当前课程知识点:电磁场工程应用 >  第0章 场的概念 >  0.5.1 矢量场的通量和散度 >  矢量场的通量和散度

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下一节:矢量场的环量和旋度

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矢量场的通量和散度课程教案、知识点、字幕

同学们好

上一堂课我们学习了标量场的分析方法

从今天开始

我们学习矢量场的分析

矢量场的分析分成两个部分

今天我们先来学习第一个部分 矢量场的通量和散度

我们已经知道矢量线可以形象直观地描述矢量场

其中矢量场的大小用矢量线的疏密来描述

矢量场的方向用矢量线的切线方向来表示

但是矢量线的疏密只能定性地描述矢量场的大小

当我们需要定量地描述矢量场的大小的时候

矢量线就无能为力了

因此我们引入一个新的物理量通量

在讲通量之前 我们先来复习一下面元矢量

假设这一个代表着一个面积元

它的大小是dl

因此这一个面积元

可以表示成这样一个表达式

也就是用它代表着面元矢量

其中右边的这个dS代表着这一个面元矢量的大小

en代表着面元的方向

也就是法向单位矢量

这一个面元的法向单位矢量如图中的红颜色所示

如果S是一个闭合的面的话

此时的法向指的是外法线方向

所谓外法向指的是方向

是由面积S的内部指向外部

法线当然就是垂直的意思

例如S是这样的一个闭合面的话

那么右边的这一个面的法线方向

就应该是朝右的这个方向

而它的侧面的外法线就变成了这样一个方向

有了面元矢量以后

那么矢量A沿有向曲面S的面积积分

就称之为通量 用数学表达式来表示就是

通量φ等于矢量A和面积S的一个面积积分

注意这一个表达式中A是矢量 S是矢量

A和S之间的运算符是点积

注意积分号下面还有积分的路径

很显然

此时的通量的微分dφ应该等于A和en的点积

根据点积的运算式 应该等于这样一个表达式

这里的这一个1代表着en的模

θ代表着A和en之间的一个夹角

很显然当夹角θ为锐角的时候

dφ大于零 φ为钝角dφ小于零

如果θ为直角 dφ就会等于零

由此可以求得通量φ的值

通量的物理含义

指的是这一个S面内的总的源的分布情况

这一个源称之为通量源

通量源也叫做管型源

它的特点是它的场线是有始有终的

也就是说它的场线一定是这样的形式

比如说这一条场线是从这一个点发出终止于无穷远处

所以它是有始有终的

通量一定只可能存在散种结果

第一种结果是如图所示

假设图中蓝颜色的这一个圈代表着面积S的话

那么这里代表的是流入S的场线多于流出S的场线

换一句话说

这里面一定存在着吸收场线的一个场源

这一个场源的场线是有始有终的

所以是通量源

或许说管型源

而这一个源会吸收场线

因为流入的场线多于流出的场线

这样的通量源称之为负的通量源

它的典型特点是流入的场线多于流出的场线

换一句话说有净的矢量线流入

通量的第二种结果

如这一个图所示

它表示流入的场线小于流出的场线

换一句话说

这里面一定存在着一个源

这个源会发出场线 这个场源称之为正源

它依然是一个通量源

所以叫正的通量源

正的通量源的典型特点是它能发出场线

所以有净的矢量线流出这个闭合面

通量源的第散种结果就是

流入的场线和流出的场线是相同的

所以这个S面内的正源和负源是相反的

所以我们说它无源

下面举一个通量的例子

以点电荷为例

假设这里有一个正的点电荷

我们都知道点电荷的电力线是有始有终的

因为是一个正的点电荷

所以它从点电荷发出终止于无穷远处

我们做这样的一个闭合面S的话

很显然有矢量线留出这个S面

因此它的通量就应该大于零

换一句话说

正的点电荷就是一个正的通量源

同理对于负的点电荷来讲

它的场线是这个样子的

因此

如果我们做一个这样的S面的话

那么包围这一个面S的通量应该就小于零

所以点电荷是通量源

正的点电荷是正的通量源 负的点电荷是一个负的通量源

下面我们来看散度

根据刚才我们的分析

