当前课程知识点:电磁场工程应用 > 第2章 恒定电场 > 2.6恒定电场的边值问题 > 恒定电场的边值问题
同学们好前面我们已经学习了恒定电场的基本性质
它是一个无源无旋场
今天我们从它的基本性质出发 来推导恒定电场的边值问题
也就是说 用位函数来表示的恒定电场
首先 因为E的旋度等于零
所以总可以找到一个标量函数 φ让E等于φ的负梯度
这里的φ称之为位函数
而我们这一个场是恒定的电场
因此这个φ叫电位 同时根据J 的散度等于零
而根据欧姆定律 J 又等于γ与E的乘积
而且γ电导率是常数
所以J 的散度也就等于γ与E的乘积的散度
把它展开就等于这样一个表达式
因为γ是常数 所以Δγ应该等于零
也就是说 只剩下这一项
所以J 的散度就等于它
把上面这个表达式带到这里面
自然就变成了这一个表达式
因为J 的散度等于φ的拉普拉斯算子
而J 的散度又等于0
也就是 φ的拉普拉斯算子等于零
这就是恒定电场的位函数的方程 是拉普拉斯方程
所以无源无旋的恒定电场是一个调和场
它满足拉普拉斯方程
因此求解恒定电场就相当于求解
满足这一个拉普拉斯方程和这两个边界条件的解
再换一句话说恒定电场问题可以归结为一定条件下
来求解这一个方程满足这两个边值问题的解
下面 看一个具体的实例
假设有一段环形的导电媒质
这是一个环形的 它的形状与尺寸如图所示
求两个端面之间的电阻
很显然
我们可以选用圆柱坐标系
首先我们建立一个圆柱坐标系
设任意一点的坐标为(r, θ)
那么这一个角度就为θ 如图中红颜色的线所示
设两个端面之间的电压为U
也就是 这一个端面的电压为零
那一个端面的电压为U的话
很显然 当θ等于零的时候
这一个点的电位等于零
而θ等于二分之π的时候
这一点的电位 它的φ2等于U
也就是这一个问题的求解就变成了求解拉普拉斯方程
满足这个边界条件和这个边界条件的解
很显然 这里的的导电媒质φ仅与θ有关
所以电位的拉普拉斯方程就简化成了这样一个方程
下面我们就来求解这一个方程
利用它的边界条件
我们可以求得φ与θ是这样一个关系
因此 E等于φ的负梯度就可以得到这样一个表达式
同理导电媒质中的电流密度J和E成正比
也就是说 E一旦求到了
J 只要乘以一个γ就得到了
因此 导电媒质中总的电流应该等于J 的面积积分
等于这样一个表达式
也就是说 它的电阻等于电位与电流的比
也就是这一个表达式
请大家看着这一个表达式 从表达式里面可以看出
这一个环形的导电媒质的电阻
与它的电导率γ成反比
与t 也就是它的厚度成反比
还与环形的内外半径A与B的值比对数成正比
所以当这四个因素变化的时候
它的R也跟着变化
-0.1 场与路
--场与路
--场与路
-0.2 矢量的基本运算
--矢量的基本运算
--矢量的基本运算
-0.3 场的直观表示--场线
--场的直观表示
--场的直观表示
-0.4 标量场的方向导数和梯度
-0.5.1 矢量场的通量和散度
-0.5.2 矢量场的环量和旋度
-0.6 散度和旋度
--散度和旋度
--散度和旋度
-0.7 亥姆霍兹定理
--亥姆霍兹定理
--赫姆霍兹定理
-第0章 场的概念--第0章习题
-1.1静电场的源
--静电场的源
--静电场的源
-1.2电场强度
--电场强度
--电场强度
-1.3电位
--电位
--电位
-1.4电偶极子
--电偶极子
--电偶极子
-1.5静电场中的导体和电介质
-1.6高斯定理
--高斯定理
--高斯定理
-1.7静电场的基本方程
--静电场的基本方程
--静电场的基本方程
-1.8静电场分界面的衔接条件
-1.9静电场的边值问题及求解
-1.10镜像法
