当前课程知识点：自动控制理论（1） > 第一周：绪论及基础知识 > 卷积定义、定理及性质 > 视频
同学们大家好
我们在前两节学习了
拉普拉斯变换的定义
和它的一些性质
其中包括线性性质
时移性质 频移性质
微分性质 积分性质
以及极限的性质
现在我们继续学习
拉普拉斯变换的另外两个性质
一个是关于卷积的
拉普拉斯变换的定理
另外一个是时间尺度变化下的
拉普拉斯变换
我们首先来看卷积的定义
对于两个函数f(t)和g(t)
如果这样的一个积分是存在的
我们就把它称为是
f(t)和g(t)的一个卷积
就记成这样的一个形式
就f(t)*g(t)
卷积的一些基本的性质
可以根据它的定义
直接就得到了
比如说交换律 结合律
还有就是分配律
这些性质我们在线性代数
和微积分里经常能涉及到
所以我们在这里
就不给出它的证明
卷积的定理
是关于卷积的拉普拉斯变换
如果f(t)的拉普拉斯变换是F(s)
g(t)的拉普拉斯G(s)
那f(t)和g(t)的卷积的拉普拉斯变换
就是F(s)和G(s)相乘
非常简单 非常漂亮的一个定理
那我们来看它这个怎么证明
首先我们看卷积
根据它的定义
是这样的一个积分
但是针对拉普拉斯变换
我们前面说过
这个象原函数f(t)
在时间t小于0的情况下
是恒等于0的
所以对于这个卷积
我们针对这个积分
我们把它分成三部分
第一部分是这个τ
从负无穷到0
第二部分是这个τ在0到t之间
第三部分是这个τ从t到无穷
这三部分我们首先来看第一部分
当τ在负无穷到0的时候
f(τ) 就是对于这个f(τ)
它相当于τ是小于0的
所以f(τ)就恒等于0 对吧
所以这部分
因为f(τ)在负无穷到0之间
它是恒等于0的
所以这个积分就是等于0的
我们再来看第三部分
当τ在t到正无穷的时候
t-τ这部分也是小于0的
所以g(t-τ)也应该就是恒等于0
对吧 所以实际上这个积分
只在0到t之间
所以我们把它再整理一下
就得到了这个积分
卷积的这个积分
实际上是0到t之间
关于τ的这个积分
好了
我们知道卷积的这个积分
是0到t之间的这样一个积分
那我们现在从另外一个方面来看
直接来看F(s)乘G(s)
就是f(t)的拉普拉斯变换
和g(t)的拉普拉斯变换的乘积
会是什么样的呢
我们先按定义把它写出来
这是F(s) 这是G(s)
然后我们现在把它写成
二重积分的形式
我们是按du 先对du积分
然后对dτ积分的
所以我们得到了这样的一个积分
这是一个二重积分
我们来看一下这个二重积分
对它做一个变换
一个向量一个变换
这个积分的这个 积分的τ+u
我们把它定为t 好吧
我们把它定为t的话
这个上面的就变成了e^(-st)
然后τ f(τ)还是保留
然后g(u)就因为u是等于t-τ
对吧 所以就变成了g(t-τ)
剩下这样的一个
然后注意这个地方
因为这是u等于0的情况下
所以对应到t
现在因为是关于t积分
所以t就要从τ开始
所以这个积分的下限有变化
这是也是因为换的这个积分变量
这个做相应的变化
这个地方不再是0 是τ
那我们来看一下这个二重积分
它的积分的域是在哪
我们来看这旁边的这个图
就是这个阴影部分的这个
从τ到无穷
关于t的话t应该是
因为这条线
这条斜线是t等于τ的这条直线
所以τ到无穷的话
关于t的话
它应该是朝这样走 对吧 这样
然后τ是0到无穷
所以是这样一块
那我们从另外的角度来看
我们想把这个
积分的这个顺序换一下
换一下那实际上还是在这样一个
积分域里面做积分
所以我们发现我们如果是
先对τ积分的话
那就是τ在这个
就是从0到t 对不对
就是这样 这样 你这样走
从0到t 然后t从0到无穷
所以做一个这个变换之后
我们把积分的顺序变一变
就得到这样的一个式子
这个式子我们再来看
看这个 这一项 里面这一项
这项是什么
就是刚才我们经过变换就得到了
是什么 卷积对吧
就f(t)和g(t)的卷积
所以我们把它换成f(t)*g(t)
这样一个它的卷积
然后我们根据什么
根据拉普拉斯变换的定义
这个就是这个卷积的
拉普拉斯变换
所以这样我们就得到了
这个卷积定理
时间尺度也是一个
很常用的一个技巧
就是有时候
在求拉普拉斯变换的时候
我们首先来看
它是什么样的一个关系
如果f(t)的拉普拉斯变换是F(s)
那f(t/a)
就是把这个t这个变量换一下
换t/a
就相当于是把这个时间压缩
或者拉长的这样的一个
比如说你先是t
现在你把它变成2t
这是把这个时间拉长
或者你把它变成t/2
就是把它压缩
所以这个a的话你可以取
取大于1的数
也可以取小于1的数对吧
一种是压缩
一种是把它放大
那做这个变换之后的
它的拉普拉斯变换
跟原来的拉普拉斯变换的关系
是什么呢 就是这样的
我们来看一下这个
简单的证明一下
推导一下好吧
现在我们根据定义
f(t/a) 因为它就是一个函数
所以这个按定义
这是它的拉普拉斯变换
那现在我们做一个
积分的这个变换
定义这个τ等于t/a
所以我们就得到f(τ)
然后这个地方
t相当于是等于aτ
所以就换过来就是它
然后这个是d(aτ)
d(aτ)的话就应该是adτ 对吧
所以把这个a拿出来
这个出来的a拿出来
就变成这样的一个形式
这样的形式你把这个sa
看成是一个数
看成是一个数
这个又是我们拉普拉斯变换的定义
可以得到的东西
所以这个里面 F里面就变成as
然后在外面有个乘a
我们可以有个小的例子
sint的拉普拉斯变换
大家还知道吗 还记得吗
这是等于它对不对
那sin2t呢
sin2t其实我们也知道是吧
s^2+2^2 就是4
那这两个怎么变一下呢
你看你这个除一下4
这个分子分母除一下4
这就是4分之2
这个就是1/2的s的平方加1
这个是什么呀
这实际上就是1/2
然后1/((s/2)^2+1)
你把这两个对比一下
是不是就是这样一个关系
就是1/2什么呀
F(1/2*s)
就是sin2t的这个拉普拉斯变换
好了
我们学习了这个卷积的定理
还有时间尺度的拉普拉斯变换
拉普拉斯变换的性质
我们就全部都学过了