通量只能描述整个闭合面内的

通量源的整体的分布情况

下面请大家看我手上拿了一个闭合面S

很显然这个闭合面S是围了一定的体积的 对不对

为了大家好理解

我把里面丢两个通量源进去

比如说这是一个通量源

我丢进去是一个正的源

这里还有一个通量源

这是这一个颜色代表的是一个负的通量源

我把它丢进去以后S面依然闭合

请大家告诉我现在这两个点源位于

这一个S面量的哪一个点

清不清楚

并不清楚

也就是说

通量只能描述整个这一个闭合面所包围的整个体积内的点源总的情况

我们并不知道这一个S面内 我任取一个点

它的源的分布情况

我们并不知道

因此要描述体积内的每一个点的源的分布情况

我们需要引入一个新的物理量散度

下面就请大家看如何把这一个面积S变成一个点

刚才我们已经说过这个闭合面S是包围了一定的体积的

因此我假设有一种方法

把这一个体积进行压缩压缩

继续压缩 继续压缩

当这个体积压缩到零的时候

那么此时这个S面就变成一个点

所以当闭合面所围的体积

以任意的方式缩小成一个点的时候

那么面就变成一个点

所以此时如果通量跟体积之比的极限存在

也就是这一个极限

如果存在的话

那么我们把这一个极限就称之为散度

写成divA表示为A的散度

div是散度的英文单词的前散个字母

请大家看到这个式子的右边

右边的分子代表的是通量

分母代表的是体积

也就是说

散度是单位体积上的通量

也就是说

散度代表的是通量源的体密度

这一个式子表示的是从通量变成散度的一个过程

这个通量一定有一个闭合面存在

这个闭合面一定围了一定的体积

把这个体积进行压缩

当体积压缩到零的时候

那么这个闭合面S就变成一个点

所以通量就变成散度

因此就把通量源的总体分布情况

变成了通量源的体密度

所以散度的物理含义代表着通量源的体密度

也就是单位体积内的通量

或许说单位体积内的通量源

它反映的是同样元的一个分布情况

或许说通量源的强度

把散度用哈密顿算子表示

可以表示成哈密顿算子和矢量A的点积

在直角坐标系中

如果A矢量的散个分量分别为

Ax,Ay和Az的话

那么A的散度就等于这样一个表达式

从这个表达式可以看出来

散度针对的对象A必须是一个矢量

也就是说只有矢量场才有散度

A矢量的散度是一个标量值

所以散度表示的是矢量场的散度 是一个标量

而且代表的是通量源的分布特点

假设这一个代表空中间(空间中)的一个点

设它的场线如图所示的话

请问这一点的散度应该等于多少

从图中来看

这里的矢量线是有始有终的

而且是直线

所以它的场源就是通量源

由于流入的场线跟流出的场线是相同的

所以没有净的矢量线流入或许流出

所以这一点的散度等于零

或许说这一个点是无源的

看这一个图

流入的场线很显然小于流出的场线

因此这一点一定有一个正的源存在

而且散度描述的是通量源的体密度

所以这里的体密度一定大于零

它是一个正的源

同理这一个图所表示的这一个点的散度就应该小于零

所以代表这一个点的

通量源的体密度是一个负的值

第四点

我们来看高斯公式

高斯公司也叫散度定理

从我们刚才散度的定义式这个式子

经过一个非常简单的变化

就可以变成这样一个表达式

这个表达式的左边是A的通量

表达式的右边代表的是A的散度的体积积分

这一个公式叫高斯公式

因为它是高斯提出来的

所以我们以他的名字来命名

高斯公式表明了通量等于散度的体积积分

继续看这高斯公式

方程的左边是一个面积积分

方程的右边是一个体积积分

面积积分是一个矢量积分

而体积积分是标量积分

因此可以把矢量函数的面积积分

与它的体积积分之间做一个转化

因为面积积分是矢量积分

体积积分是标量积分

所以我们可以把面积积分的矢量积分变成一个标量积分来计算

根据我们刚才所讲到的

这是A的通量

针对的是一个S面而言的

这个是散度的表达式

它针对的是场中间的每一个点而言

下面这个是高斯公式

实际上是从体的角度来描述的

因此这三个表达式完美地

实现了面、点和体之间的相互转化

电磁场工程应用课程列表:

