4.1 线性方程组的可解性在线视频

同学们好

欢迎来到我的课堂

前面我们系统地学习了矩阵和向量的知识

今天开始

我们学习第四章 线性方程组

首先来看

4.1节 线性方程组的可解性

回顾

包含m个方程

n个未知量的线性方程组

它有矩阵表示Ax=b

其中A为系数矩阵

x由n个未知量构成的列向量

b是常数列

此外

线性方程组还有向量表示

那么

怎样根据前面学习的矩阵和向量知识

来判定一个线性方程组

何时有解

何时有唯一解

何时有无穷多解

以及在有解的情形下写出它们的解

这就是我们今天要解决的问题

我们先从线性方程组的矩阵表示入手

不妨设Ax=b的

增广矩阵(A,b)

经由初等行变换

化为下列行最简形矩阵

行最简形矩阵满足三个条件

一 首先是阶梯阵

二 非零行的首个非零元为1

三 这些1所在列的其余元素都是零

由此可见

这里的d_{r+1}或者取0 或者取1

行最简形矩阵对应着原方程组的一个同解方程组

虚线后面代表的是常数列

虚线前面的各列代表着

未知量xi的系数

注意 一般情况下

我们得到的行最简形矩阵当中

1所在的列

未必集中在前若干列

比如 我们通常得到的可能是这样的形式

其中非零行首个非零元1

所在的列分别在第一列 第二列和第四列

但是

如果我们调整未知量x3和x4的次序

即对上述矩阵换列

既可以得到下面的形式

因此 必要时我们可以对增广矩阵

常数列以前的列进行交换

来调整未知量的次序

以保证得到这样形式的行最简形矩阵

下面我们利用这一矩阵

来判定方程组解的情况

首先d_{r+1}不等于零时

该矩阵对应的同解方程组中

有矛盾方程 0=d_{r+1}

此时方程组无解

当d_{r+1}=0时

这个方程组有解

在有解的情形下

如果圈出来的b_{ij}

这部分是没有的

即r=n时

对应的同解方程即

x1=d1

x2=d2,…,

xn=dn

就说明此时方程组有唯一解

当r

矩阵对应的同解方程组

我们可以把它整理为这样的形式

x1=d1-b_{11}*x_{r+1}-…-b_{1,n-r}*x_n

x2,…,xr 以此类推

x_{r+1},…,x_n

作为自由未知量

它们的取值任意

这样我们就得到了

线性方程组解的情况的判定

在判定条件当中 注意

r恰好是系数矩阵A的秩

注意d_{r+1}=0当且仅当

虚线前系数矩阵A的秩

等于整个增广矩阵(A,b)的秩

于是我们就得到了下面的定理1

线性方程组Ax=b有解

当且仅当

增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩

有唯一解

当且仅当增广矩阵的秩

等于系数矩阵秩

等于n

有无穷多解

当且仅当增广矩阵的秩

等于系数矩阵的秩

小于n

这里n是未知量的个数

那么 刚刚我们是从

线性方程组的矩阵表示入手

得到这一结论

我们也可以经由线性方程组的向量表示

给出它的另一个证明

首先 Ax=b有解

当且仅当存在一组数x1,…,xn

使得α以xi为系数的线性组合

等于b

其中αi是A的列向量

当且仅当

向量b可以由向量组

α1,…,αn线性表示

当且仅当

α1,…,αn加上b

这个向量组的秩

等于α1,…,αn的秩

显然这个式子就是

增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩

我们再来看线性方程组

有唯一解的情况

Ax=b有唯一解

当且仅当存在唯一一组数x1,…,xn

使得α以xi为系数的线性组合

等于b

当且仅当向量b可以由

α1,…,αn唯一地线性表示

当且仅当α1,…,αn加上b

这个向量组的秩等于α1,…,αn的秩

并且α1,…,αn线性无关

于是得到这样的形式