我们现在把它的性质
给总结一下列出来
积分和微分一样
也是两个方面的
一个是关于象原函数的积分
另外就是象函数
就是F(s)这个积分
所以这两个性质也非常常用
非常重要
极限的性质它是在什么时候用呢
其实是在我们知道什么
知道这个拉普拉斯变换
然后去反推这个象原函数的
初值和终值 是在这用到
所以它也是两个
一个是初值
就是象原函数的初值
另外是象原函数的终值
如果要取初值的话
是sF(s) 让s趋于无穷是初值
如果是终值的话是s趋于0
就是大家注意
还有一个我们要说的是
终值的是关于F(s)是有一定条件的
我们这主要是为了大家复习
并没有把这个
终值的这个条件写在这
但是在用的时候一定要注意
一定要是满足条件的这个F(s)
才可以用来去求象原函数的终值
卷积因为我们前面刚刚学过了
是吧
就是两个函数的卷积的
拉普拉斯变换
实际上就等于两个函数的
拉普拉斯变换的乘积
这个性质非常好 非常好用
时间尺度也是一个
很常用的一个性质
希望大家都能熟练地应用
我们在前面这三节
学习了拉普拉斯变换的定义
和它的性质
我们下面要学习的是
拉普拉斯变换的逆变换
以及用拉普拉斯变换
求解微分方程的一些技巧和步骤
-绪论
--视频
-拉普拉斯变换定义及性质（一）
--视频
-拉普拉斯变换定义及性质（一）--作业
-拉普拉斯变换定义及性质（二）
--视频
-拉普拉斯变换定义及性质（二）--作业
-卷积定义、定理及性质
--视频
-卷积定义、定理及性质--作业
-拉普拉斯逆变换及应用（一）：拉普拉斯逆变换定义
--视频
-拉普拉斯逆变换及应用（一）：拉普拉斯逆变换定义--作业
-拉普拉斯逆变换及应用（二）：拉普拉斯逆变换应用
--视频
-拉普拉斯逆变换及应用（二）：拉普拉斯逆变换应用--作业
-控制的基本概念
--视频
-控制的基本概念--作业
-控制系统的微分方程描述（一）
--视频
-控制系统的微分方程描述（一）--作业
-控制系统的微分方程描述（二）
--视频
-控制系统的微分方程描述（二）--作业
-控制系统的传递函数描述（一）：Laplace变换知识回顾
--视频
-控制系统的传递函数描述（一）：Laplace变换知识回顾--作业
-控制系统的传递函数描述（二）：控制系统的传递函数描述
--视频
-控制系统的传递函数描述（二）：控制系统的传递函数描述--作业
-框图及其变换（一）：传递函数框图定义及连接方式
--视频
-框图及其变换（一）：传递函数框图定义及连接方式--作业
-框图及其变换（二）：传递函数框图变换
--视频
-第二周：控制系统的概念及数学模型--框图及其变换（二）：传递函数框图变换
-信号流图
--视频
-信号流图--作业
-控制系统的基本单元
--视频
-控制系统的基本单元--作业
-非线性单元的线性化
--视频
-第二周：控制系统的概念及数学模型--非线性单元的线性化
-稳定性
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-第三周：线性系统时域分析（一）--稳定性
-稳定的Liapunov定义
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-稳定的Liapunov定义--作业
-稳定性的代数判据（一）：Routh判据
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-稳定性的代数判据（一）：Routh判据--作业
-稳定性的代数判据（二）：系统稳定的必要条件
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-稳定性的代数判据（二）：系统稳定的必要条件--作业
-参数稳定性，参数稳定域
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-参数稳定性，参数稳定域--作业
-静态误差（一）：误差和静态误差定义
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-第四周：线性系统时域分析（二）--静态误差（一）：误差和静态误差定义
-静态误差（二）：静态误差与输入
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-静态误差（三）：静态误差的计算
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-静态误差（三）：静态误差的计算--作业
-静态误差（四）：系统类型与静态误差的关系
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-静态误差（四）：系统类型与静态误差的关系--作业
-静态误差（五）：静态误差的物理和理论解释
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-静态误差（六）：扰动引起的静态误差
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-静态误差（六）：扰动引起的静态误差--作业
-动态性能指标
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-动态性能指标--作业
-高阶系统动态性能的二阶近似
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-高阶系统动态性能的二阶近似--作业
-控制系统的校正
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-控制系统的校正--作业
-频率特性引言
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-频率特性引言--作业
-Fourier变换
