2.2.2 矩阵的运算（二）在线视频

同学们好

欢迎大家来到我的课堂

这次课我们一起来学习矩阵的乘法

我们先看一个实际生产中的例子

已知四家工厂1234

生产三种产品甲乙丙

我们根据矩阵AB

提供的信息我们要给出矩阵C

好同志们来看一下矩阵A

矩阵A的每一行表示不同的工厂

它的每一列表示甲乙丙的三种产品

矩阵B它的每一行分别代表甲乙丙三种产品

它的第一列代表的是价格

第二列代表的是利润

而我们要计算的C矩阵

它的每一行分别代表的是不同的工厂

它的第一列代表的是总收入

第二列代表的是总利润

那么C中的元素cij

我们如何来计算呢

大家先看到c11

那么c11它代表的是

一工厂的总收入

同学们想一想

一工厂的总收入怎么算

显然

它应该等于

甲产品的数量乘以甲的价格

加上乙产品的数量乘乙的价格

再加上丙产品的数量乘以丙的价格

所以c11等于

a11乘以b11加上a12乘以b21

加上a13乘以b31

那么从矩阵的角度看

它就是A矩阵的第一行与B矩阵的第一列

对应位置元素乘积之和

那么c12怎么算呢

c12它代表的是一工厂的总利润

那么它自然等于甲产品的利润

a11乘以b12加上乙产品的利润

a12乘以b22再加上丙产品的利润

a13乘以b32

那么从矩阵的角度看

它就是A矩阵的第一行与B矩阵第2列

对应位置元素乘积之和

那么

根据计算方法

我们可以计算C矩阵中其余元素的值

我们把这些计算式子

我们可以统一写为这样的形式

也就是cij等于σs从1开始到3

ais乘以bsj

我们从例子出发

我们就可以得到矩阵乘法的定义

我们假设有两个矩阵

A矩阵它的规模是m乘以s

有B矩阵它的规模是s乘以n

那么矩阵A与B的乘积

我们记为C等于A乘以B

C是一个m乘以n的矩阵

其中C中的元素cij等于σ

k从1开始到s

aik乘以bkj

那么i从1到m j从1到n

从这个计算式子中我们不难发现

首先两个矩阵要能够做乘法

必须是A矩阵的列数等于

B矩阵的行数才能够做乘法

其次

乘积矩阵C它的行数m来自于A的行数

它的列数n来自于B的列数

我们再具体看一下C矩阵中cij的计算

那么在具体的形式中

这个Cij是等于A矩阵第i行的元素

与B矩阵第j列元素对应位置

乘积之和

也我们样一种σ求和的形式

这就是矩阵乘法的定义

以及它的运算法则

我们来看一些例子

我们给出两个矩阵做乘法

第一个矩阵它的规模是1乘3

第二个矩阵它的规模是3乘1

那么乘积矩阵是1乘1的矩阵

根据矩阵乘法的运算法则

那么它等于第1个矩阵的第1行

只有一行与第二个矩阵只有一列

对应位置元素乘积之和

那么乘出来是10

只有元素的矩阵就是数字所以就等于10

第二个两个2阶方阵做乘法

那么乘积矩阵依然是二阶方阵

里面的元素怎么计算呢

我们来看一下C11

c11等于第1个矩阵的第一行

与第二个矩阵第1列

对应位置元素乘积之和

那么它等于-2乘以2加上

4乘以-3等于负16

c12等于第1个矩阵的第一行

与第二个矩阵的第二列

对应位置元素乘积之和

等于-32

那么同样的c21

第一个矩阵的第2行与第二个矩阵的第1列

对应位置元素乘积之和等于8

c22计算出等于16

我们再看矩阵乘法

A矩阵的规模是3乘4

B矩阵的规模是4乘3

A矩阵的列数等于B矩阵的行数

乘法运算可以进行

并且乘出来是3乘3的矩阵

三阶方阵

根据我们的运算律

那么c11等于A中的第一行

与B中第一列

对应位置元素乘积之和-5

c12 A的第一行与B的第二列

对应位置元素乘积之和6

c13 A的第一行

B的第三列

对应位置元素乘积之和等于7

那么同样的道理我们可以分别计算

C的第二行的元素和第三行的元素

好我们再来看一下线性方程组

当我们把位置量拉掉之后

我们可以得到系数矩阵A

在系数矩阵A中

x1前的系数构成A的第一列

xi前的系数构成A的第i列

我们把未知量拿出来

可以构成列向量X

我们把右端bi拿出来

我们可以构成另外列向量B

那么根据矩阵乘法的定义

这样一个线性方程组

我们可以用一种非常简单的形式来表示

可以把它简写为A乘X等于B

那么这样一种形式

我们叫做线性方程组的矩阵形式

而以后我们对样线性方程组的研究

将转化为对矩阵形式的研究

好我们再来看例子

我们给出两个二阶方阵A和B

我们现在要求A乘B与B乘A

那么通过简单计算我们发现

A乘B是二阶方阵

它里面的四个元素分别是

-16-32 8和16

而B乘A得到的是0矩阵

二阶的0矩阵

那么这样一个例子就告诉我们

矩阵乘法

它不满足交换律

也就是说A乘以B

不一定等于B乘以A

第二个两个矩阵相乘A

A乘B等于0矩阵

我们也推不出来

A等于0矩阵或者B等于0矩阵

第三条A乘B等于A乘C

我们推不出B等于C

那么比如说在例子中

两个非零矩阵乘出来是零矩阵

而A乘C当我们把C取为零矩阵的时候

依然是零矩阵但是推不出B等于C

矩阵的乘法它不满足交换律和消去律

