当前课程知识点:电磁场工程应用 > 第0章 场的概念 > 0.5.2 矢量场的环量和旋度 > 矢量场的环量和旋度
同学们好
前面我们已经学习了矢量场的通量和散度
今天我们来学习矢量场的环量和旋度
从前面的课程知道
通量代表的是有向曲面上的面积积分
表示的是
这一个闭合曲面所包围的体积内的总的通量源
而通量源是一种管型源
它的场线有始有终的
在矢量场中还有那么一种源
这一种源的场线是闭合的
这种源叫涡流源或许叫旋转源
涡流源在日常生活中非常得常见
例如这是一个水池
图中红颜色代表的是出水口
当出水口没有打开的时候
水池里面的水是不流动的
但是一旦打开出水口水就会下漏
下漏的水会激发出一个流速场
这一个流速场就是涡旋的
如图中蓝颜色的虚线所示的就是流速场
假设此时水流的流向如图中的箭头所示的话
设这个流速场为A
我们可以作一条闭合曲线L包围这一个A
如图中的红颜色的箭头所示的闭合曲线
那么这一个闭合积分就叫环量
它的场线是闭合的和它对应的积分是一个线积分
这一个线积分就叫环量
这个式子中间的L代表着有向曲线
dL叫有向线元
那么什么是有向线元呢
对一条曲线来讲
如果指明了正方向
这一条曲线就叫有方向的曲线
简称为有向曲线
如这一条曲线的方向是从M1到M2
那么这一条曲线就是有向曲线
在这一条曲线上
我们可以取一个微小的单元
这一个微小单元的长度
如果趋向于零的时候
它就称之为线元
线元的方向和曲线的正方向是一致的
因此这个线元也有了方向
称之为有方向的线元
简称为有向线元
所以环量代表着是
矢量A沿一条有向曲线L的线积分
假设这是一条曲线L
它的正方向是如图所示
在这上面取一个微元dL
dL的方向和L的正方向是一致的
如果这一个空间存在的一个场A
那么A的环量就是这样一个表达式
环量实际上我们早就见过
例如这是一条导线
当这条导线上没有电流流过的时候
在它周围是不存在磁场的
但是对于同一条导线
如果有一个电流I流过它的话
在它的周围就会激发出一个磁场
这一个磁场是一个涡旋场
而引发这一个磁场的源就是电流
所以这里的电流I称为涡流源
如果取一个闭合曲线L
如图中红颜色所示的L
设L的正方向也如图所示的话
那么这个磁场沿这一条闭合曲线的积分就称之为
磁场B的环量
很显然 环量只能反映闭合曲线内部
涡流元的整体的特性
例如刚才的这一个例子中
B的环量只能反映
闭合曲线L里面所包围的总的电流的特点
当我们需要考虑这一条曲线内的
任意一个点的涡流源的分布情况的时候
就需要引入一个新的概念
这个概念就叫旋度
那么如何从环量到旋度呢
大家注意到这里的积分曲线L包围了一定的面积
请大家看
我手上拿着的就是一条闭合的曲线L
很显然
沿这一条曲线L的环量反映的是
这一条曲线内所包围的总的涡流源的特性
假设我的这一个内部取一个点
要求这一个点的涡流源的特性
我们需要把这一个闭合面S所包围的面积进行缩小
请大家看
我开始缩啊
缩继续缩把它缩小
再继续缩小
当它缩小成一个点的时候
那么此时的面积就趋向于零
也就是说整个面积就会退化成一个点
那么这一个点的分布的强度就叫旋度
所以旋度实际上经过这么两步得到
第一步把环量所包围的整个面积进行缩小
缩小到面积为零的时候
那么面积就退化成一个点
所以此时相当于求每一个点的
环量的强度称之为环量密度
第二步我们来求环量密度的最大值
那么环量密度的最大值就对应着旋度
也就是说
第一步求闭合曲线所包围的面积趋向于零时的环量
当面积缩小到一个点的时候
环量与面积的比就是环量的面密度
第二步求该环量密度的最大取值
下面我们先来看第一步
假设这个空中间(空间中)存在的一个矢量A
在它的周围有一个点
比如说这一个P点
如果存在着一条闭合曲线L
所包围的面积为ΔS的话
它实际上就等效为
过P点作一个微小的曲面ΔS
它的边界就是L当面积趋向于零的时候
如果这一个环量与面积的极限存在
那么这个表达式就是环量密度
第二步
我们来求环量密度的最大值
首先来分析环量密度的取值是不是和方向有关
假设空中间有任意一点P
这一个P点的矢量A的方向如图所示
很显然过P点可以作多条有向的曲线
