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同学们好
现在我们来学习一下
采样控制系统的时域分析方法
那么和连续时间系统分析的思路一样
我们研究过系统的建模
研究过系统的稳定性分析以后
我们再来看一下
那么对于一个控制系统
它的时间响应所对应的稳态性能
和动态性能是什么样的
那我们在这里面
只关心系统的稳态性能
首先我们来看一下
一个采样控制系统和一个连续控制系统
它的阶跃响应有什么区别
那么这个一个最本质的区别
或者一个最明显的区别是这样的
就说一个采样控制系统
它有一个典型的现象叫做有限拍响应
就说如果当这个系统的闭环
脉冲传递函数恰好它的极点全部为零
这时候这个分母多项式
就可以表示成z^n
那这样的话大家可以看到
那么通过这个表达式
我们就可以把GCL(z)
去表示成这样有限多个
那么z的负次幂的和
这个表示什么意思
我们来看一下输入输出的关系
我们知道z^-1
实际上就对应于e^(-Ts)
它实际上就乘以一个z^-1
就对应于这个信号去做一个周期的延迟
那z^-2就延迟两个周期
z^-3就等于延迟三个周期
所以它实际上对应这样一个关系
所以我们要写出
输入和输出的表达关系式的话
如果输入是u(kT)
那么a0这一项实际上就是一个比例
那么这一项就对应于a1乘以这个函数
但是又由于有一个z^-1
它是有一个周期的延迟
以此类推那这个就等于an*u[(k-n)T]
就是nT个周期的延迟
好 那我们来看一下
如果这时候系统的输入
是一个单位阶跃信号
也就说u(kT)恒等于1
只要K大于零的时候u(kT)都恒等于1
那这时候我们看如果k等于1
我们来看一下
这时候就应该等于a0*u(T) u(T)等于1
那么a1乘以u(0)
那么u(0)我们知道也等于1
但是k-2也就说这时候k=1
那么-T的时候
我们知道u(-t)这时候取值是零
所以这时候y(t)就等于a0+a1
相应如果k=2的话
y(2t)就应该等于a0+a1+a2
然后a2以后这些项全部为零
那么以此类推
就说我们k等于几 就有这样几项叠加
但是当它叠加到一定程度以后
当k>n的时候
我们会发现
这时候的y(kT)就等于a0加上a1一直加到an
因为这里边只有有限项
最多只有n+1项
所以k到一定程度以后
这些项就只有这n+1项
而且系数全部等于1
因为u(kT)是恒等于1的
所以这个数就变成了常数
就是一个常数
也就是说
当采样时刻大到一定程度以后
这时候输出就不再会有变化
也就说在有限多个周期以后
这输出就达到了稳定
所以说
这个阶跃响应在有限时间就达到稳定
这是采样控制系统和连续控制系统
一个非常重要的区别
在连续系统里边这是不可能的
因为我们知道
它要达到一个绝对的零值
它需要无穷长的时间
因为连续系统的时间响应
本质上是一些指数衰减信号的叠加
而这些指数衰减要衰减到零
实际上是必须要无穷长时间
好 那我们简单地看一个例子
就是说如果现在
有这样一个闭环脉冲传递函数
我们已经求出来了
它就是两项
一个2z^-1
一个-z^-2
我们可以算出来
它的单位阶跃响应就这个样子
那么从零开始这个时刻它有变化
第二个时刻有变化
但是从第二个时刻以后
所有输入值就不再变化了
我们也可以看一下它的单位斜坡响应
那比较类似的也是一样
那么在前两个时刻
它的取值会有一些变化
但是从第二个时刻以后
它的取值就和输入的斜坡信号完全一致
就达到了一个误差的跟踪
所以说它在有限拍 两拍以后
这系统的输出信号就达到了稳态
那这样一个响应过程
从控制的角度来讲
是一个非常理想的过程
因为我们就希望这个响应过程越短越好
最好在一个有限的时间内
而且这个有限多的周期
这个周期数越少越好
就能够达到稳态
所以这是一个非常理想的一个响应过程
那么这样一个响应虽然在实际的控制中
我们希望能够实现它
但是为了达到这个效果
一般来讲我们要付出一定的代价
因为一般来讲要达到这样的控制的话
需要一个比较高的控制能量的输入
这在很多情况下
特别是有饱和的情况下是很难达得到的
而且如果要实现这样一个有限拍的响应
我们从前面分析知道
它需要闭环控制系统的
所有极点都要等于零
而这个条件实际上并不是太容易达到
而且如果这个系统的参数一旦有扰动
这个条件就会被破坏掉
从而这个有限拍响应
这个特性就不再成立
所以它这个响应对参数的变化
是比较敏感的
因此在实际的采样控制系统中
常常并不一定
能够达到这样一个理想的有限拍响应
好 那么理解了这样一个动态过程
就说采样控制系统的瞬态过程
和连续时间控制系统瞬态过程的
一个非常重要区别以后
我们再来看一下稳态响应怎么分析
如果我们现在有这样一个闭环控制系统
通过前边的分析我们知道
那么这个误差函数
这个e(t)它所对应的z变换
和参考输入的信号的z变换
它存在这样一个z变换的
就是z传递函数的这样一个传递关系
那么这个对应的这个z传递函数
就是1/(1+GF(z))
那我们来简单的分析一下
在几个典型的输入信号下
它的稳态误差是什么样的
如果这个输入是一个阶跃信号
就是r(t)=1(t)
我们通过查表知道
阶跃信号的z变换就是z/(z-1)
那我们看一下当t趋近于无穷的时候
这个误差信号的稳态值是什么
那这个稳态值可以根据终值定理计算出来
根据终值定理
e(t)当t趋近无穷的时候等于什么
等于e(t)的z变换E(z)
前边再乘以z-1然后让z趋近于1
我们在把E(z)这个表达式带进来
就等于1/(1+GF(z))
再乘以R(z)的z变换
就是这个z/(z-1)
所以从这里边我们可以看到
这个分母上z-1和这个z-1会消掉
而且当z趋近于1的时候
这个分子这个就趋近于1
因此这个误差信号
最终就变成1/(1+GF(z))
所以说和我们在去分析
连续时间系统的稳态响应的时候类似
我们也可以把这个东西
去定义成一个误差系数
这是一个
采样控制系统的稳态位置误差系数
它等于GF(z) z趋近于1的这样一个限制
而稳态误差它就等于1/(1+Kp)
那这是在阶跃输入下
那么类似的如果有一个斜坡输入
那么这个斜坡输入对应的z变换
就等于Tz/(z-1)^2
其中T是采样系统的采样周期
