当前课程知识点:电磁场工程应用 > 第0章 场的概念 > 0.4 标量场的方向导数和梯度 > 标量场的方向导数和梯度
同学们好
从今天开始
我们正式学习场的分析方法
首先来看标量场的分析也就是标量场的方向导数和梯度
首先我们来复习一下标量场的概念
标量场指的是用标量来描述的场
例如温度场、高度场等等
它可以用一个标量函数来表示
这个标量函数同时是时间和空间位置的函数
下面我们再看标量场的方向导数
首先为什么需要方向导数
我们已经知道等值线可以形象直观地描述标量场
那么为什么还要引入一个方向导数呢
在标量场中等值线或许等值面的分布可以定性地了解场的整体分布情况
第一
等值线只能定性地描述
第二它只能描述场的整体的分布情况
而很多情况下
我们需要定量地研究场的局部的分布情况
当我们需要定量地考察每一个点的邻域内的局部分布情况的时候
我们就需要引入新的物理量
(用)它们进行描述
所以这就是引入方向导数的原因
下面我们看一个具体的例子
请大家看左边的这一张图是某一个空间的温度分布情况
比如说这个代表着一间房子里面的温度分布情况
图中颜色越红的地方代表着它的温度越高
因此越到下面温度越高越往上走
它的温度越低
假设这个房间的这一个位置
有一只虫子
它需要快速地逃离危险区域的话
那么
它有很多条路径可以走
比如路径1
比如路径2、3、4、5
很显然
每一条路径对于虫子来讲结果是不一样的
那么哪一条逃生路径是最优的呢
很显然
温度下降最快的方向是最佳的逃离路径
根据我们刚才的分析 路径不同
实际上就是逃生的方向不一样
也就是说
在这一个区域中
每一个方向的温度的变化快慢是不一样的
而从我们的数学就知道变化的快慢
可以用导数来描述
因此
每一个方向的变化快慢
可以用方向导数来描述
第二点
我们还需要知道
对于虫子来讲
哪一个方向的温度下降是最快的
温度下降最快的方向称之为梯度方向
因此我们这里就要引入了两个新的物理量
第一方向导数 第二梯度
首先来看
方向导数
假设有一个标量函数φ
它在这个点M0是可微的
在M0点有任意的一个方向是从L方向
那么φ沿这一个方向L的方向导数就定义成
当M趋向于M0之后的极限
也就是这样一个表达式就称之为方向导数
很显然当ΔL
趋向于M0的时候
ΔL趋向于零
所以这个表达式就变成了它
也就是这一个表达式
因此这里实际上依然是一个导数
只是这一个导数是对不同的方向L来求的导数
所以称之为方向导数
而导数的物理含义代表的是变化的快慢
因此
方向导数代表的物理含义是标量场的某一个方向的变化的快慢
或许说叫变换率
下面我们来看方向导数的求解
在直角坐标系中 标量函数φ的微分可以表示成这样一个表达式
所以方向导数就等于这样一个表达式
请大家看的
这里的这三项
dx/dL、dy/dL以及dz/dL
这实际上就是方向余弦
这三个方向余弦
分别采用cosα、cosβ和cosγ来表示的话
那么方向导数就变成了这样一个表达式
也就是说只要知道了L的方向
那么方向余弦就知道了
所以
方向导数就能够求解了
下面继续请大家看了这一个表达式
从这一个表达方式来看
很显然方向余弦与方向导数
cosα、cosγ和cosβ是有关系的
也就是说与方向L相关
所以方向导数不仅和这一个点M0有关
还和L有关
方向导数表示的是标量场中的点对每一个方向的变化率
当方向导数大于零的时候
代表的这个标量函数的值沿这个方向是增大的
反过来
如果小于零的话
证明它的值沿这个方向是减小的
因此
如果方向导数等于零证明函数值沿这一个方向是不变的
请大家思考几个问题
第一个方向导数是标量还是矢量呢
根据我们刚才得到的表达式
很显然它是一个标量
第二个问题
不同方向的变化快慢
是不是一样的
根据这一个表达式不同的方向的
方向导数是不一样的
因为不同方向的
方向余弦是不一样的
所以当方向L改变的时候
方向导数的值也发生改变
也就是说
不同方向的变化快慢是不一样的