两个向量组的秩相等并且等于n

这一式子即

增广矩阵的秩

等于系数矩阵的秩等于n

那么刚刚我们证明了唯一解的情形

类似可以证明无穷多解的情形

当线性方程组有无穷多解的时候

证明过程中

向量b的线性表示不唯一

因此

向量组α1,…,αn的秩是小于n的

根据定理1

我们知道

仅从系数矩阵和增广矩阵的秩

就可以判定线性方程组解的情况

那么

这两个秩的信息

不仅可以从行最简形矩阵得到

也可以从

增广矩阵的行阶梯形矩阵当中获取

下面我们来看例1

解这样一个线性方程组

它包含了4个方程

4个未知量

写出它的增广矩阵

我们用第一行第一列的1

消去下方的非零元

再用第二行第二列的1

消去下方的非零元

最后换行得到这样一个形式

即行阶梯形矩阵

显然

增广矩阵的秩等于4

而系数矩阵的秩

在虚线的左边 可以看出是等于3

两者不相等

所以方程组无解

例2

当a取何值时

下面的线性方程组有解

如果有解 求出它的解

我们写出该方程组的增广矩阵

用第一行第一列的1

消去下方的非零元 得到这一形式

注意 当A不等于1时

这个形式恰好是一个行阶梯形矩阵

此时系数矩阵的秩

和增广矩阵的秩相等

等于3

方程组有唯一解

这就是解的判定

为了继续求出解

我们对上述矩阵继续化简

我们分别将第二行和第三行

消去一个系数

再用第三行将前两行的

非零元消为零

继续处理 我们得到行最简形矩阵

根据这一矩阵形式

得到原方程组的同解方程

即方程组的解为x1=-1

x2=a+2

x3=-1

这就完成了求解的过程

即给出了解的表示

那么当a=1时

情形又如何呢

我们写出此时的增广矩阵

它化为行阶梯形矩阵

同时也是行最简形矩阵

根据这一形式

系数矩阵的秩

与增广矩阵的秩相等

等于1 是小于未知量个数3的

因此方程组有无穷多解

而且方程组的解

恰好可以表示成

x1=1-x2-x3

其中x2 x3为自由未知量

下面我们考察含有m个方程

n个未知量的齐次线性方程组

其矩阵表示为Ax=0

即常数列为零向量

对于齐次线性方程组

显然系数矩阵的秩

等于增广矩阵的秩

因此我们有下面的结论

定理2

齐次性线性方程组Ax=0

仅有零解当且仅当A的秩等于n

有非零解

当且仅当A的秩小于n

接下来我们有两个推论

推论1 当m=n时

齐次线性方程组Ax=0仅有零解

当且仅当A的行列式不等于零

有非零解当且仅当A的行列式等于零

推论2

当m

齐次线性方程组Ax=0

必有非零解

是因为此时A的秩

小于等于矩阵的行数m

从而严格小于n

例3

解齐次线性方程组

这里包含了4个方程 4个未知量

首先写出它的系数矩阵

注意 齐次线性方程组

可以直接对系数矩阵做初等行变换

来进行求解 以及判定解的情况

利用第一行第一列的1

将下方元素消为零

再利用第二行第二列的2

将下方元素化为零

得到一个行阶梯形矩阵

由于A的秩等于2 小于未知量的个数4

所以该方程组有无穷多解

即有非零解

下面我们来写出解的表达式

对上述的行阶梯形矩阵

我们继续做初等行变换

第二行除以2

再将第二行加到第一行

得到行最简形矩阵

根据这一形式

我们得到方程组的解为

x1=-3/2*x3-x4

x2=7/2*x3-2x4

x3 x4为自由未知量

本节我们讨论了线性方程组的可解性

得到了下面两个主要结论

具体的计算上

我们从增广矩阵出发 或者

对于齐次线性方程组

我们从系数矩阵出发

做初等行变换

化为行阶梯形矩阵

通过矩阵的秩判定解的情况

当有解的前提下 我们继续做初等行变换

化为行最简形矩阵

以此给出具体的表示

那么回忆前面

我们曾经给出过

方程组克拉默法则

那么请大家思考

上述定理与克拉默法则的结论

有何联系 有何区别

今天的课就到里

同学们再见