当前课程知识点:电磁场工程应用 > 第0章 场的概念 > 0.7 亥姆霍兹定理 > 赫姆霍兹定理
同学们好
今天我们学习赫姆霍兹定理
任意的矢量场一定都是由源产生的
产生这一个场的源称之为场源
赫姆霍兹断定只可能存在两种性质的源
散度源和旋度源 散度源也叫通量源
它产生的场的场线是有始有终的
旋度源也叫涡流源
它产生的场的场线是闭合的
假设散度源f产生一个矢量场A
我们用数学表达式表示就是A的散度等于f
同理A的旋度等于g表示的是
g是产生矢量场A的旋度源
赫姆霍兹定理的内容是在有限的区域内
矢量场由它的旋度、散度以及边界条件唯一地确定
换一句话说
我们要求一个矢量场只需要求它的散度、旋度以及边界条件就够了
从前面的课程知道散度
代表的是通量源的密度
旋度代表的是涡流源的密度
因此求散度、旋度边界条件就等效为
求矢量的通量源密度
旋度源密度以及边界条件
如果求解区域不是有限的
而是一个无界区域的话
因为无界区域就不存在边界条件
所以矢量场由它的旋度以其散度唯一地确定
因此场只可能有下面四种形式
第一种 无旋场
假设在某一个空间内旋度处处为零
这样的场叫无旋场
假设这一个矢量场唯一的话
我们就记为E的旋度恒等于零
很显然因为E的旋度等于零
所以它不存在旋度源
因此引起这一个场的源一定就是散度源
或许说通量源
对于一个无旋场来讲
总可以表示成另外一个标量函数的负梯度
例如静电场
静电场的电场强度的旋度恒等于零
所以电场强度可以表示成电位函数φ的负梯度
第二种性质的场 无散场
如果说在某一个空间中
散度处处为零
这样的矢量场叫无散场
无散场总可以用另外一个矢量场的旋度来表示
因为任意一个矢量的旋度的散度会恒等于零
而E又是一个无散场所以E的散度会等于零
因此我们只需要设E
等于这一个括号里面就可以了
也就是说
E会等于另外一个矢量场A的旋度
例如恒定磁场B的散度恒等于零
所以B可以表示成另外一个矢量场A的旋度
第三种场 无旋无散场
在这一种情况下
代表着产生场的场源在所讨论的区域之外
假设这一个场唯一的话
因为E的旋度等于零
总可以把E表示成一个标量函数φ的负梯度
同时E的散度又等于零
把这个式子带到这个式子里头
就得到这一个式子成立
也就是说
这一个式子会成立
方程的左边这一个符号代表着拉普拉斯算子
这一个方程叫拉普拉斯方程
也就是说
无源无旋场总遵循拉普拉斯方程
第四种性质的场 有散有旋场
在这一种情况下场的散度和旋度都不等于零
总可以把这一个场分解成两部分
第一部分 无旋也就是旋度为零
散度不等零
第二部分 无散部分
也就是说散度等于零
但是旋度不等于零
设这个场唯一的话
因此可以把E分成这么两部分
其中第一部分代表着无旋部分
第二部分是无散部分
而无旋部分总可以表示成一个标量函数的负梯度
无散部分总可以表示成另外一个矢量场的旋度
因此E就变成了这两部分之和
下面我们来看矢量场的四种形式
这一个图的含义是黑颜色的框代表我们所考虑的空间区域
蓝颜色的线代表着这一个区域的场线
红颜色的是一个点就代表着我们要求的这个点的性质
很显然
在这一个场中的场线是直线
所以红颜色所示的那一个点的散度等于零旋度也等于零
也就是说这是一个无散无旋场 散度源也叫通量源
我们直接取其中的源字
所以也称之为无源无旋场
第二个场
很显然
这一个场中的场线依然是直线
所以每一个点的旋度会等于零
同时
红颜色所指的这一个点
是有场线发出的
所以散度不等于零 旋度等于零
因此它是一个有散无旋场
或许叫有源无旋场
第三个场 此时的场线变成了闭合的曲线
依然考虑红颜色的这一个点
很显然红颜色的这一个点的散度等于零
同时因为场线是闭合的
所以它的旋度不等于零
也就说它是一个无散有旋场
或许叫无源有旋场
第四个场 请大家看那一个图
那一个图中红颜色的点的散度和旋度很显然都不等于零
因此它是一个有散有旋场
也叫有源有旋场
-0.1 场与路
--场与路
--场与路
-0.2 矢量的基本运算
--矢量的基本运算
--矢量的基本运算
-0.3 场的直观表示--场线
--场的直观表示
--场的直观表示
-0.4 标量场的方向导数和梯度
-0.5.1 矢量场的通量和散度
-0.5.2 矢量场的环量和旋度
-0.6 散度和旋度
--散度和旋度
