1.4 行列式的计算在线视频

同学们好欢迎大家参加线性代数

这门课堂的学习

本节我们要介绍的内容是行列式的计算

大家知道了

前面我们介绍了行列式的定义

性质和行列展开定理

而提出行列式的这样一个概念

但我们首先要解决的是

行列式怎么计算

按照定义计算很繁琐对吧

有了性质

有了行列展开定理以后

给我们提供了

利用性质去化三角形行列式

利用我们的行列展开定理

去进行降阶来计算行列式

其实呢

这两个方法还会综合起来

所以接下来大家可以来看例题

比如说我们想计算这样一个四阶的行列式

那第一个方法

我们可以利用性质

对吧

化上三角形行的列式

那利用性质去化三角形的行列式

它的一个基本的思路

先看最左上角的这个元素

左上角的这个元素

如果是不为零

我们考虑把第一行的常数倍加到第二行

第三行第四行

把底下都化为0元素

第一列底下的元素都化为0元素

一般思想是这样的

但是大家知道

如果左上角这个元素

它不是1 -1

把它的常数倍要加到底下去化为0

经常就会出现分式

而一出现分式我们运算的时候就不方便

因此

如果我们左上角这个元素不是1 -1

底下也就是第一列左上角

这个元素底下有1或者-1

或者说是什么呢

第一行除了第一个元素以外

后面的

第二列

第三列

第四列有1或者-1

我们经常出去交换一下两行

或者是去交换一下两列

使得是什么呢

那就是左上角的这个元素

最好是1或者是-1

这样的话

我们把常数倍加到底下去的时候

就尽量不出现分式

因此我们考虑到左上角的这个元素是2

对吧

2下面的这个元素是1

把第一行第二行一相交换

出了一个负号

但是左上角这个元素现在变成是1了

所以我就可以把第一行的常数倍

-2倍加到第二行

把第一行了多少倍加到第三行

加到第四行上去

对吧

把底下的元素就都化为零了

好 到了这一步的话

大家再来看

第一列除了左上角

这个元素1不为0以外

其余元素都是为0了

那好再考虑第二行第二列

这个元素是7

对吧

是不为零

那我可以把它的常数倍加到第三行

加到第四行上去

把它都化为零

但是这个时候大家看7下面的元素

2和7

也都不是1 -1

所以这个时候你要把它的常数倍加到底下去

把2和7这个位置上的元素都化为0

就没有办法了

只能出现分式了

对吧

所以我们可以考虑

把第二行的负的七分之二倍加上去

加到第三行

把我们的第二行的-1倍加到第四行上去

把底下的元素又都化为零了

好到这一步的话

我们要去化这种三角形的行列式

对不对

再来看

第三行

同学们看第三行第三个元素

七分之三

下面的元素-2

都还不是1 -1

所以把第三行的元素多少被加到第四行上去

把-2在这个位置上的元素化为0

对吧

化为0

这个时候我们常规的计算了

常规的计算了

我们只要把二乘三分之七

对吧

这个倍数加到我的这个第四行上去

把-2这个位置上的元素不就化为0了吗

所以这个是常规计算

最终我们把它化成了是一个

上三角形的行列式

那利用性质

对吧

就是等于对角线上的元素乘起来

错了

把这个行列是我们最多就会计算出来了

这是我们单纯的利用行列式的性质

来计算行列式

当然

我说了

也会把性质和行列展开定理结合起来

也就是说

刚才我们在计算过程的时候

利用我们前面的这种分析

我不去交换一下

我这个两行

我直接考虑到第二行第一列1

这个元素是不为0的

我就直接把第二行的-2倍加入第一行

把2这个位置上的元素化为0

把第二行的-1倍加到第四行

对吧

把A41这个元素1化为0

结果

我们会发现

第一列只有第二行第一列这个元素是不为0的

其余元素都为0了

我按照行列展开定理

那我就可以按到第一列去展开

就0乘代数余子式加1乘代数余子式

加0乘代数余子式

其实只剩下1乘上它的代数余子式了

其余元素都为0

1

第二行第一列

所以-1的

2+1次幂

-1的三次幂还是-1

对吧

去掉1所在的行所在的列

这样的话

实际上是个三阶行列式

那好这个三阶行列式怎么算呢

当然

方法不是唯一的大家注意

