当前课程知识点：线性代数 > 第六章 二次型 > 第六章作业 > 5.2.3 方阵的特征值与特征向量的性质之二
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本讲我们继续学习
方阵的特征值与特征向量的性质
主要介绍特征向量的性质
n阶方阵A 它的互不相同的特征值
假设是λ1 λ2 λm
对应的特征向量分别是 x1 x2 xm
性质5是说
n阶方阵A的互不相同的特征值对应的特征向量线性无关
证明
对特征向量的个数m我们用数学归纳法
当m=1的时候
因为x1是非零向量
所以它线性无关
假设
当m-1个互不相同的特征值时
结论成立
要证当m个互不相同的特征值时结论仍然成立
即假设向量组x1 x2 x (m-1)线性无关
要证明x1 x2 xm 是线性无关的
设有常数k1 k2 km 使得下面这个式子成立
将式子两边左乘以A得到
k1（A x1）加上k2（A x2）加到km（A xm）等于0
因为A xi等于λi xi
我们可以得到式子（2）
将（1）式乘以λm
我们又会得到式子（3）
（2）式减去（3）式
又得到下面这个式子
k1乘以λ1-λm 乘以 x1
加上k2乘以λ2-λm 乘以 x2
加到k(m-1)乘以λ (m-1) 减 λm乘以 x(m-1)等于0
由假设我们知道x1到x(m-1)是线性无关的
所以对i等于 1 2一直到m-1都有这个式子成立
ki (λi-λm)=0
而λi和λm是不同的特征值
λi-λm≠0
所以就有ki=0
代入（1）式
我们就会得到km乘以xm=0
但是xm是特征向量 非0
所以只有km=0
因此向量组x1 x2 xm 线性无关
用一个图来表示此性质更方便大家记忆
n阶方阵A的互不相同的特征值
将它们对应的特征向量分别取一个出来
比如，λ1对应的特征向量取x1
λ2对应的特征向量取x2
将这些特征向量组成一个向量组
这个向量组仍然是线性无关的
性质5可以推广为下面的性质6
设λ1 λ2 λk是矩阵A的不同的特征值
αi1 αi2 αiri 是对应于λi的线性无关的特征向量
那么
我们把这些线性无关的特征向量
放在一起仍然是线性无关的
同样用一个图来表示性质6
A的特征值λ1 λ2 λk
λ1对应的线性无关的特征向量我们写出来
λ2对应的线性无关的特征向量写出来
λk对应的线性无关的特征向量写出来
它们放在一起仍然是线性无关的
前面我们计算过一个如下的例题
计算A的特征向量
通过计算得到特征值有两个
一重特征值-2
有一个线性无关的特征向量与它对应
二重特征值1
有两个线性无关的特征向量和它对应
由本讲的性质
我们知道
这三个向量放在一起仍然是线性无关的
也就是η1 η2 η3这个向量组仍然是线性无关的
这个三阶方阵A就有三个线性无关的特征向量
此性质对于我们下一节
探索矩阵是否可以对角化
是非常重要的
下一节我们会讲到
如果n阶方阵A有n个线性无关的特征向量
A就一定可以相似对角化
接下来我们看一个例题
设λ1和λ2是方阵A的两个不同的特征值
对应的特征向量依次是x1和x2
我们需要证明x1-x2不是A的特征向量
证明
由题意我们可以知道Ax1=λ1x1
Ax2=λ2x2
所以A乘以x1-x2就等于λ1x1-λ2x2
我们把这个记做式（1）
接下来我们用反证法证明
假设x1-x2是A的特征向量
那么就是说
存在数λ
使得A乘以x1-x2等于λ乘以x1-x2
也等于λx1-λx2这就是式（2）
我们将（1）式减去（2）式
会得到下面的式子
λ1-λ乘以x1减去λ2-λ乘以x2等于0
由于λ1≠λ2
所以x1和x2线性无关
我们就会得到λ1-λ=λ2-λ=0
即λ1=λ2
这就与题设矛盾了
所以x1-x2一定不是A的特征向量
就证明了我们的结论
今天我们学习了方阵的特征向量的两条性质
本讲到此结束
同学们再见
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