当前课程知识点:电磁场工程应用 > 第0章 场的概念 > 0.2 矢量的基本运算 > 矢量的基本运算
同学们好 电磁场课程是从场的角度来研究电磁现象的基本规律
它采用的物理量是电场和磁场 而电场和磁场都是矢量
因此 我们这一堂课先和大家一起来回忆一下矢量的基本运算
在看它的基本运算之前
我们首先跟大家来回忆一下标量和矢量 以及它们的表示方法
我们都知道标量是指只有大小没有方向的物理量
例如,长度、时间等等
而矢量是既有大小又有方向的物理量
如位移、电场强度等等
标量的表示特别得简单
直接用字母就能表示
例如 l表示长度 m代表着质量
矢量的表示有两种方法
第一种 几何方法
我们采用这样一条有向线段来代表矢量A
那么这一条线段的长度就代表着A的大小
称之为A的模
这一个箭头就代表着矢量的方向
第二种表示
采用字母来表示
当然和刚才的标量不同的是
我们在印刷体的时候把这个字母给加黑 标量也可以用字母来表示
矢量和标量表示的区别是 矢量的表示用黑体这个是在印刷体的时候表示的
我们在手写的时候采用字母上加一个箭头来表示
这个箭头可以是单边箭头
也可以是双边箭头
因此
从今天开始
请大家注意在手写的时候
记得矢量上面必须有个箭头
如果某一个矢量的模为1
我们就称这一个矢量为单位矢量
我们用e来代表单位矢量
例如 ex,ey,和ez代表着直角坐标系中x,y和z方向的单位矢量
所以在直角坐标系中
A矢量就可以表示成这样一个表达式
它代表着A在x方向的分量是Ax y方向的分量为Ay
z方向的分量为Az
它也可以表示成这样一个表达式
注意 这个表达式的左边的A是黑体 代表的是矢量
而右边的这一个A没有写成黑体 代表的是标量
也就是说
A的模或许说A的大小 eA 代表着A方向的一个单位矢量
所以A(非黑体)称为矢量的模代表着A的大小
如果A表示成这样一个表达式的话
那么A的模应该等于这样一个表达式
矢量的第三种表示 方向余弦表示
假设建立这样的一个坐标系
A矢量如图中红颜色的线所示的话
那么假设A矢量与三个坐标轴正方向之间的夹角分别为 α,β和γ
也就是说
A矢量与x轴的正方向之间的夹角为 α
A矢量与y轴之间的夹角为β 与z(轴)的正方向之间的夹角为γ的话
那么这三个角我们称之为方向角
很显然
此时A矢量在x方向上的分量应该是A乘以cosα
也就是这一条红颜色所示的线
同理A矢量在y方向和z方向上的投影可以用这个表达式表示
也就是图中这两条红颜色的线
A矢量可以表示成这样一个表达式
这里的cosα,cosβ和cosγ代表着这三个方向角的余弦
所以称之为方向余弦
因此一个表达式就是A矢量
用它的方向余弦来表示的表达式
下面我们来看矢量的基本运算
矢量的基本运算
我们分成加、减、乘
首先来看加减法
矢量的加法特别得简单
用平行四边形法则或三角形法则来运算
例如
A矢量和B矢量的和等于C矢量的话
我们先画出A矢量
然后 以A矢量的终点作为B矢量的起点画出B矢量
以A、B作为邻边画一个平行四边形
那么四边形的对角线就是C矢量
这里的平行四边形法则可以简化成这样一个三角形法则
下面我们来看矢量的减法
设A矢量减B矢量等于C矢量的话
我们可以把A减B画成A加上负B来运算
因此我们先把B矢量反向
然后与A矢量用三角形法则来运算就可以了
如果有多个矢量相加减
我们可以变成一个多边形法则
下面我们以
三个矢量A、B、C矢量之和为例来做说明
首先画出A矢量
然后依次画出B矢量和C矢量
这里的依次指的是
画B矢量的时候必须以A矢量的终点作为起点来画
也就是说
我们以A矢量的终点作为B矢量的起点
画出B矢量 同理以B矢量的终点
作为C矢量的起点
画出C矢量
那么此时A矢量的起点和C矢量的终点之间构成一个矢量
这一个矢量代表的就是
A、B、C三个矢量之和
这就是多边形法则的一个简单的例子
矢量的加减法满足交换律和结合律
也就是说
A与B之和
等于B与A之和
A减B当然等于A加上-B
A、B、C三个矢量之和
满足这一个结合律
矢量的第二种运算 数乘 数也就是标量的意思
假设这里的k是一个数
也就是说代表着一个标量
比如说k等于3
那么k与A矢量的乘积就叫数乘
假设k与A的乘积等于C的话
C依然是一个矢量 C的大小等于
k的绝对值与A的大小的乘积
C的方向取决于k是正数还是负数