--散度和旋度
-0.7 亥姆霍兹定理
--亥姆霍兹定理
--赫姆霍兹定理
-第0章 场的概念--第0章习题
-1.1静电场的源
--静电场的源
--静电场的源
-1.2电场强度
--电场强度
--电场强度
-1.3电位
--电位
--电位
-1.4电偶极子
--电偶极子
--电偶极子
-1.5静电场中的导体和电介质
-1.6高斯定理
--高斯定理
--高斯定理
-1.7静电场的基本方程
--静电场的基本方程
--静电场的基本方程
-1.8静电场分界面的衔接条件
-1.9静电场的边值问题及求解
-1.10镜像法
--镜像法
--镜像法
-1.11电轴法
--电轴法
--电轴法
-1.12地球的电容-电容及求解
-1.13静电力与静电能量
--静电力与静电能量
--静电力与静电能量
-1.14高电压技术中的电场问题
-第1章 静电场--第1章习题
-2.1鱼塘大量死鱼之谜-电流及电流密度
-2.2三大定律
--三大定律
--三大定律
-2.3电源电动势和局外场强
-2.4恒定电场的基本方程和边界条件
-2.5电流为什么弯曲?--恒定电场边界条件的应用
-2.6恒定电场的边值问题
-2.7恒定电场与静电场的比拟
-2.8恒定电场的工程应用:电导和部分电导
-2.9别墅起火之谜--绝缘电阻
-2.10奶牛被严重击伤,人却安全无恙?--跨步电压
-第2章 恒定电场--第2章习题
-3.1磁感应强度
--磁感应强度
--磁感应强度
-3.2磁场中的物质--磁化
-3.3安培环路定理
--安培环路定理
--安培环路定理
-3.4恒定磁场基本方程及分界面的衔接条件
-3.5.1矢量磁位及其边值问题
-3.5.2标量磁位及其边值问题
-3.6恒定磁场中的镜像法
-3.7.1自感和互感的概念
-3.7.2自感和互感的计算
-3.8恒定磁场的能量
--恒定磁场的能量
--恒定磁场的能量
-3.9.2虚位移法
--磁场力-虚位移法
--磁场力-虚位移法
-3.9.3法拉第观点
-3.10磁路
--磁路
--磁路
-第3章 恒定磁场--第3章习题
-4.1电磁感应定律
--电磁感应定律
--电磁感应定律
-4.2感应电场
--感应电场
-4.3全电流定律
--全电流定律
-4.4麦克斯韦方程组
--麦克斯韦方程
-4.5.1坡印廷定律和坡印廷矢量
-4.5.2坡印廷定理的应用
-4.6.1 动态位的引入
--动态位的引入
-4.6.2 动态位的积分解
--动态位的积分解
-4.7.1时谐电磁场及其复数表示
-4.7.2麦克斯韦方程的复数形式
-4.7.3复介电常数
-4.7.4坡印廷定理的复数形式
-4.7.5时谐场的坡印廷矢量
-4.7.6时变场计算实例
--时变场计算实例
--时变场计算实例
-第4章 时变电磁场--第4章习题
-5.1 均匀平面电磁波的概念
-5.2.1 无界理想介质中平面波的方程
-5.2.2 无界理想介质中的平面波传播特性
-5.3.1导电媒质中均匀平面波的方程
-5.3.2导电媒质中均匀平面波的传播特性
-5.3.3 4G手机能否用于煤矿的井上下通信?
--4G手机
-5.3.4潜艇通信困难?
--海水潜艇通信困难
-5.3.5良导体和良介质中均匀平面波的传播特性
-5.3.6趋肤效应
--趋肤效应
--趋肤效应
-5.3.7趋肤效应的工程应用2例
-5.4.1 电磁波的极化
--电磁波的极化
--电磁波的极化
-5.4.2 圆极化的旋向判断
--圆极化的旋向判断
--极化旋向判断
-5.4.3 极化的工程应用举例—立体电影
-第5章 均匀平面电磁波--第5章习题
-6.1.1平面电磁波对一般导电媒质的垂直入射
-6.1.2均匀电磁波对理想导体平面的垂直入射
-6.1.3均匀平面波对理想介质分界面的垂直入射
-6.1.4易拉罐增强WiFi信号?
--易拉罐增强WiFi信号?--理想导体平面对电磁波的全反射
--易拉罐增强WiFi信号?--理想导体平面对电磁波的全反射
-6.2.1平面波在理想介质分界面上的斜入射
-6.2.2雷达测距和雷达低空盲区
-6.2.3光纤的传输原理—电磁波在理想介质表面的全反射
-6.2.4电磁波在理想介质表面的全透射
-第6章 平面电磁波的反射和透射--第6章习题