那同样道理我用同样的终值定理
去算一下相应的稳态误差
它应该等于z-1乘以e(t)的z变换
就等于这个传递函数
再乘以R(z)的z变换带进来
那这个时候我们看到分母是(z-1)^2
而这有一个z-1
所以它会消掉一个
还剩下一个z-1
而这个分子上z趋近于1的时候
这个z就没了就剩下一个T
因此我们也可以去类似的
去定义这样一个误差系数
就说如果让Kv等于(z-1)*GF(z)
它就对应到这个分母
那么它的稳态误差就是和Kv是成反比的
那同样道理
我们也可以去算在抛物线输入信号下
输入的稳态误差
同样道理R(z)这时候分母是z-1的3次方
带进去以后我们也可以取类似定义的
加速度误差系数
而这时候的稳态误差和Ka是呈反比的
那么通过前面的分析我们就可以看到
那么分析采样控制系统的稳态误差的思路
和分析连续系统稳态误差的思路
实际上非常类似的
在连续系统中
我们知道一个系统有差还是无差
跟这个系统型次是有关系的
也就说这个系统的s传递函数里面
到底有多少个极点是在原点
对于采样控制系统
我们类似的可以去看它到底有多少个极点
在z=1这个地方
那z=1的这个极点的重数
也就说开环系统的脉冲传递函数中
有多少个极点在z=1这个地方
这个重数我们也类似地
定义成采样控制系统的型次
和我们前面分析连续系统的结构类似
如果这个系统是Ⅰ型的
那么它跟踪阶跃响应一定是无差的
这个时候它对应的位置误差系数是无穷大
而这个时候去跟踪斜坡响应
当然前提是这个闭环系统一定是稳定的
那么根据这个斜坡响应
它的稳态误差是非零的
因为这个时候速度误差系数是小于无穷的
而这个时候根据跟踪加速度信号的时候
就没有办法跟踪了
它的稳态误差会趋近无穷
只有当系统型次是Ⅱ的时候
跟踪斜坡信号的时候这稳态误差才是零
因为这个时候速度误差系数变成无穷大
而这个时候去跟踪加速度信号的时候
稳态误差是非零的
但是可以控制在有限的范围内
这些结论和连续系统的结论是非常平行的
只不过我们去定义型次的位置不一样
它是在z=1这个地方
采样控制系统的稳态误差分析
我们就讲到这里
-绪论
--视频
-拉普拉斯变换定义及性质（一）
--视频
-拉普拉斯变换定义及性质（一）--作业
-拉普拉斯变换定义及性质（二）
--视频
-拉普拉斯变换定义及性质（二）--作业
-卷积定义、定理及性质
--视频
-卷积定义、定理及性质--作业
-拉普拉斯逆变换及应用（一）：拉普拉斯逆变换定义
--视频
-拉普拉斯逆变换及应用（一）：拉普拉斯逆变换定义--作业
-拉普拉斯逆变换及应用（二）：拉普拉斯逆变换应用
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-拉普拉斯逆变换及应用（二）：拉普拉斯逆变换应用--作业
-控制的基本概念
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-控制的基本概念--作业
-控制系统的微分方程描述（一）
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-控制系统的微分方程描述（一）--作业
-控制系统的微分方程描述（二）
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-控制系统的微分方程描述（二）--作业
-控制系统的传递函数描述（一）：Laplace变换知识回顾
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-控制系统的传递函数描述（一）：Laplace变换知识回顾--作业
-控制系统的传递函数描述（二）：控制系统的传递函数描述
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-控制系统的传递函数描述（二）：控制系统的传递函数描述--作业
-框图及其变换（一）：传递函数框图定义及连接方式
--视频
-框图及其变换（一）：传递函数框图定义及连接方式--作业
-框图及其变换（二）：传递函数框图变换
--视频
-第二周：控制系统的概念及数学模型--框图及其变换（二）：传递函数框图变换
-信号流图
--视频
-信号流图--作业
-控制系统的基本单元
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-控制系统的基本单元--作业
-非线性单元的线性化
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-第二周：控制系统的概念及数学模型--非线性单元的线性化
-稳定性
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-第三周：线性系统时域分析（一）--稳定性
-稳定的Liapunov定义
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-稳定的Liapunov定义--作业
-稳定性的代数判据（一）：Routh判据
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-稳定性的代数判据（一）：Routh判据--作业
-稳定性的代数判据（二）：系统稳定的必要条件
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-稳定性的代数判据（二）：系统稳定的必要条件--作业
-参数稳定性，参数稳定域
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-参数稳定性，参数稳定域--作业
-静态误差（一）：误差和静态误差定义
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-第四周：线性系统时域分析（二）--静态误差（一）：误差和静态误差定义
-静态误差（二）：静态误差与输入
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-静态误差（三）：静态误差的计算
