6.3.1 正定二次型概念在线视频

同学们好

本节我们进行正定二次型的学习

在上一节的学习中

我们知道任意二次型都

可以经过可逆的线性变换

化成规范形

并且规范形是唯一

即二次型中正、负惯性指数是确定的

在实际问题中

正或负惯性指数为n的二次型

具有较多的应用

比如多元函数极值问题中

通过泰勒展开函数

函数在一点是否取极值

通常转化为判断该点

海森矩阵的二次型

是正、负惯性指数是否为n

正惯性指数为n的二次型

我们把它称为正定二次型

本节要学习正定二次型的概念和判定

我们先来看正定二次型的概念

什么是正定二次型

如果对任意的非零向量x

都有fx是大于0

那么我们就把二次型f

称为是正定二次型

并把对称矩阵A称为是正定矩阵

比如我们看这样几个例子

这里边f就是一个正定二次型

而g不是正定二次型

由于存在非零向量

比如我们取向量为1 0代进去

那么二次型的值等于-1

所以g不是正定二次型

根据我们前面学过的知识

我们可以证明可逆的线性变换

不改变二次型的正定性

因此二次型的正定性

可由其标准形和规范形的正定性给出

下面我们来看一个定理

n元二次型正定的充分必要条件是

它的正惯性指数等于n

我们先来证明一下定理

我们假设有可逆变换C

也就是x等于C乘y

使得二次型化为标准形这样一种形式

我们先来证明充分性

假设λi都是大于零

也就是它的正惯性指数等于n

我们任取x不等于零

由于C是可逆的线性变换

所以y等于C逆乘x也不等于0

我们代到二次型的表达式里面

我们就得到fx的值是大于0

这样我们就证明了对任意的x不等于0

fx是大于0

f是一个正定的二次型

现在再来看必要性的证明

假设存在某个λi是小于等于0

也就是我们用反证法来证

那么我们取一个特殊的向量y

y是等于εi

εi就是第i个分量为1

其他分量都为0这样一个向量

fCε就等于λi

而我们已经假设λi是小于等于0

由于Cεi又是不等于0

所以说我们就找到了一个非零的向量

使得二次型的值小于等于0

这与二次型的正定性是矛盾的

因此我们就证明了必要性

这样我们就完成了定理的证明

我们看在上述证明中

如果我们可逆的线性变换

化二次型为标准形

我们使用的是正交变换法

那么我们得到的标准形里边

平方项的系数就是

二次型矩阵的特征值

由此，我们就有下面的推论

对称矩阵A是正定的充分必要条件是

矩阵A的特征值全为正

这是我们通过特征值给了

二次型正定的一个判定条件

由于正定二次型的规范形

是y1的平方一直加到yn的平方这种形式

而这个二次型它的矩阵是单位矩阵

由此我们得到了二次型的另外一个

判定定理

n阶对称矩阵A

是正定矩阵的充分必要条件是

A与单位矩阵是合同的

那么由定理

那么，由这个定理我们就可以得到下面的推论

n阶对称矩阵A

是正定矩阵的充分必要条件是

存在可逆矩阵C

使得A等于C的转置乘C

我们说这个推论

直接就是定理2的一个结论

由于定理2说明

A是正定矩阵当且仅当

A和单位矩阵合同

而A和单位矩阵合同

存在可逆矩阵C

使得A等于C的转置乘以C

当A是正定矩阵时

存在可逆矩阵C

使得A等于C的转置乘以C

我们去求A的行列式

得到A的行列式

是等于C的行列式的平方

而C是可逆矩阵

它的行列式不等于0

这样我们就得到下面这个推论

如果A是正定矩阵

那么A的行列式是大于0

我们这里需要注意的是

行列式大于0

只是正定矩阵的一个必要条件

不是充分条件

我们来看这个例子

A矩阵这样一个对角形矩阵

显然A矩阵的行列式等于1是大于0

但是A不是正定矩阵

由于A的正惯性指数是1而不是3

接下来我们再给一个定理

由于我们前面讲过合同的矩阵

是具有相同的规范形

也说合同的矩阵是具有相同的

正、负惯性指数

那么我们就可以得到

如果A是一个正定矩阵

A和B是合同的

那么B也是一个正定矩阵

这就是我们的定理3

以上我们判定

正定矩阵的条件都是通过矩阵来给出

下面我们给出一个通过行列式来判断

矩阵正定性的一个结论

首先我们引进k阶顺序主子式的概念

什么是矩阵A的k阶顺序主子式呢

我们先把矩阵A的行列式写出来

所谓矩阵A的k阶顺序主子式

也就是矩阵A从左上角开始

连续取k行和k列

按顺序排成的k阶子式

我们就把它称为是

矩阵A的k阶顺序主子式

我们来看这几个例子

矩阵A的1阶、2阶和n阶顺序主子式

分别是这样几个行列式

a11就是矩阵A的1阶顺序主子式

而左上角的取2行2列得到的子式

a11 a12 a21 a22组成的行列式

就是矩阵A的2阶顺序主子式

那么由于矩阵A就是一个n阶矩阵

它的n阶顺序主子式

就是A的行列式本身

我们给出了矩阵A的

k阶顺序主子式的概念以后

我们就可以得到

对称矩阵A是正定的一个充分必要条件

我们来看定理4

对称矩阵A

是正定的充分必要条件是

A的所有顺序主子式都为正

这里边一定要是

所有的顺序主子式

也就是A的1阶2阶3阶

n-1阶一直到n阶的顺序主子式

都是大于0

这个定理也称为是霍尔维茨定理

我们今天的学习就到这里

谢谢大家