第三个问题方向导数能不能反映哪一个方向的变化率是最大的
从第二个问题我们就知道它不能
第四个问题标量能不能准确地刻画标量场的空间变化率
请大家回答第二个问题
刚才我们已经得到不同方向的变化快慢是不一样的
也就是说变化的快慢
是有方向性的 这一个方向的变化
和这个方向的变化就是不一样的
因此要描述它空间的变化率的话
一定要采用一个有方向性的量才能描述
所以标量不能准确地刻画空间的变化率
也就是说
只有采用一个矢量
才能准确地描画这个变化率
因为空间的变化率随方向是变化的
而这样的一个矢量就是我们要讲的梯度
请大家回到我们刚才的
这一个方向导数的表达式
很显然这个表达式可以把它写成这两个矢量函数的标量
即把前面的这一个表达式设成g
而后面的这一个函数实际上就是L方向的单位矢量
也就是说
方向导数可以把它表示成g和L方向的单位矢量的点积
根据点积的表达式应该等于这样一个表达式
这个表达式中g的绝对值
代表g的模 eL是一个单位矢量
所以它的模等于1
很显然
当g和eL同向
也就是这一个余弦函数cos函数等于1的时候
方向导数取最大值
因此我们把这里的这一个函数g
重新写到这一个位置
g就称之为梯度
梯度的英文单词是这么写的
因此
我们把g也写成这一个表达式
这个grad就是这一个单词的前四个字母
注意到这个g的表达式中有三个偏导数
我们把这三个偏导数记成倒三角符号▽
这一个▽称之为哈密顿算子
这种使用方法最开始是哈密顿提出来的
因此我们纪念他就采用他的名字来命名 叫哈密顿算子
定义了哈密顿算子了以后
梯度g就等于标量函数φ的哈密顿算子
因此梯度的物理含义从梯度的这一个表达式来看
g等于标量函数φ的哈密顿算子
这里的φ是一个标量函数
而这里的g本身是一个矢量
因此标量场的梯度是一个矢量
既然梯度是一个矢量
它应该有大小也有方向
它的大小代表着最大的变化率
也就是这一个点的最大的方向导数
它的方向指的是最大方向导数的方向
也就是说它会垂直于等值线或许等位面
并且指向函数值φ增加的方向
例如这个是标量函数φ的等值线
它的值我们已经标在上面了
分别为10、20、30、40和50
很显然这一个蓝颜色的这一个箭头
就代表着这一个方向的方向导数
很显然
每一个方向的方向导数是不一样的
因此有无穷多个方向
它就有无穷多个方向导数
但是在这么多个方向导数中
有一个方向导数是比较特殊的
也就是红颜色的箭头所示的方向
这一个方向代表着它的变化是最快的
所以这个方向就是梯度方向
例如高度场的梯度的大小代表着
该点的最大的高度变化率也就是它的最大陡度
它的方向与等高线是垂直的
并且指向地势升高的方向
把我们刚才所讲的总结一下
梯度是指增加最快的方向
梯度g与方向导数之间的关系是
方向导数等于g和这一个L方向的单位矢量的一个点积
所以方向导数等于梯度在这一个方向上面的投影
因此我们本节跟大家讲了这么两个事情
第一
等值线或等值面虽然能够
定性地反映标量场的总体分布情况
但是不能定量地描述它的局部的分布
所以我们采用梯度来描述标量场中
每一个点的变化最快的方向
和它的最大的变化率
看一个例子
假设有一个场的表达式是这样一个表达式
求它在这一个点的梯度
根据梯度的表达式 把φ的表达式带到里面来
经过运算以后g就等于这样一个矢量
也就是这一个表达式
-0.1 场与路
--场与路
--场与路
-0.2 矢量的基本运算
--矢量的基本运算
--矢量的基本运算
-0.3 场的直观表示--场线
--场的直观表示
--场的直观表示
-0.4 标量场的方向导数和梯度
-0.5.1 矢量场的通量和散度
-0.5.2 矢量场的环量和旋度
-0.6 散度和旋度
--散度和旋度
--散度和旋度
-0.7 亥姆霍兹定理
--亥姆霍兹定理
--赫姆霍兹定理
-第0章 场的概念--第0章习题
-1.1静电场的源
--静电场的源
--静电场的源
-1.2电场强度
--电场强度
--电场强度
-1.3电位
--电位
--电位
-1.4电偶极子
