3.3.1 向量组的秩（一）在线视频

同学们好 欢迎来到我的课堂

今天开始我们学习 3.3节 向量组的秩

前面我们学习了线性相关与无关的定义

并了解了 直观上线性相关的向量组有冗余

线性无关的向量组没有冗余

那么剔除了向量组中的冗余向量

在给定的向量组中

最多包含有多少个线性无关的向量呢

怎样得到这样的线性无关部分组

此外

这些线性无关部分组所含的向量个数

是否是固定的

与线性无关部分组的选取有关系吗

最后 这些线性无关部分组

能表示原来向量组中的任意向量吗

怎么表示呢

这就是我们今天要解决的问题

我们首先给出极大无关组的概念

定义1

若向量组A的部分组

A0: α1 α2,…,αr满足（1）A0线性无关

（2）任取α属于向量组A 但不属于向量组A0

A0并上α以后线性相关

则称A0是A的一个极大线性无关部分组

简称极大无关组

注意

1 线性无关向量组的极大无关组是它本身

2 仅包含零向量的向量组

没有线性无关的向量

因此没有极大无关组

反之

任意含有非零向量的向量组必有极大无关组

下面我们给出一个简单的例子

设A由下面三个2维行向量构成

显然

α1 α2构成2维的单位向量组 线性无关

且加上α3以后线性相关

因此α1 α2是A的一个极大无关组

不难验证α1 α3

以及α2 α3也是A的极大无关组

从这个例子我们可以看出

极大无关组可能不唯一

那么例子当中

这三个极大无关组恰好都包含了两个向量

一般地，其他无关组当中向量的个数相等吗

为了解决这个问题

我们引入极大无关组的另一个等价定义

定义2

若向量组A的部分向量A0: α1,…,αr满足

(1)A0线性无关

(2)向量组A中的任意一个向量都可以由A0线性表示

则称A0是A的一个极大无关组

下面我们证明定义1和定义2确实等价

由于条件(1)是相同的

即A0是A的线性无关部分组

下面我们只需证明

定义当中的条件(2)相互等价

事实上 任取α属于A 但不属于A0

A0并上α以后线性相关

则α可以用A0线性表示

反过来也是对的

而注意到A0当中的向量显然可以由A0自己表示

因此这一条件当且仅当

A当中的任意向量可以由A0线性表示

这就证得

定义1和定义2当中的条件(2)相互等价

注意根据定义2的条件(2)

我们知道 向量组与它的极大无关组

能够相互线性表示

因此是等价的

此外

向量组的任意两个极大无关组

都与向量组等价

因此它们也是相互等价的

于是 任意两个极大无关组当中

所包含的向量个数一定是相等的

这个数值可以说是向量组的一个本质特征

下面我们将它定义出来

定义 向量组A: α1,…,αs的极大无关组

所含向量的个数称为该向量组的秩

记作r(α1,α2,…,αs)

注意

1 由于仅含零向量的向量组没有极大无关组

我们规定这样的向量组秩为零

2 若α1,…,αs当中包含非零向量

那么这个向量组的秩必定大于等于1

小于等于s

下面我们给出矩阵列秩和行秩的定义

对于m行n列的矩阵A

A的列向量组α1,…,αn的秩称为A的列秩

A的行向量组β1,…,βm的秩称为A的行秩

注意 回顾之前的分块矩阵记法

我们曾经将A记作(α1,…,αn)

