1.1.1 行列式的概念（一）在线视频

同学们好

欢迎大家参加线性代数这门课程的学习

线性代数

主要研究数量之间

线性关系的

理论与方法

随着计算机

及其应用技术的

飞速发展

作为

大数据

人工智能

区块链

等数值计算理论基础的

线性代数的作用与地位显得更加重要

线性代数

已经成为

自然科学

工程技术

和经济管理

等各领域

广泛应用的数学工具

本课程

本课程我们精选线性代数的核心内容

主要讲授

行列式

矩阵

向量

线性方程组

相似对角化

二次型

等基本概念

基本性质

和基本方法

本课程以提出问题

分析问题

和解决问题的方式

来进行展开

注重学习过程的

思维分析

和学习兴趣的培养

自动培养同学们的

数字运算能力

空间想象能力

和综合运用

所学知识

分析问题

解决问题的能力

通过本课程的学习

使同学们掌握线性代数的

基本理论

基本方法

等核心知识

为进一步学习后继课程

继续深造

和将来的工作实践

奠定必要的数学基础

我们这次课

要介绍的

是线性代数的第一章

行列式

行列式这一部分

涉及到5个方面的内容

包括行列式的概念

行列式的性质

行列式的

展开定理

行列式的计算

克拉姆法则

首先

我们看行列式的概念

行列式的概念

我们又从三个知识点来分析

首先我们看看

二阶三阶行列式是怎么提出来的

为了隐去

一般的n阶行列式的概念

我们接下来要介绍排列及逆序数

有了排列及逆序数做基础

我们最后就会引出来

n阶行列式的定义

先看二阶三阶行列式

大家在

中学学习数学的时候啊

都知道用消元法

来解这样一个二元的线性方程组

这个

二元线性方程组怎么求解

大家都知道我们可以消元法

3

我这个方程的

分别消除

x2 x1

我们就可以得到

这样两个等式

而这两个等式

能不能把x1 x2给解出来

大家知道了

我们要求x1 x2

前面的系数是不为零的

所以当

a11a22-a12a21≠0的时候

那我们这样一个方程组

它就能够有唯一解

这个唯一解

很轻松的

我们可以把它得到

x1和x2它的具体解的表达式

那好了

也就是说在我们这样一个方程的(1.2)式子中

对吧

分子分母

它都有一个共同的特点

这就是

都是两组数的乘积之差

其中分母

实际上是由方程组

(1.1)