例如我们可以作这样的一条曲线L1
曲线L1和A在同一个平面内
还可以作另外一条有向曲线L2
L2和矢量A之间有一定的夹角的
还可以作第三条有双曲线L3
L3所在的平面和矢量A是垂直的
下面我们就来比较这三条典型的路径
它所对应的环量密度是不是相等的
很显然
这三条曲线所对应的环量密度是不相等的
因为L3和A是垂直的
所以它的环量为零 环量密度当然就等于零
而L1和L2与A不垂直
所以它的环量密度不等于零
而L1因为与A在同一个平面内
所以它的环量密度是最大的
从这里我们得到一个结论
在同一空间位置点的不同的路径
对应的环量密度是不一样的
换一句话 环量密度与方向有关
那么我们自然会问
沿哪一个方向环量密度是最大的
不难看出来L1所对应的环量密度是最大的
那么L1有什么样的特点呢
L1有下面的特点
第一
它是使该点的环量以及它的环量密度取得最大值的一条路径
第二
其他的路径所对应的环量
都可以根据它间接的来求得
第三
因为它和A在同一个平面内
所以它的法线正好是引发矢量场A的轴线
所以旋度代表着环量密度的最大值
旋度用哈密顿算子和矢量A的叉积来表示
A的旋度是一个矢量
它既有大小又有方向
它的大小为这一个点的环量密度的最大值
它的方向代表着
环量密度取最大值的时候
这一个面积元的法向
也就是说
旋度描述了场中间任意一个点处的
涡流源的密度矢量
A的旋度是rotA
rot是旋转英文单词的前三个字母
它等于哈密顿算子和A矢量的叉积
在直角坐标系中
旋度等于这样一个行列式
根据我们刚才的分析不难得到
旋度的物理含义指的是
第一 矢量的旋度是一个矢量
它的大小代表着该点环量密度的最大值
它的方向
是使这一个点取环量密度最大的面元的法向矢量
在矢量场中
如果某一个点的旋度不等于零
设它等于J的话
我们就称这一个场是一个有旋度的场
简称为有旋场
或许说叫旋度场也叫涡旋场
或涡流场
而这里的J称之为产生旋度的源
所以叫旋度源
或许说涡流源
如果在某一个场的每一个点
它的旋度都等于零
那么这一个场就称为无旋场
下面我们看一个具体的例子
来判断这一个场的旋度的性质
这一个图是这样的含义
黑色的框代表着一个空间区域
图中蓝颜色的线代表着矢量线
中间的黄颜色代表着我们要讨论的这一个空间
从这一个图来看
很显然
它的矢量线是直线是有始有终的
所以中间黄颜色的区域内不存在涡流源
因此这一个区域内的旋度就是等于零
换一句话说
是一个无旋场
再看这一个场
这一个场的场线依然是直线
中间黄颜色所示的区域没有旋转的场线
所以它的旋度依然等于零
也是一个无旋场
再看第三种情况
这一种情况下这里的场线是有旋转的
我们考虑黄颜色所示的区域
里面的场线也是旋转的
因此有产生这一个场的源
因此
这一个区域的旋度不等于零
所以它是一个有旋场
第六斯托克斯定理
刚才我们已经得到A的旋度是这样一个表达式
代表的是环量的面密度的最大值
把这个式子稍微变形就变成了这样一个式子
这就是斯托克斯定理
它表示了A的环量等于A的旋度的一个面积积分
它表示的实际上是场内的A和这个边界上的场之间的一个关系
它同时也表示
矢量函数的线积分和面积积分可以相互转换
下面我们来总结一下今天所学到的东西
这个代表着A的环量
它表示的是这一场积分曲线L
所包围的整个面积内的涡流源的情况
A的旋度代表的是每一个点的环量密度的最大值
而斯托克斯定理表示的是
环量等于这一条曲线所包围的整个面积内的A的旋度之和
所以它是从面的角度来描述的
因此环量、旋度以及斯托克斯定理
完美地实现了从线到点到面的一个转化
-0.1 场与路
--场与路
--场与路
-0.2 矢量的基本运算
--矢量的基本运算
--矢量的基本运算
-0.3 场的直观表示--场线
--场的直观表示
--场的直观表示
-0.4 标量场的方向导数和梯度
-0.5.1 矢量场的通量和散度
-0.5.2 矢量场的环量和旋度
-0.6 散度和旋度
--散度和旋度
--散度和旋度
-0.7 亥姆霍兹定理
--亥姆霍兹定理
--赫姆霍兹定理
-第0章 场的概念--第0章习题
-1.1静电场的源