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-静态误差（三）：静态误差的计算--作业
-静态误差（四）：系统类型与静态误差的关系
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-静态误差（四）：系统类型与静态误差的关系--作业
-静态误差（五）：静态误差的物理和理论解释
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-静态误差（六）：扰动引起的静态误差
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-静态误差（六）：扰动引起的静态误差--作业
-动态性能指标
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-动态性能指标--作业
-高阶系统动态性能的二阶近似
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-高阶系统动态性能的二阶近似--作业
-控制系统的校正
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-控制系统的校正--作业
-频率特性引言
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-频率特性引言--作业
-Fourier变换
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-第五周：频率响应法（一）--Fourier变换
-频率特性函数
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-频率特性函数--作业
-频率特性的图像
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-频率特性的图像--作业
-基本环节的频率特性
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-基本环节的频率特性--作业
-复杂频率特性的绘制（一）
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-复杂频率特性的绘制（一）--作业
-复杂频率特性的绘制（二）
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-复杂频率特性的绘制（二）--作业
-复杂频率特性的绘制（三）
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-第五周：频率响应法（一）--复杂频率特性的绘制（三）
-闭环频率特性
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-闭环频率特性--作业
-Nyquist稳定判据（一）
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-Nyquist稳定判据（一）--作业
-Nyquist稳定判据（二）
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-第六周：频率响应法（二）--Nyquist稳定判据（二）
-Nyquist稳定判据（三）
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-第六周：频率响应法（二）--Nyquist稳定判据（三）
-相对稳定性（稳定裕量）
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-相对稳定性（稳定裕量）--作业
-从开环频率特性研究闭环系统性能
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-从开环频率特性研究闭环系统性能--作业
-基于频率特性的控制器设计思路
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-根轨迹方法简介
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-根轨迹方法简介--作业
-根轨迹条件
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-根轨迹条件--作业
-根轨迹性质
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-根轨迹性质--作业
-根轨迹的图像
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-根轨迹的图像--作业
-条件稳定系统
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-条件稳定系统--作业
-零极点对根轨迹的影响
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-零极点对根轨迹的影响--作业
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-第七周：根轨迹方法--参数根轨迹和根轨迹族
-延时系统的根轨迹
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-延时系统的根轨迹--作业
-补根轨迹与全根轨迹
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-补根轨迹与全根轨迹--作业
-校正问题及其实现方式
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-校正问题及其实现方式--作业