第0章 场的概念

-0.1 场与路

--场与路

--场与路

-0.2 矢量的基本运算

--矢量的基本运算

--矢量的基本运算

-0.3 场的直观表示--场线

--场的直观表示

--场的直观表示

-0.4 标量场的方向导数和梯度

--标量场的方向导数和梯度

--标量场的方向导数和梯度

-0.5.1 矢量场的通量和散度

--矢量场的通量和散度

--矢量场的通量和散度

-0.5.2 矢量场的环量和旋度

--矢量场的环量和旋度

--矢量场的环量和旋度

-0.6 散度和旋度

--散度和旋度

--散度和旋度

-0.7 亥姆霍兹定理

--亥姆霍兹定理

--赫姆霍兹定理

-第0章 场的概念--第0章习题

-第0章 场的概念——讨论题

第1章 静电场

-1.1静电场的源

--静电场的源

--静电场的源

-1.2电场强度

--电场强度

--电场强度

-1.3电位

--电位

--电位

-1.4电偶极子

--电偶极子

--电偶极子

-1.5静电场中的导体和电介质

--静电场中的导体和电介质

--静电场中的导体和电介质

-1.6高斯定理

--高斯定理

--高斯定理

-1.7静电场的基本方程

--静电场的基本方程

--静电场的基本方程

-1.8静电场分界面的衔接条件

--静电场分界面的衔接条件

--静电场分界面的衔接条件

-1.9静电场的边值问题及求解

--静电场的边值问题及求解

--静电场的边值问题及求解

-1.10镜像法

--镜像法

--镜像法

-1.11电轴法

--电轴法

--电轴法

-1.12地球的电容-电容及求解

--地球的电容-电容及求解

--地球的电容-电容及求解

-1.13静电力与静电能量

--静电力与静电能量

--静电力与静电能量

-1.14高电压技术中的电场问题

--高电压技术中的电场问题

--高电压技术中的电场问题

-第1章 静电场--第1章习题

-第1章 静电场——讨论题1

-第1章 静电场——讨论题2

-第1章 静电场——讨论题3

第2章 恒定电场

-2.1鱼塘大量死鱼之谜-电流及电流密度

--鱼塘死鱼之谜--电流及电流密度

--鱼塘死鱼之谜--电流及电流密度

-2.2三大定律

--三大定律

--三大定律

-2.3电源电动势和局外场强

--电源电动势和局外场强

--电源电动势和局外场强

-2.4恒定电场的基本方程和边界条件

--恒定电场的基本方程和边界条件

--恒定电场的基本方程和边界条件

-2.5电流为什么弯曲?--恒定电场边界条件的应用

--电流为什么弯曲--恒定电场边界条件的应用

--电流为什么弯曲--恒定电场边界条件的应用

-2.6恒定电场的边值问题

--恒定电场的边值问题

--恒定电场的边值问题

-2.7恒定电场与静电场的比拟

--恒定电场与静电场的比拟

--恒定电场与静电场的比拟

-2.8恒定电场的工程应用:电导和部分电导

--恒定电场的工程应用:电导和部分电导

--恒定电场的工程应用:电导和部分电导

-2.9别墅起火之谜--绝缘电阻

--别墅起火之谜—接地电阻

--别墅起火之谜—绝缘电阻

-2.10奶牛被严重击伤,人却安全无恙?--跨步电压

--奶牛遭雷击人却安全

--奶牛遭雷击人却安全

-第2章 恒定电场--第2章习题

-第2章 恒定电场——讨论题1

-第2章 恒定电场——讨论题2

第3章 恒定磁场

-3.1磁感应强度

--磁感应强度

--磁感应强度

-3.2磁场中的物质--磁化

--磁场中的物质-磁化

--磁场中的物质-磁化

-3.3安培环路定理

--安培环路定理

--安培环路定理

-3.4恒定磁场基本方程及分界面的衔接条件

--恒定磁场基本方程及分界面的衔接条件

--恒定磁场基本方程及分界面的衔接条件

-3.5.1矢量磁位及其边值问题

--恒定磁场中的位函数-矢量磁位及其边值问题

--恒定磁场中的位函数-矢量磁位及其边值问题

-3.5.2标量磁位及其边值问题

--恒定磁场中的位函数-标量磁位及其边值问题

--恒定磁场中的位函数-标量磁位及其边值问题

-3.6恒定磁场中的镜像法

--恒定磁场中的镜像法

--恒定磁场中的镜像法

-3.7.1自感和互感的概念

--恒定磁场的工程应用:电感-自感及互感的概念

--恒定磁场的工程应用:电感-自感及互感的概念

-3.7.2自感和互感的计算

--恒定磁场的工程应用:电感-自感及互感的计算

--恒定磁场的工程应用:电感-自感及互感的计算

-3.8恒定磁场的能量

--恒定磁场的能量

--恒定磁场的能量

-3.9.2虚位移法

--磁场力-虚位移法

--磁场力-虚位移法

-3.9.3法拉第观点

--磁场力-法拉第观点

--磁场力-法拉第观点

-3.10磁路

--磁路

--磁路

-第3章 恒定磁场--第3章习题

-第3章 恒定磁场——讨论题1

-第3章 恒定磁场——讨论题2

第4章 时变电磁场

-4.1电磁感应定律

--电磁感应定律

--电磁感应定律

-4.2感应电场

--感应电场(涡旋电场)