同学们注意

单位矩阵它非常特殊

对于任意一个方阵A我们有

用单位矩阵去左乘A和右乘A

它们两者是相等的

就等于矩阵A

如果有非零的A矩阵和非零的B矩阵

A乘B等于0矩阵

我们称A和B互为零因子

我们把A称为B的左因子

B称为A的右因子

更为特别的

如果有两个n阶方阵A和B

A乘B等于B乘A

我们称方阵AB是可交换的

我们来看例子

我们给出二阶方阵A

我们求能够与A可交换的矩阵

那么根据可交换的定义

首先AB必须是同阶方阵

其次要满足A乘B等于B乘A

我们把B设出来

那么B的四个元素分别是

xyz和u二阶方阵

那么根据A乘B等于B乘A

我们建立起方程

那么根据两个矩阵相等

我们得到四个方程

在四个方程中

大家看第三个

两倍z等于z

很容易推出z等于零

而把z等于0代到

第一个和第四个方程中去

它是恒等的

我们只需要把第二个方程移项

得到u=x+y

从而我们就得到B矩阵的形式

它的四个元素分别是

x y 0 x+y x y是任意常数

那么根据矩阵乘法的定义

我们可以很容易地推出

矩阵乘法具有以下运算性质

当然

我们前提是假设

下面的矩阵运算都是有意义的

第一条A乘以B乘以C

我们既可以先把A与B相乘再乘以C

我们也可以先把B与C相乘

再用A左乘

第二条

A乘以括号B加C等于AB加AC

括号B加C乘A等于BA加上CA

也就是矩阵乘法

既满足右分配律

又满足左分配律

第三条

k乘以括号A乘以B

那么时候实数k

可以放到矩阵乘法的任何位置

同学们请注意

根据乘法的分配律

对于下面这样一个式子

A乘B减去k乘A等于零矩阵k是实数

我们只能够推出

A括号B减去kE

E是单位矩阵等于0矩阵

而不能推出A乘括号B

减去k数字k可以等于零矩阵

因为矩阵减数字B减k

在一般情况下它是没有意义的

好我们把矩阵乘法做推广

我们就可以定义矩阵的幂

我们假设A是n阶方阵

我们规定A的零次方等于单位矩阵E

A的k次方等于k个A相乘

k是正整数

那么时候我们称A的k次方

为A的k次幂

那么显然我们从A的k次幂的定义出发

我们可以推出以下运算性质

第一个

A的m次方乘以A的l次方

等于A的m加l次方

A的m次方括号的l二次方

那么等于A的m乘l次方

m l为正整数

第二个

对两个n阶的方阵A和B来说

一般情况下

A乘B的k次幂

不等于A的k次幂乘以B的k次幂

第三个

如果A的平方等于A

我们称A为幂等矩阵

而如果A的平方等于零

我们称A为幂零矩阵

好我们看例子

我们给出二阶方阵A

1 2 0 1 4个元素

我们要求A的n次方

这个题目同学们怎么考虑呢

我们要写出A^n的表达式

现在只知道A

我们能不能先算一下A的平方

再算下A的三次方

咱们归纳出A的k次方

再走数学归纳法

得到A^n的表达式

事实上

我们就是这么思考的

那么我们先计算A的平方

根据矩阵乘法

它算出来是二阶方阵

1 4 0 1

是它四个元素

那么A的三次方等于A的平方乘以A

那么简单计算它是1 6 0 1

我们观察A的平方和A的三次方

这两个矩阵

我们发现两个矩阵有三个位置的元素是一样的

101三个位置是一样的

而不同的是

右上角位置

A的平方是4 A的三次方是6

我们可以猜呀

如果是A的k次方

那么右上角位置应该是

两倍的k

而其它三个位置依然是1 0 1

我们假设Ak的表达式是

那么Ak加1等于Ak乘以A

经过简单计算

它等于

1 0 1三个位置依然保持不动

而右上角的位置变成了两倍的k加1

那么由数学归纳法

我们就知道

对于任意的自然数n

按有A的n次方等于

1 0 1三个位置依然保持不变

右上角变成了两倍n

这样一个二阶方阵

如果对于含有x的m次的多项式而言

Fx等于a0的x^m

加上a1的x^(m-1)

一直加加到a(m-1)x 加到am

如果在这样X的m次多项式中

我们把未知量X

用n阶方阵A带进去

我们就可以得到矩阵A的多项式

请同学们注意

在这样多项式中

它的最后一项是am

那么为了保证矩阵运算有意义

我们在FA中

它的最后一项

我们还要配上单位矩阵E

也就是最后一项是am乘以E

那么显然矩阵多项式有下面的性质

我们假设fx和gx都是x的多项式

那么对于任意方阵A

我们有fA乘以gA

等于gA乘以fA

也就是说

虽然矩阵的乘法不满足交换律

但是矩阵多项式的乘法满足交换律

最后我们看例子

我们假设fx是二次多项式

等于x平方减5x加上3

A是二阶方阵

现在我们要求这样一个矩阵多项式

那么根据我们的定义

我们在多项式中把A带进去

同时最后一项加3

我们配上单位矩阵

加上三倍的E

我们把A矩阵的具体形式带进去

利用矩阵的幂以及矩阵乘法的运算法则

同时结合矩阵的加法和减法

我们可以很容易的算出最后的结果

那么这样一个矩阵多项式fA

等于二阶矩阵

它的四个元素分别是-7 -15 10和3

好 同学们

我们这次课就上到这

下次课

再见