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-基于Bode图设计超前校正装置
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-滞后校正装置的特性
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-滞后校正装置的特性--作业
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-基于根轨迹法设计滞后校正装置--作业
-基于Bode 图设计滞后校正装置
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-超前-滞后校正装置的特性
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-基于根轨迹法设计超前-滞后校正
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-开环系统的期望频率特性--作业
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-第九周 系统校正（二）--反馈校正
-直线倒立摆控制系统实验
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-第十周 非线性系统分析（一）--非线性系统概述
-非线性系统的典型动力学特征
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-非线性系统的典型动力学特征--作业
-描述函数法定义
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-描述函数法求取
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-描述函数法求取--作业
-基于描述函数的稳定性分析
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-第十周 非线性系统分析（一）--基于描述函数的稳定性分析
-非线性系统自持振荡的分析
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-第十周 非线性系统分析（一）--非线性系统自持振荡的分析
-相平面与相轨迹
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-相平面与相轨迹--作业
-相轨迹的绘制方法
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-相轨迹的绘制方法--作业
-奇点
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-奇点--作业
-线性系统的相平面分析
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-线性系统的相平面分析--作业
-非线性系统的相平面分析
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-非线性系统的相平面分析--作业
-极限环及其产生条件
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-第十一周 非线性系统分析（二）--极限环及其产生条件
-非线性系统分析小结
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-非线性系统分析小结--作业
-采样控制系统概述
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-采样控制系统概述--作业
-脉冲采样与理想采样
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--采样系统
-脉冲采样与理想采样--作业
-采样定理
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-采样定理--作业
-零阶保持器
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-零阶保持器--作业
-z-变换
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-z-变换--作业
-脉冲传递函数（一）
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-第十二周：采样系统--脉冲传递函数（一）
-脉冲传递函数（二）：求脉冲传递函数的一般方法
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-第十二周：采样系统--脉冲传递函数（二）：求脉冲传递函数的一般方法
-z-平面上采样系统的稳定性分析
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-z-平面上采样系统的稳定性分析--作业
-w-平面上采样系统的稳定性分析
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-w-平面上采样系统的稳定性分析--作业
-采样控制系统的时域分析
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-采样控制系统的时域分析--作业
-修正的z-变换
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-修正的z-变换--作业
-考试环节--期末考试
-考试环节--期中考试