如果K为正数
C的方向就是A的方向
如果C是一个负数
那么C的方向与A的方向是相反的
举一个例子 设A矢量已知 设k = 2
因此 2与A的数乘就等于
A的每一个分量都分别数乘同一个标量
数乘也满足交换律和结合律
也就是说
设 k 和 p 都代表的是一个标量的话
那么k与pA的乘积会等于pK的乘积再数乘A矢量
第二 p 与 k 依然是两个数
它们两个和与A矢量的乘积等于
pA 加上 kA
第三 假设有
A、B两个矢量的和再数乘以 k 的话等于
kA 加上 kB
矢量的第三种运算 矢量的标积
矢量的标积表示成A•B
它等于AB乘以cosθ
其中的AB代表着AB矢量的模
也就是AB矢量的大小
这里的θ代表着
A、B矢量的夹角
因此假设这个是A矢量
B矢量是这条红颜色的线所示的话
A、B矢量之间的夹角为θ
因此B矢量在A矢量方向上的投影就是Bcosθ
所以Bcosθ是B在A方向上的投影
因此A与B的标积就等于B在A方向上的投影
与A的大小的乘积
很显然 A与B的标积的结果是一个标量
所以它才叫做标积
同时大家注意到A与B的标积中间的运算符号是用一个点来表示的
因此也叫点积或点乘
在直角坐标系中
假设A、B矢量的各分量分别为
Ax,Ay和Az
以及Bx,By,Bz的话
那么A、B的点积会等于这样一个表达式
举一个例子 设A矢量是这样一个矢量 B矢量是这个矢量
因此A、B矢量的点积就等于32
矢量的标积也满足交换律和结合律
第一 A、B的点积等于B与A的点积
三(二)如果 k 和 P 是一个数那么
k 和A数乘再 • p与B的数乘 等于 k 与 p 的乘积再数乘以A点B
第三个 如果有B、C两个矢量的和
与A点积的话
满足这一个表达式
假设A、B矢量都是非零矢量
如果A与B的点积等于零 证明cosθ就等于零
也就是θ等于90° 换一句话说
A一定垂直于B矢量
因此
A、B矢量的点积等于零
可以作为判断两个矢量是不是垂直的一个判据
矢量的第四种运算
矢量的叉积
这里的叉表示的是A与B矢量之间的运算符号是一把叉
所以它也叫叉积或许说叉乘
假设A与B的叉积等于C矢量的话
C的大小等于AB乘以sinθ
A与B依然代表着
A、B矢量的模
θ依然是A、B矢量之间的夹角
很显然
C矢量的大小就是
以A、B为邻边的平行四边形的面积
也就是说
如果我们以A、B为邻边作了这样一个平行四边形的话
继续请大家看了(着)上面这个式子
C的方向是 en 的方向 en的方向代表的是平行四边形的法向方向 也就是这样一个方向叫做法向
法向 我们等一会跟大家一块来判
先回到我们刚才C的大小
如果说
A、B两个矢量在直角坐标系中间的每一个分量都已知了
分别为Ax,Ay,Az和Bx,By,Bz的话
那么C矢量会
等于这样一个行列式
下面回到刚才的en方向
en的方向 我们可以单独来判 有就是用右手螺旋来判断
请大家伸出右手食指和大拇指垂直
并且在同一个平面内然后四指开始环绕
环绕的方向是从A矢量旋向B矢量
那么大拇指的方向就是C矢量的方向
刚才我们上面画的这个例子
A矢量和B矢量的方向如图所示的话
那么我们的四指就这样的旋
所以此时大拇指的方向就是C矢量的方向
也就是如图所示的方向
假设A矢量和B矢量都已知
因此我们带到刚才的这个行列式里面
经过运算以后
A与B的叉积是这样一个矢量
矢量的叉积满足的交换律与结合律是特别要注意的
A与B的叉积不等于B与A的叉积
事实上
A与B的叉积会等于B与A叉积的相反数
因为根据刚才我们的右手螺旋 A与B的叉积和B与A的叉积正好方向是相反的
所以这里相差一个负号
但是它的结合率依然满足 也就是这两个表达式依然成立
所以请大家特别注意这一个表达式 也就是叉积的交换律的时候
前面有一个负号
假设A、B两个矢量都不为零的话
如果A、B矢量的叉积等于零
证明θ一定等于零
也就是说A一定会平行于B
所以
A与B的叉积等于零
可以作为判断两个矢量平行的判据
-0.1 场与路
--场与路
--场与路
-0.2 矢量的基本运算
--矢量的基本运算
--矢量的基本运算
-0.3 场的直观表示--场线
--场的直观表示
--场的直观表示
-0.4 标量场的方向导数和梯度
-0.5.1 矢量场的通量和散度
-0.5.2 矢量场的环量和旋度
