当前课程知识点：自动控制理论（1） > 第十二周：采样系统 > w-平面上采样系统的稳定性分析 > 视频
同学们好
现在我们来学习采样控制系统的
稳定性分析的第二类方法
就是在w平面上
分析采样控制系统的稳定性
我们前面通过利用脉冲传递函数
来分析系统稳定性的时候
我们知道利用z传递函数
所对应的特征方程
我们可以去看它所对应的特征根
在z平面上的特征根的分布
如果这些特征根都分布在单位圆的内部
那它所对应的系统就一定是渐近稳定的
否则这个系统就不是渐近稳定的
那这个方法的好处就在于
由于我们通常所碰到的脉冲传递函数
都是有理分式
所以只需要利用这个特征方程的根的性质
就可以判断系统的稳定性
那从这一点上来看
它和我们前面利用s传递函数
判断系统稳定性原则是很类似的
所以很多结论可以照推过来
但是现在有一个不方便的地方在什么地方
就是这个时候系统稳定的稳定域
发生了变化
稳定域现在变成了单位圆
就是z平面上的单位圆
就是说所有特征根
要在z平面上的单位圆内部的时候
这个系统才是稳定的
这和s函数判断稳定性相比
就要麻烦的多
因为在用s函数判断稳定性的时候
我们只需要看这个特征根是在复平面的
也就是s平面的左边还是右边
左半边还是右半边就够了
那么这两种方法之间能不能互相综合一下
那首先第一点看
那如果我们用z传递函数
也就是脉冲传递函数
那么这个单位圆的问题我们回避不了
那我们如果用s函数
那这个稳定域就是左半平面
这相对比较简单
当然这个麻烦的问题
就是它所对应的s传递函数
一般来讲是个非有理函数
那么这个非有理函数处理起来就更麻烦
因为正是为了去避免非有理函数
我们才要引入这样一个z函数
所以说我们从
我们在z平面上去分析系统稳定性
比较麻烦
那如果在s平面上分析稳定性是更麻烦
那么有没有一个办法
能够综合这两个平面的优点
我们来看一下这就是我们现在要介绍的
w平面上的稳定性分析
那这个w平面上稳定性分析
实际上是基于这样一个双线性变换
因为我们通过前面的分析知道
那么z平面上的稳定性
是基于这样一个稳定域的判断
就是所有特征根
都应该在这样一个单位圆的内部
那我们来看一下
假如说我们现在取几个测试的点
a b c d e
其中a在这个单位圆的里边
那么cdbe这些其他的点都在这个单位圆上
我们知道s平面和z平面之间的关系是什么
就是z等于e^(Ts)
所以通过这个变换
如果把这个单位圆映射到s平面上的话
那么这个单位圆就会映射到这个实轴上
那么单位圆内部的点就会映射到
这个s平面上左半平面
所以这就形成了一个稳定域的一一对应
但是我们现在又不希望
z=e^(Ts)这样一个非有理的变换出现
那怎么办
实际上能够实现这个对应的变换
并不是唯一的
我们可以找到这样一个有理函数的变换
实现同样这样一个对应的关系
也就是说我们如果让w=(z-1)/(z+1)
或者说让w=(z+1)/(z-1)
这两种选择都可以
那我们可以证明这时候z平面上的单位圆
也对应于w平面上的左半平面
那么这个变换就是一个
我们所谓的双线性变换
它所对应的反变换就是这样一个形式
那它能够把一个w平面上的
左半平面映射为z平面上的单位圆内部
那我们再仔细看一下
如果我们让把这个z
用一个极坐标表示的话
把这个极坐标表示带到我们这个
w变换双线性变换里面
我们可以看到如果取这个负号
(z-1)/(z+1)的时候
我们可以得到这w的实部和虚部的表达式
那么很容易也可以看到如果z是取单位圆
取单位圆那就意味着r半径等于1
如果半径等于1时候
我们代到这里面表达式我们可以看到
那么这时候w的实部总是等于0的
这就意味着它可以把z平面上
单位圆映射到w平面上虚轴
所以这就是我们所定义的双线性变换
那么从这里面我们很容易可以看到
它实际上综合了z平面和s平面的两大优点
一个是在w平面上
我们同样可以用这样一个简单的
稳定域来进行判断
那另外一点我们又不需要
引入一个非有理的传递函数
因为这个变换它都是有理分式变换
所以我们经过变换把一个z传递函数
变成一个对应的以w为变量的
传递函数的话
那么这个传递函数还是一个有理分式
所以我们就有可能利用
我们前面的代数判据
根轨迹这样一些分析方法去分析系统的稳定性
因此我们得到这样一个双线性变换以后
