中第一行的代数余子式作为伴随矩阵A*第一列的元素

A中第i行的代数余子式是A*第i列的元素

为什么要以这样的方式来定于A*

它的奥妙何在呢

我们后面将给大家揭晓答案

好

我们先通过一个简单的二阶方阵来看一下

伴随矩阵的计算

这是一个二阶方阵

2 1 0 0

我们分别来计算它的第一列和第二列的代数余子式

我们先计算第一列A11的代数余子式

我们划掉2所在的行和列

剩下元素0

同时配上它的符号

-1的1加1

我们得到0

我们划掉

a21

0它所在的

第二行第一列

那么剩下元素1配上它的符号-1的2加1

我们得到-1

第一列的代数余子式作为伴随矩阵的第一行

也就是0 -1排在伴随矩阵的第一行

那么同样的道理

我们算出第二列的代数余子式

排在伴随矩阵的第二行

有了伴随矩阵这样一个重要的概念之后

我们就可以回答刚才提出来的两个问题

也就是说一个方阵A可逆

它是要条件的

它的充分必要条件是A是非奇异矩阵

也就是A的行列式

不等于0

那么当A可逆的时候

A逆等于A的行列式分之一乘以A的伴随

为什么是这样的呢

我们下面通过证明

进行理解

我们先来证明必要性

我们先假设A可逆

那么根据可逆的定义A乘以A的逆矩阵等于单位阵E

我们两边取行列式

E的行列式等于数字1

而乘积的行列式等于行列式的乘积

也就是说两个行列式乘起来等于1

那么其中任何一个行列式都不能等于0

自然我们有A的行列式不等于0

接下来我们再来看一下充分性

我们现在假设A的行列式不等于0

我们写出A的具体形式

写出A的伴随矩阵的具体形式

请同学们注意

我们A中第i行元素的代数余子式是作为A*中第i列

那么我们根据第一章

1.3节的定理一和它的推论

我们知道伴随矩阵它有一个重要的性质

那就是AA*=A*A=|A|E

我们可以进行一个简单的说明

我们看一下A乘以A*

那么AA*我们是用A的第一行乘以A*的第一列

恰好就是A的第一行的元素

与第一行元素对应代数余子式乘积之和等于A的行列式

同样的

我们可以用A的第二行乘以A*的第二列

A的第i行乘以A*的第i列

那么算出来都等于A的行列式

而其它位置的元素值

恰好就是第i行的元素与第j行代数余子式乘积之和自然等于0

所以在这个地方

我们恍然大悟

为什么刚才A*要排成那样的形式

是为了用到伴随矩阵的重要性质

好

现在因为A的行列式不等于0

所以我们可以把A的行列式除到等式的左边

我们得到这个式子

而根据A可逆有可逆矩阵的定义

我们很容易的得到A的逆矩阵

就等于A的行列式分之一乘以A的伴随矩阵

进一步我们可以把这个定义的条件进行减弱

我们得到下面这个推论

同样的AB要是n阶的方阵

如果AB=E或者BA=E那么AB都可逆

而且B等于A逆 A等于B逆

显然这个推论比我们的定义条件要弱一些

那么在用起来也会更加方便一些

好

我们简单的看一下这个推论的证明

从刚才的定理知道

一个方阵可逆

它的充要条件是

它这个方阵对应的行列式不等于0

所以我们在AB=E两边取行列式

E的行列式等于1乘积的行列式等于行列式的乘积

所以自然有A的行列式不等于0

A逆存在

接下来我们还要说明B等于A逆

这个时候我们再次用上单位矩阵

我们用单位矩阵E去左乘B

而由于A可逆

所以单位矩阵可以进一步写成逆乘以A

再与B相乘

而根据结合律

我们可以把A与B先放在一块相乘

那么有条件乘出来是单位阵

A逆乘以单位阵

那么自然等于A逆本身

那么同样道理

我们可以证明另一种情况

好

我们这次课就到这儿

谢谢大家

嗯