-0.6 散度和旋度
--散度和旋度
--散度和旋度
-0.7 亥姆霍兹定理
--亥姆霍兹定理
--赫姆霍兹定理
-第0章 场的概念--第0章习题
-1.1静电场的源
--静电场的源
--静电场的源
-1.2电场强度
--电场强度
--电场强度
-1.3电位
--电位
--电位
-1.4电偶极子
--电偶极子
--电偶极子
-1.5静电场中的导体和电介质
-1.6高斯定理
--高斯定理
--高斯定理
-1.7静电场的基本方程
--静电场的基本方程
--静电场的基本方程
-1.8静电场分界面的衔接条件
-1.9静电场的边值问题及求解
-1.10镜像法
--镜像法
--镜像法
-1.11电轴法
--电轴法
--电轴法
-1.12地球的电容-电容及求解
-1.13静电力与静电能量
--静电力与静电能量
--静电力与静电能量
-1.14高电压技术中的电场问题
-第1章 静电场--第1章习题
-2.1鱼塘大量死鱼之谜-电流及电流密度
-2.2三大定律
--三大定律
--三大定律
-2.3电源电动势和局外场强
-2.4恒定电场的基本方程和边界条件
-2.5电流为什么弯曲?--恒定电场边界条件的应用
-2.6恒定电场的边值问题
-2.7恒定电场与静电场的比拟
-2.8恒定电场的工程应用:电导和部分电导
-2.9别墅起火之谜--绝缘电阻
-2.10奶牛被严重击伤,人却安全无恙?--跨步电压
-第2章 恒定电场--第2章习题
-3.1磁感应强度
--磁感应强度
--磁感应强度
-3.2磁场中的物质--磁化
-3.3安培环路定理
--安培环路定理
--安培环路定理
-3.4恒定磁场基本方程及分界面的衔接条件
-3.5.1矢量磁位及其边值问题
-3.5.2标量磁位及其边值问题
-3.6恒定磁场中的镜像法
-3.7.1自感和互感的概念
-3.7.2自感和互感的计算
-3.8恒定磁场的能量
--恒定磁场的能量
--恒定磁场的能量
-3.9.2虚位移法
--磁场力-虚位移法
--磁场力-虚位移法
-3.9.3法拉第观点
-3.10磁路
--磁路
--磁路
-第3章 恒定磁场--第3章习题
-4.1电磁感应定律
--电磁感应定律
--电磁感应定律
-4.2感应电场
--感应电场
-4.3全电流定律
--全电流定律
-4.4麦克斯韦方程组
--麦克斯韦方程
-4.5.1坡印廷定律和坡印廷矢量
-4.5.2坡印廷定理的应用
-4.6.1 动态位的引入
--动态位的引入
-4.6.2 动态位的积分解
--动态位的积分解
-4.7.1时谐电磁场及其复数表示
-4.7.2麦克斯韦方程的复数形式
-4.7.3复介电常数
-4.7.4坡印廷定理的复数形式
-4.7.5时谐场的坡印廷矢量
-4.7.6时变场计算实例
--时变场计算实例
--时变场计算实例
-第4章 时变电磁场--第4章习题
-5.1 均匀平面电磁波的概念
-5.2.1 无界理想介质中平面波的方程
-5.2.2 无界理想介质中的平面波传播特性
-5.3.1导电媒质中均匀平面波的方程
-5.3.2导电媒质中均匀平面波的传播特性
-5.3.3 4G手机能否用于煤矿的井上下通信?
--4G手机
-5.3.4潜艇通信困难?
--海水潜艇通信困难
-5.3.5良导体和良介质中均匀平面波的传播特性
-5.3.6趋肤效应
--趋肤效应
--趋肤效应
-5.3.7趋肤效应的工程应用2例
-5.4.1 电磁波的极化
--电磁波的极化
--电磁波的极化
-5.4.2 圆极化的旋向判断
--圆极化的旋向判断
--极化旋向判断
-5.4.3 极化的工程应用举例—立体电影
-第5章 均匀平面电磁波--第5章习题
-6.1.1平面电磁波对一般导电媒质的垂直入射
-6.1.2均匀电磁波对理想导体平面的垂直入射
-6.1.3均匀平面波对理想介质分界面的垂直入射
-6.1.4易拉罐增强WiFi信号?
--易拉罐增强WiFi信号?--理想导体平面对电磁波的全反射
--易拉罐增强WiFi信号?--理想导体平面对电磁波的全反射
-6.2.1平面波在理想介质分界面上的斜入射
-6.2.2雷达测距和雷达低空盲区
-6.2.3光纤的传输原理—电磁波在理想介质表面的全反射
-6.2.4电磁波在理想介质表面的全透射
-第6章 平面电磁波的反射和透射--第6章习题