6.2,2 规范形在线视频

同学们好

本节我们继续二次型标准形和规范形的学习

在上一节的学习中我们知道

任意二次型都可以通过可逆的线性变换化成标准形

不同的可逆性线性变换化二次型为标准形

其标准形一般来说不唯一

比如我们用正交变换化二次型为标准形

平方项的系数是特征值

而用配方法化

化二次型为标准形 平方项的系数不一定是特征值

但是标准形中所含平方项的项数是固定的

它是等于二次型的秩

而且标准形中正平方和负平方的个数是不变的

为了研究这一性质

我们现在引入一个规范形的概念

什么是规范形呢

如果二次行通过可逆的线性变换化成这样一种形式

那么我们就把它称为是二次型的规范形

我们来看这个二次型

二次型里边平方项的系数都是正1或者是负1

而且二次型里边只含有平方项

下面我们不加证明的

引进下面定理

任意二次型都可以通过可逆的线性变换化为规范形

并且规范形是唯一的

这个定理说明二次型的规范形

是由二次型本身唯一决定的

与所做的非退化线性变换没有关系

因此

我们可以得到合同的矩阵

具有相同的规范形

我们进一步给出正负惯性指数的概念

我们来看下面定义

二次型的规范形中

我们把正平方的个数p称为是二次型的正惯性指数

负平方的个数q

它就是等于r-p r就是二次型的秩

我们把它称为是二次型的负惯性指数

而它们的差p-q就称为是二次型的符号差

我们来看这样一个例题

在这个例题里边

我们看二次型f它的正惯性指数应该是等于2

因为它平方项里边有两项是正的

负惯性指数那么就是1

它的符号差就是2减1等于1

而它的秩呢就是等于3

因为这个二次型里边它平方项的个数是3个

下面我们来看一个例题

求非退化的线性变换

把二次型化成规范形

这个例题在上节课里边

我们已经通过正交变换的方法

把这个二次型化成了下面这样一个标准形

而我们知道

由于是通过正交变换法得到

这个标准形里边平方项的系数

正是二次型矩阵的特征值

接下来我们进一步把这个标准型化成规范形

由于规范型里边平方项的系数是正1或者是负1

所以我们只需要做下面一个线性变换即可

也就是我们利用y1等于三分之一z1

y2等于3倍的根号二分之一z2

y3等于3倍的根号二分之一z3

这样我们就得到了二次型的规范形

是这样一种形式

我们来看

二次型化为规范形所用的矩阵

首先我们x变量到y变量

是把二次型化成了标准形

然后y变量到z量

是把标准形化成了规范形

那么我们把x化成规范形

所用的矩阵就是两个矩阵的乘积形式

那么这一道题我们就做完了

接下来我们来看

一个推论

假设A、B都是n阶的实对称矩阵

那么A、B合同的充分必要条件是

A、B有相同的正负惯性指数

根据我们前面的惯性定理 我们知道

合同的矩阵是具有相同的规范形

也就是说

合同的矩阵是具有相同的正负惯性指数

下面我们来说明一下

如果A、B具有相同的正、负惯性指数

那么A、B矩阵是相互合同的

这个有合同矩阵的定义也很容易推出来

我们假设可存在可逆矩阵C1、C2

使得A、B都化为同一规范形

也就是

C1的转置乘A乘C1等于

C2的转置乘成B乘C2

那么利用C1、C2都是可逆的

我们就可以得到B是等于C1乘C2逆的转置

再乘A再乘C1乘C2的逆

也就说明了A和B是合同的矩阵

我们说这个推论给出了我们一个判断

矩阵A、B是否合同的一个方法

我们来看下面例题

已知有下面A、B、C、D4个矩阵

我们来判断A是否和B、C、D是合同的

我们首先来看矩阵A

由于矩阵A是一个对角形矩阵

对角线上的元素都是非零

那么我们就知道A矩阵的秩是等于3

而通过对角线上的元素

两正一负

我们知道A的正惯性指数是2

那么下面我们来看B、C、D

如果A要和某个矩阵合同

我们需要判断B、C、D这三个矩阵

他们的正惯性指数是不是2

负惯性指数是不是1

我们先来看B矩阵

我们去求B矩阵的特征值 求出来以后

它的三个特征值分别是2和2分之3加减根号5

我们可以看到这三个特征值都是正的

所以矩阵B的正惯性指数是3

它不和A矩阵合同

我们再来看C矩阵

我们仍然要去求C矩阵的三个特征值

求出来以后分别是1 根号2和负根号2

那么C矩阵他正惯性指数是2

负惯性指数就是1

所以我们可以知道C矩阵和A矩阵是合同的

我们再来看D矩阵

我们去求D矩阵的秩

发现矩阵D的秩是等于2

由于我们知道合同的矩阵一定要有相同的秩

所以我们这里就可以判断D和A是不合同的

我们本节的学习就到这里

谢谢大家