--感应电场

-4.3全电流定律

--全电流定律:安培环路定律的修正

--全电流定律

-4.4麦克斯韦方程组

--麦克斯韦方程组及分界面衔接条件

--麦克斯韦方程

-4.5.1坡印廷定律和坡印廷矢量

--坡印亭定理和坡印亭矢量

-4.5.2坡印廷定理的应用

--坡印廷矢量的工程应用:同轴电缆的能量传输分析

--坡印廷矢量的工程应用

-4.6.1 动态位的引入

--动态位的引入及其方程

--动态位的引入

-4.6.2 动态位的积分解

--达朗贝尔方程的积分解

--动态位的积分解

-4.7.1时谐电磁场及其复数表示

--时谐电磁场及其复数表示

--时谐电磁场及其复数表示

-4.7.2麦克斯韦方程的复数形式

--时变场方程的复数形式

--时变场方程的复数形式

-4.7.3复介电常数

--复介电常数和复磁导率

--复介电常数和复磁导率

-4.7.4坡印廷定理的复数形式

--坡印廷定理的复数形式

--坡印廷定理的复数形式

-4.7.5时谐场的坡印廷矢量

--时谐场中的坡印廷矢量

--时谐场中的坡印廷矢量

-4.7.6时变场计算实例

--时变场计算实例

--时变场计算实例

-第4章 时变电磁场--第4章习题

-第4章 时变电磁场——讨论题1

-第4章 时变电磁场——讨论题2

第5章 均匀平面电磁波

-5.1 均匀平面电磁波的概念

--均匀平面电磁波的概念

--均匀平面电磁波的概念

-5.2.1 无界理想介质中平面波的方程

--无界理想介质中均匀平面波的波动方程

-- 无界理想介质中均匀平面波的波动方程

-5.2.2 无界理想介质中的平面波传播特性

--无界理想介质中均匀平面波的参数和传播特性

--无界理想介质中均匀平面波的参数和传播特性

-5.3.1导电媒质中均匀平面波的方程

--导电媒质中均匀平面波的方程和求解

--导电媒质中均匀平面波的方程和求解

-5.3.2导电媒质中均匀平面波的传播特性

--导电媒质中均匀平面波的参数和传播特性

--导电媒质中均匀平面波的传播特性

-5.3.3 4G手机能否用于煤矿的井上下通信?

--4G手机

-- 4G手机能否用于煤矿的井下和井上通信

-5.3.4潜艇通信困难?

--海水中潜艇之间的通信困难?

--海水潜艇通信困难

-5.3.5良导体和良介质中均匀平面波的传播特性

--良导体和良介质中均匀平面波的传播特性

--良导体和良介质中均匀平面波的传播特性

-5.3.6趋肤效应

--趋肤效应

--趋肤效应

-5.3.7趋肤效应的工程应用2例

--趋肤效应的工程应用2例

--趋肤效应的工程应用2例

-5.4.1 电磁波的极化

--电磁波的极化

--电磁波的极化

-5.4.2 圆极化的旋向判断

--圆极化的旋向判断

--极化旋向判断

-5.4.3 极化的工程应用举例—立体电影

--极化的工程应用举例2——液晶显示

--极化的工程应用举例

-第5章 均匀平面电磁波--第5章习题

-第5章 均匀平面电磁波——讨论题1

-第5章 均匀平面电磁波——讨论题2

第6章 平面电磁波的反射和透射

-6.1.1平面电磁波对一般导电媒质的垂直入射

--平面电磁波对一般导电媒质分界面的垂直入射

--电磁波对一般导电媒质的垂直入射

-6.1.2均匀电磁波对理想导体平面的垂直入射

--均匀电磁波对理想导体平面的垂直入射

--电磁波对理想导体平面的垂直入射

-6.1.3均匀平面波对理想介质分界面的垂直入射

--均匀电磁波对理想导体平面的垂直入射

--电磁波对理想介质分界面的垂直入射

-6.1.4易拉罐增强WiFi信号?

--易拉罐增强WiFi信号?--理想导体平面对电磁波的全反射

--易拉罐增强WiFi信号?--理想导体平面对电磁波的全反射

-6.2.1平面波在理想介质分界面上的斜入射

--平面波在理想介质分界面上的斜入射

--平面波在理想介质分界面上的斜入射

-6.2.2雷达测距和雷达低空盲区

--雷达测距和雷达低空盲区

--雷达测距和雷达低空盲区

-6.2.3光纤的传输原理—电磁波在理想介质表面的全反射

--光纤的传输原理—电磁波在理想介质表面的全反射

--光纤的传输原理—电磁波在理想介质表面的全反射

-6.2.4电磁波在理想介质表面的全透射

--电磁波在理想介质表面的全透射

--电磁波在理想介质表面的全透射

-第6章 平面电磁波的反射和透射--第6章习题

-第6章 平面电磁波的反射和透射——讨论题1

-第6章 平面电磁波的反射和透射——讨论题2

-第6章 平面电磁波的反射和透射——讨论题3

矢量场的通量和散度笔记与讨论

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