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-第五周：频率响应法（一）--Fourier变换
-频率特性函数
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-频率特性函数--作业
-频率特性的图像
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-频率特性的图像--作业
-基本环节的频率特性
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-基本环节的频率特性--作业
-复杂频率特性的绘制（一）
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-复杂频率特性的绘制（一）--作业
-复杂频率特性的绘制（二）
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-复杂频率特性的绘制（二）--作业
-复杂频率特性的绘制（三）
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-第五周：频率响应法（一）--复杂频率特性的绘制（三）
-闭环频率特性
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-闭环频率特性--作业
-Nyquist稳定判据（一）
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-Nyquist稳定判据（一）--作业
-Nyquist稳定判据（二）
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-第六周：频率响应法（二）--Nyquist稳定判据（二）
-Nyquist稳定判据（三）
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-第六周：频率响应法（二）--Nyquist稳定判据（三）
-相对稳定性（稳定裕量）
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-相对稳定性（稳定裕量）--作业
-从开环频率特性研究闭环系统性能
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-从开环频率特性研究闭环系统性能--作业
-基于频率特性的控制器设计思路
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-根轨迹方法简介
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-根轨迹方法简介--作业
-根轨迹条件
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-根轨迹条件--作业
-根轨迹性质
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-根轨迹性质--作业
-根轨迹的图像
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-根轨迹的图像--作业
-条件稳定系统
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-条件稳定系统--作业
-零极点对根轨迹的影响
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-零极点对根轨迹的影响--作业
-参数根轨迹和根轨迹族
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-第七周：根轨迹方法--参数根轨迹和根轨迹族
-延时系统的根轨迹
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-延时系统的根轨迹--作业
-补根轨迹与全根轨迹
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-补根轨迹与全根轨迹--作业
-校正问题及其实现方式
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-校正问题及其实现方式--作业
-校正装置的设计方法
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-校正装置的设计方法--作业
-超前校正装置的特性
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-超前校正装置的特性--作业
-基于根轨迹法设计超前校正装置
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-基于根轨迹法设计超前校正装置--作业
-基于Bode图设计超前校正装置
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-基于Bode图设计超前校正装置--作业
-滞后校正装置的特性
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-滞后校正装置的特性--作业
-基于根轨迹法设计滞后校正装置
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-基于根轨迹法设计滞后校正装置--作业
-基于Bode 图设计滞后校正装置
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-基于Bode 图设计滞后校正装置--作业