它的四个系数

所确定的

x1 x2这两个解的分母

都完全一样

那好

我们在解这个方程组的时候经常会出现

这样一种表达式

怎么办呢

我们可以引入一个记号

也就是说

把方程组的位置量的系数单独的拉出来

a11 a12 a21 a22

在它的两侧

我们在各加一条竖线

这就是一个记号

那这个记号是一个什么含义呢

它表达的

就是我们解的分母部分

a11a22-a12a21

经常遇到这样一种表达式对吧

我们用一个数学符号来描述这样一个计算式子

那我们就把这样一个符号

称作是二阶行列式

其中aij

称为行列式的元素

元素aij的第一个下标

i

我们称作是行标

表示该元素是位于我的这样一个

第i行

第二个下标j

称作是列标

表示该元素

位于第j列

这样一个二阶行列式

4

为了便于记忆

我们还可以用一个对角线的法则

也就是说像这样一个头的方式

我们来描述它

对吧

那么这个二阶行列式 它其实就是等于

实的连线

也就是我们主对角线上的两个元素

a11与a22的乘积

再减去

我们的虚的连线

也就是

副对角线上的两个元素

a12与a21的乘积

那么利用行列式的这样一个定义

其实呢 我们这样一个方程组

它的解对吧

我现在就可以通过行列式来描述了

根据我们刚才的定义

分母部分

刚好就是我们刚才定义的这样一个二阶行列式

而分子部分呢

根据我们刚才已经计算出来的解的表达式

它也刚好对应的就是一两个行列式来描述就可以

对吧

我们的分子

第一个解x1

它所对应的行列式的第一列

其实

因方程组的右端的两个常数

去代替我这样一个原来行列式的第一列

所得到的一个行列式的值就可以

而x2呢

就是把我们这样一个系数行列式里头的第二列

右端的常数b1和b2去代替以后

对吧

按照行列式

刚才我们定义的这样一个运算规则

它不刚好就代表了x2它的这样一个系数部分吧

因此

引进了这样一个二阶行列式以后

我们就可以很方便的

把这个

很直观

二元一次线性方程组

它的解

分子分母全部都可以用行列式来描述了

对吧

所以这是我们在解这样一个二元一次线性方程组的时候

经常会出现这样一种需要计算的式子

我们引出来了

二阶行列式的概念

那好

现在我们如果是用D表示

系数的一个二阶行列式

D1

系数行列的第一列

用右端的常数列去代替以后的一个二阶行列式

D2

把系数行列式的第二列

用右端的常数列去代替以后

所得到的一个二阶行列式

对吧

如果我们系数行列式不等于零

那我们前面谈到的方程组(1.1)

它就有唯一解

而且这个唯一解我们可以很方便的

用行列式

把它表述出来了

二元一次线性方程组

有了行列式以后

我们实际上大家可以来看一个例题

那我们要求解这样一个二元一次线性方程组

当然我们也可以按照我们中学的方法来算

但是有了刚才我们的二阶行列式的概念以后

对吧

我们现在的话呢就可以把系数行列式D

保持元素的位置顺序不变

2 1 3 -2

这样一个二阶行列式是按照对角线的法则可以算出来

它是等于-7

不等于0

D1

把第一列右端的常数列

3和1去代

按照行列式的计算法则

我们算出来

它是等于-7

D2

把系数行列式的第二列

右端的常数列

3 1来代

按照行列式的计算规则

同样可以算出来

这样的话呢

我们就可以

把方程组的解给它计算出来了

对吧

x1就是D1/D

x2就是D2/D

我把这样一个二元一次线性方程组的解

通过这样一种二阶行列式

就可以统一的用这个公式把它的解计算出来了

那好了

三元一次线性方程组怎么求解啊

四元一次方程组

怎么去求解

对于我们这样一个三元一次线性方程组

同学们完全类似的可以用这样一个消元的方法

把它的解求出来

也可以求出在一定的条件下

x1 x2 x3的表达式

这个时候的话呢

我们不是去算它了

大家可以自己算一算

其实还是比较繁琐的

我们会发现这三个解x1 x2 x3

表达式的分母是统一的

都是由它的

方程组的位置量的系数

所确定的

也就是说呢我们(1.5)这样一个表达式的

右端部分

是由六项所构成的

那跟二元一次线性方程组求解

经常遇到对吧

我们计算的这样一个表达式分母

是共同的

我们引出一个记号来了

那现在我们完全可以类似的呀

也就是说呢把这样一个方程组的未知量的系数

保持位置顺序不变

我的两侧各加了一条竖线

这样一个记号

这个记号是什么呢

它表达的是右端的这6项

代数和

我们就可以

把这样一个记号

称作是

三阶行列式

对吧

这个三阶行列式的计算结果还有6项

其中它很有特点

每一项

都是不同行

不同列的

三个元素的乘积

前面可能取正号也可以取负号

有没有规律

我们后面再说

那为了便于大家记忆

我们也可以引述

这样一个对角线的法则

就说大家会看这个头

这个头的话呢

它实际上

每条实线上对吧

三个元素的乘积

都是取正号

每条虚线上

三个元素的乘积

都是取负号

那么

有了这样一个

对角线法则来帮助我们记忆以后

大家也可以来看一个例题

那好

现在我们要来计算这样一个三阶行列式

对吧

按照对角线的法则

它应该是有6项所构成的

所以按照我们刚才

这个对角线法则

把6项 3项

前面是正号

3项

后面前面是取负号

对吧

最终的话呢

我们可以把这个结果很方便的计算出来

就是什么呢

去对应这个公式

我们一步一步去算一下

就可以

没有本质的困难

最后我们算下来的结果是等于

-17

这样的话呢

通过二元三元线性方程组的求解

经常我们会遇到这样一类计算问题

把这样一类计算问题

我们就用一个数学的符号来描述它

引出来了二阶

三阶行列式的概念

所以大家不要把这个二阶 三阶行列式

想的就是那么神秘

它其实就是什么呢

它定义了一个运算的规则

当然有实际背景

实际背景就是解方程组

同学们自然会想啊

那四元线性方程组怎么办呢

五元线性方程组怎么办呢

一般的n元线性方程组怎么办呢

这就是我们接下来要继续介绍的内容

好

本节内容

我们就先介绍到这里

谢谢大家