就是说 再这里面的话

我们发现又有一个元素

第二行第二列-1

是不是

所以我会考虑把第二行第二列-1

它这个时候的话

做列子这样一个应用列的性质

把第二列的二倍加到第一列

把第二列的2倍加到第三列

那又发现两个零元素来了

也就是说的这个时候

我们的第二行只有-1不为0

我是不是这个三阶行列式

又可以按到第二行去展开

也就是在

-1乘上2+2次幂-1的4次幂偶次幂

所以这个时候

是-1去乘上它的代数余子式-1的四次幂是1了

是不是

前面有个负号

所以在这个时候

其实就变成了去掉-1所在的行列

这么一个二阶行列式

又一次应用行列展开定理

那二阶行列式我们都知道怎么算对吧

用对角线的法则我们就很快算出来了

所以啊

有了行列式的性质

有了行列展开定理以后

我们这个时候行列式计算的方法

就可以比较灵活了

化三角形的行列式也会是什么呢

不去化三角形直接用行列展开定理来进行展开

就可以

当然

学到我们用行列式的性质

利用我这样一个行列展开定理降阶的方法以外

我们这里

再给同学介绍几个行列式的计算方法

如果我们来回顾一下

就是行列式的计算

那最原始的方法

当然就是用定义来做

对不对

但是利用定义来做的话

当行列式它是阶数比较高的时候

还是很繁琐的

什么时候用定义来除非行列式的0元素

特别多的时候

我们还是可以考虑用定义来做

比如说我们的上三角下三角

对吧

再就是什么呢

应用行列展开定理

就是说的降阶

什么时候应用降阶

那就是某一行某一列0元素比较多

我们按照这一行这一列去展开

这是一个比较典型的

便于我们的计算的一个降阶的方法

再就是利用性质

对吧

转化为这个上三角下三角

当然我们也可以把降阶的方法和性质的方法

化三角形的方法可以结合起来

比如说

我们要来计算一下这样一个行列式

那这个行列式有一个什么特点呢

同学们注意

刚刚我们才把灵活的行列性质

和我们这化三角形的行列式

对吧

降阶的方法结合起来

其实有一些行列式

它还是有一定的规律的

比如说

如果所有的行对应元素相加是相等的

后来是所有的列对应元素相加是相等

相等是什么意思呢

就有公因子

我就把公因子提出来

提出来了以后的话呢

剩下的元素都是1了

再去化0元素就很方便了

所以

有这种特征的行列式

一般来讲

我们尽量用这个方法

而这个行列式恰恰就有这个特征

因此

我们可以把这个行列式

它的所有列都加到第一列去

加起来

加起来以后相等等于5

所以我会把5提出来

提出来以后呢

我的第一列元素全部都是一样

所以我在这个时候

可以把第一行的-1倍加到第二行

加到第三行加到第四行

其实就已经化为是一个三角形的行列式

而三角形的行列式

当然就很好计算

就是对角线上的元素乘起来

对吧

乘起来就是四个1乘起来就等于1

再乘上5

所以最后的行列式就等于5

其次以外的话

我们还会用数学归纳法

而数学归纳法的经常是和我们的这个行列展开定理结合起来的

同学们可以看一个范德蒙行列式

这是我们这个行列式这一部分里头应该说的

特别特别有名的一个行列式

范德蒙行列式

这个行列式的特征是什么呢

大家看啊

第一行都是1

第二行x1 x2 xn

第三行x1的平方

x2的平方

xn的平方

最后一行

-1的n-1 1次幂

x1的n-1次幂

x2的n-1次幂

一直到xn的n-1次幂

把这种行列式我们称作是范德蒙行列式

当然我们这是从行的角度来看

转置一下的话

从列的情况来看也是一样的

对吧

这个行列式和它的转置行列式是相同

那这个行列式的结果是什么呢

是所有可能这样一些项连乘起来

大家注意这是一个连乘的这么一个记号

就是表示的是前提

这种同类因子的乘积

什么叫做同类因子的乘积呢

在我们这个地方

是每一个因子是什么是xi-xj

要满足是什么呢

我们这个时候的j

对吧

大于等于1小于i小于等于n

什么意思

如果j取1等于1

那i可以取什么呢 取2 3 依次到n

如果j取2 i可以取什么呢

取3 4 依次到 n

所有可能的这些因子全部乘起来

把它乘起来