那么从这一记号来看

矩阵秩的记号和矩阵列秩的记号极其相似

它们两者之间有什么样的关系呢

我们来看下面的结论

定理1

矩阵的秩等于矩阵的列秩也等于其行秩

注意 矩阵的列秩和行秩本质上都是向量组的秩

因此这个定理统一了矩阵的秩与向量组的秩

下面我们给出证明

将矩阵A的列记作α1,…,αm

矩阵A的秩记作r

那么根据矩阵秩的定义

可以设Dr是A的一个r阶非零子式

且不妨设Dr取自A的前r列

行则随意

下证α1,…,αr

是A的列向量组的一个极大无关组

这样就说明了α1,…,αm这个向量组的秩等于r

既证得A的列秩等于矩阵A的秩

下面的证明分为两个部分

首先我们证明α1,…,αr是线性无关的

其次 任意添加一个αk之后

新的向量组线性相关

好 来看第一部分

记Dr的各列为β1,…,βr

这里β是r维列向量

由Dr行列式不等于零知道

齐次线性方程组

X1β1+...+Xrβr=0 仅有零解

因此β1,…,βr线性无关

于是

其加长向量组α1,…,αr也线性无关

第二部分 任取αk

这里k大于r 小于等于m

我们考察方程组

X1α1+...+Xrαr 另外加上Xkαk

这一线性组合令它等于零向量

并且将α1,…,αr以及βk构造矩阵B

由于矩阵B是A的一个部分

因此B的秩小于等于A的秩

从而严格小于r+1

这就表明上述方程组有非零解

即α1,…,αr加上αk以后线性相关

好 到这里我们完成了

矩阵秩等于矩阵列秩的证明

下面再来讨论行秩

显然A的秩等于A的转置矩阵的秩

等于转置矩阵的列秩

从而等于A的行秩

下面我们来讨论怎样求向量组的秩

极大无关组

并用该极大无关组线性表示其余向量

注意 这个问题

本质上就是向量组线性相关

线性无关和线性表示的问题

回顾前面线性相关 线性无关的判定

线性表示与线性组合的判定

我们知道都应该从矩阵出发 做出等行变换

得行阶梯矩阵 得行最简形矩阵

下面我们来看这一过程

考察4维列向量α1,…,α5

如果将α做列 构造矩阵A

对A施以初等行变换

能够化为下述的行阶梯形矩阵

那么从该矩阵当中 我们可以看出

(1)向量组的秩 矩阵A的列秩等于矩阵A的秩

也就是行阶梯阵当中非零行的行数

在这里 向量组的秩等于3

(2)我们还可以从这一行阶梯形矩阵当中看出

向量组的极大无关组

它可以取为非零行首个非零元所对应的列

这里我们取出行阶梯形矩阵当中的第一列

第二列和第四列 构造一个矩阵

由于这个矩阵的秩是3 可以看出

由α1 α2和α4为系数的齐次线性方程组

包含三个独立方程

包含三个未知量

因此这个齐次线性方程组仅有零解

这就得到α1 α2 α4是线性无关的

如果任意再增加一个向量

比如α3或者α5 得到的新向量组线性相关

所以α1 α2 α4构成原向量组的一个极大无关组

当然极大无关组往往是不唯一的

在这里我们也可以取

α1 α3 α4作为一个极大无关组

接下来 我们讨论用极大无关组表示其余向量的问题

我们刚才取出α1 α2 α4作为极大无关组

接下来 为了用极大无关组表示出其余向量

我们将行阶梯形矩阵

继续化简得到行最简形矩阵

由于我们之前选取了α1 α2 α4作为极大无关组

因此这里我们换列得到下面的矩阵形式

将α1 α2 α4放在前三列

根据这一形式

我们可以得到其余向量的线性表示

系数即对应的线性方程组的解

以α3为例

讨论α3怎样用α1 α2 α4线性表示

既考察上述矩阵当中

前四列所对应的一个线性方程组的问题

其中第四列对应常数项

因此这个线性方程组的解

就是x1=3 x2=1 x3=0

于是得到α3等于

3α1+1α2+0α4

即3α1+α2

同样地 考察α5的线性表示

即考察上述矩阵当中的第一 二 三及第五列

我们得到α5=2α1+α2

上述的计算过程

我们不难看出

矩阵的初等行变换不改变其列向量之间的线性关系

同样地 矩阵的初等列变换

不改变其行向量间的线性关系

例1

求向量组的一个极大无关组并用它表示其余向量

题目当中给出的是行向量

我们将其转置

讨论列向量组的极大无关组与线性表示问题

以α1^T,…,α4^T为列

构造矩阵A 对它施以初等行变换

首先处理第一列

接着我们将第三行消成零行

并且将第二行除上-1 得到一个行阶梯形矩阵

根据这一形式

我们可以看出向量组的秩等于2

并且我们可以找到一个极大无关组 即α1 α2

接下来 我们继续对行阶梯形矩阵化简

我们得到行最简形矩阵

根据这一形式我们看出

α3=1/2*α1+α2

α4=α1+α2

今天我们学习了极大无关组的两个等价定义

以及极大无关组的性质

我们给出了向量组秩的定义

并且证明了矩阵秩与矩阵的行秩 列秩之间的关系

最后我们给出了求向量组极大无关组

并且用极大无关组表示其余向量的计算过程

今天的课程中 我们讲到

矩阵的初等行变换不改变其列向量的线性关系

但是未予证明

请同学们思考它的证明过程

好 今天的课程就到这里

同学们再见