当前课程知识点：线性代数 > 第六章 二次型 > 第六章作业 > 2.4.2 矩阵的初等变换（二）
同学们好 欢迎大家来到我的课堂
今天我们一起学习初等矩阵
由单位矩阵经过一次初等变换
得到的矩阵就称为初等矩阵
那么在这个定义中
请大家注意关键词一次只做一次
初等变换有三种
那么初等矩阵对应的有三种
我们先看第一种
我们对单位矩阵En实施第一种初等变换
也就是说
我们把这个单位矩阵的第i行和第j行互换
或者说是第i列和第j列互换
我们得到这样一个形式的矩阵
我们把它记为E(ij)
这是一个方阵
我们可以计算它的对应的行列式
这个行列式的值等于-1
因为互换一个行列式的两行或者两列行列式反号
根据逆矩阵的定义
E(ij)阶的逆矩阵就是本身E(ij)的转置也是本身
那么它的伴随矩阵是什么呢
我们根据逆矩阵的公式
A的逆等于A行列式分之一乘以A*
所以A*等于A行列式乘以A的逆
因此我们简单计算可以得到
E(ij）的伴随矩阵等于负的E(ij）
好我们看第二种初等矩阵
也就是对单位矩阵实施第二种初等变换
它是把单位矩阵的第i行
乘以k或者第i列乘以k
那么同样的这个初等矩阵
我们把它记为E括号ik
它所对应的行列式等于主对角线上元素的乘积
就等于k它的逆矩阵呢
等于Ei括号k分之一
也就是k分之一
乘到单位矩阵的第i行或者第i列
而这样一个初等矩阵的转置等于本身
根据伴随矩阵的计算公式
它的伴随矩阵等于
k乘以单位矩阵的第i行或者第i列
在乘以k分之一
在乘以k分之一
这样一个数乘矩阵
好我们对单位矩阵实施第三种初等变换
我们就得到了第三种初等矩阵
那么它是把单位矩阵的j行乘以
k加到第i行
或者第i列乘以k加到第j列
我们把它记为E括号i加上jk逗号j
显然这样一个初等矩阵
它所对的行列式等于1
它的逆矩阵那么相当于把单位矩阵的第j行
乘以负k加到第i行
或者说单位矩阵的第i列乘以负加到第j列
那么这样一个初等矩阵的转置表达式是这个式子
那么同样的我们可以去计算这个初等矩阵的伴随矩阵
好
有了初等矩阵的定义之后
我们可以得到下面的一个定理
我们假设A是一个m乘以n矩阵
那么对A实施一次初等行变换
相当于用相应的m阶初等矩阵去左乘A
而对A施行一次初等列变换
就相当于用相应的n阶初等矩阵
去右乘A成为这样一个定理
它揭示了初等变换与初等矩阵
以及矩阵乘法之间的关系
我们可以通过一个简单的例子
来理解一下这个定理
比如说
我们把A矩阵的
第i行和第j行交换
我们可以得到另外一个B矩阵
A与B是等价矩阵
这个时候我们就相当于用一个相应的初等矩阵
也就是说
把单位矩阵的第i行和第j行交换
得到了初等矩阵去左乘A等于B
如果我们把A矩阵的第c列乘以k
得到一个新的矩阵B
那么这个时候我们相当于用一个相应的初等矩阵
也就是单位矩阵的第i列
乘以k得到的初等矩阵去右乘A等于B
好
我们下面再通过简单的证明来再次理解这个定理
我们可以把这个m乘以n规模的矩阵A作为一个行分块
我们把A的第i行记为βi
那么A可以写为β1 β2一直到βm
我们分别考察三种初等变换
我们首先在矩阵A的左边
乘以一个m阶的初等矩阵Eij
也就是单位矩阵的第i行
与第j行互换或者第i列与第j列互换
那么做简单的乘法
我们看到最右边这样一个矩阵
它相当于交换了A的第i行和第j行
第二种我们在这个矩阵A的
左边乘以一个m阶的初等矩阵Eik
那么也就相当于把我们的单位矩阵的第i行
或者第i列成一个数字k
我们做乘法
得到这样一个式子
那么同样的我们看最右边的这个矩阵
它相当于对A的第i行乘以数字k
好
我们在考察最后一个初等矩阵
E括号i加上jkj
那么相当于把这个单位矩阵的
第j行乘以k可以加到第i行
我们做一个简单的矩阵乘法
我们看到最右边这样一个矩阵
那么这相当于将A的第j行的k倍加到第i行
同样的
我们对矩阵A实施初等列变换的情形
可类似证明
好有我们之前的定理
我们很容易的得到以下推论
推论一
对于m乘以n的矩阵A
我们存在m阶初等矩阵P1P2
一直到Ps和n阶初等矩阵Q1Q2一直到Qt
使得A分别去左乘P1 P2 一直到Ps
分别去右乘Q1Q2一直到Qt
等于一个标准型
如果我们记Ps一直乘乘到P2
乘到P1等于P
Q1乘以Q2一直乘乘到
Qt等于Q 那么进一步
我们有以下推论
对于m乘以n矩阵A
我们总存在m阶可逆矩阵P
n阶可逆矩阵Q
使得P乘A乘Q等于一个标准型
这是由于初等矩阵是可逆的
而初等矩阵的乘积P和Q依然是可逆的
所以我们可以很自然的得到推论2
好同志们
我们这次课就上到这里
同学们再见
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