那好 我们用数学归纳法

比如说n等于2的时候

这个时候就会了把 对吧

这个时候用对角线的法则我们就可以算出来了

我们就可以算出来啊

所以

它可以因为满足这种连乘的条件的

我相当于说的

这个时候阶就取1

还就只有一个可能的数就是2

所以这个时候就是成立的

用数学归纳法来证明是什么意思

n等于2的时候成立

我假设n等于3等于4

等于5依次n-1的时候

这个结论都是成立

那好

我们对一般的情况下

也就是n的时候

是不是也是成立的

为此 我们设法把Dn降阶

大家可以从第n行开始

把前一行

它的-x1倍加到后一行

这样的话一次一次的

把前一行它的这样一个-x 1倍加到后一行

我们就可以把这个行列式

化成是

这样一种形式

这个时候

大家看到

行列式的第一列去到左上角的元素是1以外

其余元素全部都是0

按照我们行列展开定理

这个时候

我们可以

按照第一列来展开

那么

大家看

按照第一列展开以后

相当于把这个行列式化为的是一个n-1阶的行列式

因为按照第一列展开

对吧去掉1

左上角这个元素所在的行所在的列以后

剩下的这个n-1的行列式

每一行

每一列我们仔细的观察一下

我们发现

他的每一列都有公因子

第一列

有公因子

x2-x1

第二列有公因子

x3-x1

最后一列有公因子

xn-x1

好

这个时候的第一列

除了第一个元素

1以外其余的元素都为零

我是不是就可以按照第一列把它展开

行列展开定理

对不对

展开以后的话

大家会看到实际上每一列都有公因子

对吧

每一列都有公因子

第二列有个公因子是什么呢

是x2-x1

第三列有个公因子

x3-x1

最后一列有个公因子xn-x1

都把它提出来

按照行列式的性质

对吧所以的话呢

就转换成是这样一种形式了

前面是x2-x1

x3-x1

xn-x1

而后面这一部分恰恰就是一个n-1阶的

对吧 n-1阶的

相当于是范德蒙行列式

注意点

你按照数学归纳法

在这个时候的话后面的这一部分

我就可以把所有可能的这种因子把它连乘起来

连乘起来

但是这个时候的话了

xi-xj

大家注意

j是从2开始

大于等于2小于i小于等于n

对不对

那前面这一部分的话呢

和后面这一部分如果把这一合并起来

它不就相当于是什么呢

它不就相当于是什么呢

我这个时候

xi-xj

j就相当于是从1开始

因为整个前面实际上n-1项连乘

恰恰就是j取1的时候

对吧

x2-x1

x2-x1

x3-x1

xn-x1

所以会统一的用

所以会统一的用

这样一个记号来表示

最终其实也就证明了

等于n的时候这个结论也是成立的

对吧

就用数学归纳法

我们把这个结果来推导出来了

这是在行列式这里面非常有名的一个行列式

范德蒙行列式

我们可以通过这种数学归纳法来分析和讨论

同学们注意行列展开定理

把高阶的降阶的低阶的

把高阶的降成的低阶的

可以找到高阶和低阶之间的一种关系

所以我们数学归纳法经常是什么呢

行列展开定理和数学归纳法结合起来

结合起来

那么

作为我们在这样一个行列式计算的时候

因为行列式的话

它的这样一个计算的方式

刚才我们说了有定理

有性质

有行列展开定理

那么

具体到一个行列式到底有什么样的方法

我们可以适当的要注意一下行列式本身的特征

我们可以适当的要注意一下行列式本身的特征

这种特征有两个特征

是需要同学们特别特别关注的

一个就是我们经常在计算的时候

一个就是我们经常在计算的时候

所有的行对应元素相加相等

或者所有列对应元素相加相等

那这种行列式

我们是有相对比较固定的方法来计算的

还有一类

就是我们在整个线性代数这门课程里

都有比较特殊的

这样一个实验

这样子的行列式就是范德蒙行列式

所以我们在这里

通过性质通过行列式展开定理

我们找到了这样一个范德蒙行列式用数学归纳法

我们找到了这样一个范德蒙行列式用数学归纳法

来推导了

证明了这么一个途径

当然就是说

要熟练的把这几个方法都掌握

需要大家

课后自己要多做一点练习

好这一节我们就介绍到这里

谢谢大家