6.2.1 标准形在线视频

同学们好

本节我们来学习二次型的标准形及规范形

在研究二次曲线的性质的时候

人们经常会选择适当的坐标系

消去二次曲线方程里边的交叉项化为标准方程

我们看二次曲线方程的左边正是一个二次型

而它的标准方程的左边这个二次型只含有平方项

没有交叉项

只含有平方项的二次型是最简单的一种

我们把它称为标准形

我们需要寻求可逆的线性变换

使二次型

只含有平方项

我们首先给出标准形的定义

所谓的标准形就是只含有平方项的二次型

我们回想一下二次型经过

非退化的线性变换化成另外一个二次型的过程

现在如果我们要把二次型

通过非退化的线性变换化成标准形

这时我们只需要找到可逆矩阵C

使得B等于C的转置乘A乘C

也就是使得新二次型的矩阵B是一个对角矩阵

因此我们说二次型化为标准形的问题

是转化为把矩阵A合同对角化的问题

二次型化为标准形的方法有很多

比如正交变换法、配方法和初等变换法等

在这里我们只介绍正交变换法和配方法

我们来看正交变换法化二次型为标准形的过程

如果令x和y分别是这样两个向量

Q是一个系数矩阵

X=Qy我们把它代到二次型里边

这样我们得到了一个新的二次型

如果我们想要新的二次型式标准形

那么我们就需要

Q的转置乘A乘Q是一个对角形矩阵

所以我们问题的关键就是把对称矩阵A

化成对角形矩阵

也就是要寻求一个可逆矩阵Q

使得Q的转置乘A乘Q是一个对角形矩阵

那么回想一下

我们在第五章中学过的关于实对称矩阵的性质

我们有定理说

实对称矩阵都可以经过正交矩阵化成对角形矩阵

也就是说对任意的实对称矩阵A

都存在一个正交矩阵Q

使得Q的逆乘A乘Q是一个对角形矩阵

由于

Q是一个正交矩阵

那么它的逆矩阵是等于它的转置

这样我们就有下面这个定理

任给实二次型都存在正交矩阵Q

使得经过正交变换x=Qy以后

都可以把二次型f化成标准形

其中标准形里边完全平方项的系数

λ1 λ2到λn正是二次型矩阵A的特征值

这个定理也给出了我们一个用正交变换法

化二次型为标准形的一个方法

我们来看一个例子

把二次型化成标准形

我们来看第一步

首先我们要写出对应的二次型矩阵

并求出它的特征值

矩阵A就是根据二次型和矩阵的对应关系

也就是对角线上的元素是等于平方项的系数

而非对角线上的元素是等于交叉项系数的一半

这样我们就写出了矩阵A的表达式

接下来我们来求矩阵A的特征值

矩阵A的特征值要通过它的特征方程去求解

我们可以求出矩阵A有3个特征值

其中9是单根

18是一个二重根

第二步

我们来求

特征向量所对应的基础解系

我们需要把9这个特征值和18这个特征值

分别带到齐次方程组里边

得到两组基础解系

对应9的特征值是ξ1

对应18的特征值得到的基础解系是ξ2和ξ3

接下来为了得到正交矩阵

我们需要把

特征向量正交化

由于我们前面学过

实对称矩阵对应不同特征值的特征向量是正交的

而对应同一特征值的特征向量不一定正交

所以我们首先需要把ξ2和ξ3进行正交化

正交化所使用的方法就是施密特正交化方法

我们可取β2等于ξ2

而β3就利用施密特正交化方法

我们得到这样一种形式

然后我们再令β1就是等于ξ1

那么我们就得到了一组正交向量组

也就是我们这里边的β1、 β2和β3

接下来我们需要把正交向量组进行单位化

从而得到我们要找的正交矩阵

把向量进行单位化

只需要把这个向量再乘以它长度的倒数

那么我们就得到了这样一组正交向量组

γ1 γ2和γ3

这样我们把γ1 γ2和γ3三按顺序放在一起

我们就得到了一个正交矩阵Q

于是我们就求得了我们所需要的正交变换

正交变换我们就写为这样一种形式

从而我们就得到了我们

二次型的标准形

在这里我们要注意

Q中的向量和λi的顺序要保持一致

也就是说Q里边第一个向量

它对应的应该是9这个特征值的特征向量

而第二个第三个分别是对应18这个特征值的特征向量

这是我们用正交变换法

把二次型化标准形的过程

我们接下来再介绍一种方法 是配方法

配方法就是用初等数学的方法

把二次型化成标准形

我们简单说一下它的过程

第一就是说如果二次型里边含有xi的平方项

那么我们就把含有xi的项都集中的放在一起

然后进行配方

然后再对其他的量进行同样的进行

直到都配成平方项为止

那么经过非退化的线性变换

就得到了标准形

如果给定的二次型里边不含有平方项

比如二次型里边的a12不等于0

那么这时我们需要先做一个可逆的线性变换

把二次型化成含有平方项的二次型

再按上面的方法进行配方

我们来看这样一个例子

把这个二次型化成标准形并求所用变换的矩阵

由于二次型里边是含有x1的平方项

那么我们先把含有x1的项放在一起

对x1进行配方

然后呢我们要减掉多余的项

这样我们就得到了这一步 这个式子

进一步我们把多余的项进行组合

我们又得到了下面这一步

然后我们再对其他的含有x2的平方项的项进行配方

这样我们就得到了这样一个完全平方的式子

到此我们就可以令

y1是等于x1+x2+x3

y2是等于x2加上2倍的x3

那么y3的选取可以不是唯一的

但是由于我们要寻找一个可逆的线性变换

所以我们要选y3的标准

就是使得我们的矩阵是可逆矩阵

所以我们这里边可以取y3等于x3

这样我们再解出来x的表达式

我们就求出来所用的变换矩阵是C

我们可以看到这个题里边

我们用配方法把二次型化成标准形

平方项的系数

它不一定是二次型矩阵的特征值

那么如果二次型里边不含有平方项

我们需要先把它化出平方项

再进行配方

我们来看这个例子

我们用配方法求一个非奇异的矩阵C

使得二次型化为标准形

在这个二次型里边

由于不含有平方项

我们通过观察可以看到

二次型里边是含有x1乘x2项

所以我们先做这样一个变换

我们令x1等于y1

x2等于y1加y2 x3等于y3

这样我们

把二次型化成了一个以y为二次型的这样一个形式

这时y的二次型边就含有平方向y1的平方

接下来我们再利用配方法进行配方

这个具体的过程我就不再详细的说

那么通过配方法的话

我们最后就得到了这样一个标准形

也就是我令z1等于y1加上二分之一y2

减去二分之一y3

z2是等于y2加3倍的y3

z3等于y3

这样我们就得到了变量y到z的线性变换

由于我们二次型最开始的变量是x

所以我们要求出变量x到z的线性变换

那么它就是等于我们x到y的矩阵

C1再乘以y到z变换的矩阵C2

这样我们就求得了二次型的标准形

我们看到在这道题里边

我们矩阵A它的秩是3

我们需要注意的是

我们用配方法化二次型为标准形

平方项的系数不一定是二次型矩阵的特征值

经过我们这一节的学习

我们知道二次型化为标准形

就是把二次型矩阵A合同对角化

通过正交变换得到的标准形

完全平方项的系数是二次型矩阵A的特征值

而通过配方法得到的标准形

完全平方项的系数不一定是A的特征值

由此我们可以看出

标准形一般不唯一

但是标准形中平方项个数是确定的

它是等于二次型矩阵A的秩

我们这一节的学习就到这里

谢谢大家