--电偶极子
--电偶极子
-1.5静电场中的导体和电介质
-1.6高斯定理
--高斯定理
--高斯定理
-1.7静电场的基本方程
--静电场的基本方程
--静电场的基本方程
-1.8静电场分界面的衔接条件
-1.9静电场的边值问题及求解
-1.10镜像法
--镜像法
--镜像法
-1.11电轴法
--电轴法
--电轴法
-1.12地球的电容-电容及求解
-1.13静电力与静电能量
--静电力与静电能量
--静电力与静电能量
-1.14高电压技术中的电场问题
-第1章 静电场--第1章习题
-2.1鱼塘大量死鱼之谜-电流及电流密度
-2.2三大定律
--三大定律
--三大定律
-2.3电源电动势和局外场强
-2.4恒定电场的基本方程和边界条件
-2.5电流为什么弯曲?--恒定电场边界条件的应用
-2.6恒定电场的边值问题
-2.7恒定电场与静电场的比拟
-2.8恒定电场的工程应用:电导和部分电导
-2.9别墅起火之谜--绝缘电阻
-2.10奶牛被严重击伤,人却安全无恙?--跨步电压
-第2章 恒定电场--第2章习题
-3.1磁感应强度
--磁感应强度
--磁感应强度
-3.2磁场中的物质--磁化
-3.3安培环路定理
--安培环路定理
--安培环路定理
-3.4恒定磁场基本方程及分界面的衔接条件
-3.5.1矢量磁位及其边值问题
-3.5.2标量磁位及其边值问题
-3.6恒定磁场中的镜像法
-3.7.1自感和互感的概念
-3.7.2自感和互感的计算
-3.8恒定磁场的能量
--恒定磁场的能量
--恒定磁场的能量
-3.9.2虚位移法
--磁场力-虚位移法
--磁场力-虚位移法
-3.9.3法拉第观点
-3.10磁路
--磁路
--磁路
-第3章 恒定磁场--第3章习题
-4.1电磁感应定律
--电磁感应定律
--电磁感应定律
-4.2感应电场
--感应电场
-4.3全电流定律
--全电流定律
-4.4麦克斯韦方程组
--麦克斯韦方程
-4.5.1坡印廷定律和坡印廷矢量
-4.5.2坡印廷定理的应用
-4.6.1 动态位的引入
--动态位的引入
-4.6.2 动态位的积分解
--动态位的积分解
-4.7.1时谐电磁场及其复数表示
-4.7.2麦克斯韦方程的复数形式
-4.7.3复介电常数
-4.7.4坡印廷定理的复数形式
-4.7.5时谐场的坡印廷矢量
-4.7.6时变场计算实例
--时变场计算实例
--时变场计算实例
-第4章 时变电磁场--第4章习题
-5.1 均匀平面电磁波的概念
-5.2.1 无界理想介质中平面波的方程
-5.2.2 无界理想介质中的平面波传播特性
-5.3.1导电媒质中均匀平面波的方程
-5.3.2导电媒质中均匀平面波的传播特性
-5.3.3 4G手机能否用于煤矿的井上下通信?
--4G手机
-5.3.4潜艇通信困难?
--海水潜艇通信困难
-5.3.5良导体和良介质中均匀平面波的传播特性
-5.3.6趋肤效应
--趋肤效应
--趋肤效应
-5.3.7趋肤效应的工程应用2例
-5.4.1 电磁波的极化
--电磁波的极化
--电磁波的极化
-5.4.2 圆极化的旋向判断
--圆极化的旋向判断
--极化旋向判断
-5.4.3 极化的工程应用举例—立体电影
-第5章 均匀平面电磁波--第5章习题
-6.1.1平面电磁波对一般导电媒质的垂直入射
-6.1.2均匀电磁波对理想导体平面的垂直入射
-6.1.3均匀平面波对理想介质分界面的垂直入射
-6.1.4易拉罐增强WiFi信号?
--易拉罐增强WiFi信号?--理想导体平面对电磁波的全反射
--易拉罐增强WiFi信号?--理想导体平面对电磁波的全反射
-6.2.1平面波在理想介质分界面上的斜入射
-6.2.2雷达测距和雷达低空盲区
-6.2.3光纤的传输原理—电磁波在理想介质表面的全反射
-6.2.4电磁波在理想介质表面的全透射
-第6章 平面电磁波的反射和透射--第6章习题