-超前-滞后校正装置的特性
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-超前-滞后校正装置的特性--作业
-基于根轨迹法设计超前-滞后校正
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-基于根轨迹法设计超前-滞后校正--作业
-基于Bode图设计超前-滞后校正
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-基于Bode图设计超前-滞后校正--作业
-开环系统的期望频率特性
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-开环系统的期望频率特性--作业
-反馈校正
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-第九周 系统校正（二）--反馈校正
-直线倒立摆控制系统实验
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-非线性系统概述
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-第十周 非线性系统分析（一）--非线性系统概述
-非线性系统的典型动力学特征
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-非线性系统的典型动力学特征--作业
-描述函数法定义
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-描述函数法定义--作业
-描述函数法求取
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-描述函数法求取--作业
-基于描述函数的稳定性分析
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-第十周 非线性系统分析（一）--基于描述函数的稳定性分析
-非线性系统自持振荡的分析
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-第十周 非线性系统分析（一）--非线性系统自持振荡的分析
-相平面与相轨迹
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-相平面与相轨迹--作业
-相轨迹的绘制方法
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-相轨迹的绘制方法--作业
-奇点
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-奇点--作业
-线性系统的相平面分析
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-线性系统的相平面分析--作业
-非线性系统的相平面分析
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-非线性系统的相平面分析--作业
-极限环及其产生条件
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-第十一周 非线性系统分析（二）--极限环及其产生条件
-非线性系统分析小结
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-非线性系统分析小结--作业
-采样控制系统概述
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-采样控制系统概述--作业
-脉冲采样与理想采样
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--采样系统
-脉冲采样与理想采样--作业
-采样定理
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-采样定理--作业
-零阶保持器
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-零阶保持器--作业
-z-变换
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-z-变换--作业
-脉冲传递函数（一）
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-第十二周：采样系统--脉冲传递函数（一）
-脉冲传递函数（二）：求脉冲传递函数的一般方法
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-第十二周：采样系统--脉冲传递函数（二）：求脉冲传递函数的一般方法
-z-平面上采样系统的稳定性分析
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-z-平面上采样系统的稳定性分析--作业
-w-平面上采样系统的稳定性分析
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-w-平面上采样系统的稳定性分析--作业
-采样控制系统的时域分析
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-采样控制系统的时域分析--作业
-修正的z-变换
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-修正的z-变换--作业
-考试环节--期末考试
-考试环节--期中考试