--静电场的源
--静电场的源
-1.2电场强度
--电场强度
--电场强度
-1.3电位
--电位
--电位
-1.4电偶极子
--电偶极子
--电偶极子
-1.5静电场中的导体和电介质
-1.6高斯定理
--高斯定理
--高斯定理
-1.7静电场的基本方程
--静电场的基本方程
--静电场的基本方程
-1.8静电场分界面的衔接条件
-1.9静电场的边值问题及求解
-1.10镜像法
--镜像法
--镜像法
-1.11电轴法
--电轴法
--电轴法
-1.12地球的电容-电容及求解
-1.13静电力与静电能量
--静电力与静电能量
--静电力与静电能量
-1.14高电压技术中的电场问题
-第1章 静电场--第1章习题
-2.1鱼塘大量死鱼之谜-电流及电流密度
-2.2三大定律
--三大定律
--三大定律
-2.3电源电动势和局外场强
-2.4恒定电场的基本方程和边界条件
-2.5电流为什么弯曲?--恒定电场边界条件的应用
-2.6恒定电场的边值问题
-2.7恒定电场与静电场的比拟
-2.8恒定电场的工程应用:电导和部分电导
-2.9别墅起火之谜--绝缘电阻
-2.10奶牛被严重击伤,人却安全无恙?--跨步电压
-第2章 恒定电场--第2章习题
-3.1磁感应强度
--磁感应强度
--磁感应强度
-3.2磁场中的物质--磁化
-3.3安培环路定理
--安培环路定理
--安培环路定理
-3.4恒定磁场基本方程及分界面的衔接条件
-3.5.1矢量磁位及其边值问题
-3.5.2标量磁位及其边值问题
-3.6恒定磁场中的镜像法
-3.7.1自感和互感的概念
-3.7.2自感和互感的计算
-3.8恒定磁场的能量
--恒定磁场的能量
--恒定磁场的能量
-3.9.2虚位移法
--磁场力-虚位移法
--磁场力-虚位移法
-3.9.3法拉第观点
-3.10磁路
--磁路
--磁路
-第3章 恒定磁场--第3章习题
-4.1电磁感应定律
--电磁感应定律
--电磁感应定律
-4.2感应电场
--感应电场
-4.3全电流定律
--全电流定律
-4.4麦克斯韦方程组
--麦克斯韦方程
-4.5.1坡印廷定律和坡印廷矢量
-4.5.2坡印廷定理的应用
-4.6.1 动态位的引入
--动态位的引入
-4.6.2 动态位的积分解
--动态位的积分解
-4.7.1时谐电磁场及其复数表示
-4.7.2麦克斯韦方程的复数形式
-4.7.3复介电常数
-4.7.4坡印廷定理的复数形式
-4.7.5时谐场的坡印廷矢量
-4.7.6时变场计算实例
--时变场计算实例
--时变场计算实例
-第4章 时变电磁场--第4章习题
-5.1 均匀平面电磁波的概念
-5.2.1 无界理想介质中平面波的方程
-5.2.2 无界理想介质中的平面波传播特性
-5.3.1导电媒质中均匀平面波的方程
-5.3.2导电媒质中均匀平面波的传播特性
-5.3.3 4G手机能否用于煤矿的井上下通信?
--4G手机
-5.3.4潜艇通信困难?
--海水潜艇通信困难
-5.3.5良导体和良介质中均匀平面波的传播特性
-5.3.6趋肤效应
--趋肤效应
--趋肤效应
-5.3.7趋肤效应的工程应用2例
-5.4.1 电磁波的极化
--电磁波的极化
--电磁波的极化
-5.4.2 圆极化的旋向判断
--圆极化的旋向判断
--极化旋向判断
-5.4.3 极化的工程应用举例—立体电影
-第5章 均匀平面电磁波--第5章习题
-6.1.1平面电磁波对一般导电媒质的垂直入射
-6.1.2均匀电磁波对理想导体平面的垂直入射
-6.1.3均匀平面波对理想介质分界面的垂直入射
-6.1.4易拉罐增强WiFi信号?
--易拉罐增强WiFi信号?--理想导体平面对电磁波的全反射
--易拉罐增强WiFi信号?--理想导体平面对电磁波的全反射
-6.2.1平面波在理想介质分界面上的斜入射
-6.2.2雷达测距和雷达低空盲区
-6.2.3光纤的传输原理—电磁波在理想介质表面的全反射
-6.2.4电磁波在理想介质表面的全透射
-第6章 平面电磁波的反射和透射--第6章习题