当前课程知识点：线性代数 > 第六章 二次型 > 第六章作业 > 2.5.2 矩阵的秩（二）
同学们好
欢迎大家来到我的课堂
今天我们一起学习用初等变换求解线性方程组
我们考察还有n个未知量m个方程的线性方程组
在这个地方m和n可以相等可以不相等
我们可以把系数aij保持它的相对位置不动
得到系数矩阵A
我们看这个系数矩阵A
它的第一列是x1前面的系数
第二列是x2
前面的系数
最后一列是xn前面的系数
我们可以把未知量拿出来
构成一个列向量
大X它的分量是小xi
我们把右端项b1b2到bm拿出来
构成我们的列向量b
那么根据矩阵乘法这样一个线性方程组
我们可以写成矩阵的形式
AX=b
那么进一步我们还可以构造它的增广矩阵
也就是说这个增广矩阵的左半部是我们的系数矩阵A
而最后一列是我们的右端项b通过之前的学习
我们知道利用初等变换可以求解线性方程组
那么下面我们来看一些具体的例子
这是一个四元一次的线性方程组
它的右端分别是-1 3 1 7
那么我们可以写出它的增广矩阵
同学们注意
xi前的系数
是A的第i列
所以x1前的系数1 1 3 1
是这个增广矩阵的第一列
那么同样的我们可以排它的第二到第四列
最后一列是我们的右端项
我们希望利用初等行变换
把这个增广矩阵化为行阶梯形矩阵
再化为行最简形矩阵
从而解出这样一个线性方程组
那么我们一列一列来看
我们首先利用这个数字1
把1以下三个位置变成0
我们用r2-r1
也就是第二行减第一行
r3-3r1
r4-r1
这样的话我们就处理完了第一列
那么接下来我们处理第二列
我们要利用这个-7
把-7以下的这两个位置变成0
所以我们用r4-2r2
r3-r2
我们得到一个行阶梯形矩阵
接下来我们继续往前走
我们把第二行乘以负的七分之一
再把第二行乘以-5加到第一行
我们就得到了行最简形矩阵
我们回顾一下什么叫做行最简形矩阵
它要满足两个条件
第一个
每一个非零行
第一个非0元是1
第二个
第一个一所在的这一列其它位置是0
由这个行最简形矩阵
我们可以得到同解的方程组
那么同样的
第一列代表的是x1前的系数
第二列到第四列
分别代表的是x2到x4前的系数
最后一行是右端项
所以我们根据这个行最简形矩阵的第一行
我们写出第一个方程
x1
加上7分之3 x3
加上七分之十三 x4
等于右端七分之十三
我们根据行最简型矩阵的第二行
写出第二个方程x2-七分之二 x3
减去七分之四
x4
等于负的七分之四
那么在这个同解的方程组中
我们把系数是1的位置量放在等号的左边
其余的量放在等号的右边
也就是说x1 x2是基本未知量
x3 x4是自由未知量
我们不妨令x3=c1
x4=c2
我们就可以得到这个方程组一般的解
它的表达式是
x1等于七分之十三减去七分之三
x3
再减去七分之十三
x4
那么同理我们写出x2的表达式
那么在这个方程组中
x3等于c1
x4等于c2
其中c1c2为任意常数
好我们再看一个例子
这是一个四元一次的线性方程组
但与之前那样一个线性方程组不同的是
它的右端向全部是0
我们把它叫做齐次的线性方程组
如果对这个线性方程组
我们同样去构造它的增广矩阵
增广矩阵的最后一列全为0
而我们知道对这样一个增广矩阵
不管做何种初等行变换
最后一列始终是0
所以为了简化计算
我们只考虑它的系数矩阵A
同样的x1前的系数1 1 3 1
作为A的第一列
x2前的系数作为A的第二列
x4前的系数作为A的最后一列
类似的
我们先处理第一列
我们首先利用这个1把1以下的三个位置变成0
处理完第一列之后
我们处理第二列
我们利用这个2把2以下的位置变成0
这个时候我们可以用r3-r2
r4-2r2来完成这样一个处理
那么做了这些初等行变换之后
我们就得到一个行阶梯形矩阵
接下来我们要继续前进
我们把第二行乘以二分之一
再把第二行加到第一行上去
我们就得到了行最简形矩阵
那么同样的
我们可以根据行最简形矩阵
写出对应的同解的方程组
大家要注意
同样的第一列是x1前的系数
第2到第4列是x2到x4前的系数
而右端
右端全部是0
我们没有写在系数矩阵中
但是大家在写同解的方程组的时候
要记住
我们的右端是等于0的
所以我们得到相应的同解的方程组
第一个x1加上二分之三x3
加上x4等于0
第二个x2减去二分之七x3加上两倍x4等于0
x1x2我们可以作为基本未知量
那么令自由未知量x3等于c1
x等于c2我们可以写出方程组的一般解
那么它是x1等于负的二分之三
x3减x4x2等于二分之七x3减去
2倍x4 x3等于c1 x4等于c2
其中c1c2为任意常数
好
我们这次课就上到这儿
同学们再见
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