--镜像法
--镜像法
-1.11电轴法
--电轴法
--电轴法
-1.12地球的电容-电容及求解
-1.13静电力与静电能量
--静电力与静电能量
--静电力与静电能量
-1.14高电压技术中的电场问题
-第1章 静电场--第1章习题
-2.1鱼塘大量死鱼之谜-电流及电流密度
-2.2三大定律
--三大定律
--三大定律
-2.3电源电动势和局外场强
-2.4恒定电场的基本方程和边界条件
-2.5电流为什么弯曲?--恒定电场边界条件的应用
-2.6恒定电场的边值问题
-2.7恒定电场与静电场的比拟
-2.8恒定电场的工程应用:电导和部分电导
-2.9别墅起火之谜--绝缘电阻
-2.10奶牛被严重击伤,人却安全无恙?--跨步电压
-第2章 恒定电场--第2章习题
-3.1磁感应强度
--磁感应强度
--磁感应强度
-3.2磁场中的物质--磁化
-3.3安培环路定理
--安培环路定理
--安培环路定理
-3.4恒定磁场基本方程及分界面的衔接条件
-3.5.1矢量磁位及其边值问题
-3.5.2标量磁位及其边值问题
-3.6恒定磁场中的镜像法
-3.7.1自感和互感的概念
-3.7.2自感和互感的计算
-3.8恒定磁场的能量
--恒定磁场的能量
--恒定磁场的能量
-3.9.2虚位移法
--磁场力-虚位移法
--磁场力-虚位移法
-3.9.3法拉第观点
-3.10磁路
--磁路
--磁路
-第3章 恒定磁场--第3章习题
-4.1电磁感应定律
--电磁感应定律
--电磁感应定律
-4.2感应电场
--感应电场
-4.3全电流定律
--全电流定律
-4.4麦克斯韦方程组
--麦克斯韦方程
-4.5.1坡印廷定律和坡印廷矢量
-4.5.2坡印廷定理的应用
-4.6.1 动态位的引入
--动态位的引入
-4.6.2 动态位的积分解
--动态位的积分解
-4.7.1时谐电磁场及其复数表示
-4.7.2麦克斯韦方程的复数形式
-4.7.3复介电常数
-4.7.4坡印廷定理的复数形式
-4.7.5时谐场的坡印廷矢量
-4.7.6时变场计算实例
--时变场计算实例
--时变场计算实例
-第4章 时变电磁场--第4章习题
-5.1 均匀平面电磁波的概念
-5.2.1 无界理想介质中平面波的方程
-5.2.2 无界理想介质中的平面波传播特性
-5.3.1导电媒质中均匀平面波的方程
-5.3.2导电媒质中均匀平面波的传播特性
-5.3.3 4G手机能否用于煤矿的井上下通信?
--4G手机
-5.3.4潜艇通信困难?
--海水潜艇通信困难
-5.3.5良导体和良介质中均匀平面波的传播特性
-5.3.6趋肤效应
--趋肤效应
--趋肤效应
-5.3.7趋肤效应的工程应用2例
-5.4.1 电磁波的极化
--电磁波的极化
--电磁波的极化
-5.4.2 圆极化的旋向判断
--圆极化的旋向判断
--极化旋向判断
-5.4.3 极化的工程应用举例—立体电影
-第5章 均匀平面电磁波--第5章习题
-6.1.1平面电磁波对一般导电媒质的垂直入射
-6.1.2均匀电磁波对理想导体平面的垂直入射
-6.1.3均匀平面波对理想介质分界面的垂直入射
-6.1.4易拉罐增强WiFi信号?
--易拉罐增强WiFi信号?--理想导体平面对电磁波的全反射
--易拉罐增强WiFi信号?--理想导体平面对电磁波的全反射
-6.2.1平面波在理想介质分界面上的斜入射
-6.2.2雷达测距和雷达低空盲区
-6.2.3光纤的传输原理—电磁波在理想介质表面的全反射
-6.2.4电磁波在理想介质表面的全透射
-第6章 平面电磁波的反射和透射--第6章习题