我们就可以在w平面上直接用Routh判据
因为Routh判据的一个数学本质
就是要判断一个多项式的根
到底是在复平面的左半平面
还是右半平面
因此只要这个w平面
它所对应的稳定域就是左半平面
那这个Routh判据还是一样可以用的
因此我们只要知道了一个
采样控制系统的脉冲传递函数
所对应的特征方程
我们把z和w的对应关系代进去
也就是我们刚才定义的这个
双线性变换代进去
就可以把φ(z)变成一个w的函数
那这个w函数它所对应的这样一个根的
我们就看w对应的根是不是在左半平面
那它和z的根在z平面的单位圆里面
这个条件实际上是等价的
所以说我们最后的结论
就是说把这双线性变换代进去
然后再看这个对应的函数的根
其实也就对应于这个多项式
就是把这个z代进去以后
当然代进去以后这是一个有理分式
那这个有理分式实际上我们要看它的根
只需要看它的分母多项式就可以了
所以说它的分母多项式就是
这个有理分式再乘以(1-w)^n
我们只需要看这个多项式的根
它是不是在w平面的左半平面就够了
好 比如说我们假设有一个例子
就是说z传递函数所对应的特征方程
是这样一个二次多项式
那我们要把它首先化成w多项式
怎么化
就是把z=(1+w)/(1-w)代进去
然后再同时乘以(1-w)^2
最后我们就可以得到(1+w)^2
减去1.368就是这个z的系数
再乘以(1+w)(1-w)
再加上0.368(1-w)^2
最后可以得到这样一个关于w的
二次多项式
那么它的根是不是在左半平面
就很容易判断了
那我根据我们学过的Routh判据
只要第一项的系数是大于0的
这个系统就一定是稳定的
所以那我们最后要求
当然还有这一项的系数也要大于0
所以k要大于0
然后这项大于0
对应k要小于4.329
所以这样我们就可以求出
利用w平面上的Routh判据
求出这个闭环系统的稳定性
好 那么我们知道w平面
实际上和我们前面学习的s平面
实际上很像
因为它的稳定域是一样的
但是实际上w平面和s平面
又不是同一个平面
因为它所对应的辅助变量是不一样的
但是我们仍然可以用w平面上
去用类似的频率特性分析方法
去分析闭环系统稳定性
我们来看一下也就是说
在w平面上我们实际上
也可以画Nyquist图也可以画Bode图
用这些图形来对系统的性能进行分析
只不过这个频率特性不代表
这个系统实际的频率特性
因为它实际的频率特性
实际上还是要由s函数来描述的
所以那我们在这就把它叫做一个
虚拟的频率特性
它只是为了数学上的方便而引入的
那怎么来做
我们首先用双线性变换
把z平面上的单位圆
映射为w平面上的虚轴
也就是说如果我们在z平面上
画一个单位圆
那我们可以看到
在z平面上这个对应于相角
在0到π变化的范围内
它对应单位圆的上半圆
那我们看这个上半圆
对应于w平面是对应于什么地方
我们在这先简单地做一个计算
如果我们令w取这个变换
(z-1)/(z+1)
然后这个单位圆的表达式
实际上就是e^(jTω)
因为它的这模是1 相角是Tω 减去1
如果我们把e的单位圆的参数表示
用这个频率来表示出来
这个实际上对应什么
就是实际上我们在画Nyquist图的时候
我们知道要在s平面上
要画一个大型的D形围线
那这个D形围线包含了
s平面上的整个虚轴
那整个虚轴
s平面上整个虚轴映射到z平面
其实就是一个单位圆
而让s等于jω的时候
它所对应于的z就是e^(jTω)
因此我们把它画出来以后
对这个函数进行化简
上下同时除以e^(j*Tω/2)
然后那我们就可以得到
这样一个表达式
而这个表达式我们可以去证明
这个表达式实际上就是一个纯虚数
而这个虚数的大小就是tan(ωT/2)
因此如果我们把这个函数
ω的函数我们把它叫做ν
那么这个w实际上
我们就可以写成jν的形式
所以说我们去映射一下
就是说如果当ω等于0的时候
也就对应于相角等于0的时候
那它就对应于w平面上的原点
那么当ωT趋近于π的时候
那对应的ωT/2就趋近于π/2
我们知道tan(π/2)是趋近于无穷的
所以说当这个单位圆趋近于π的时候
w平面上它是沿着虚轴
从原点趋向于j的正无穷
所以说我们可以把ν看成一个虚拟的频率
我们可以把ν看成一个虚拟的频率
我们就用这个虚拟的频率
去代替我们原来的频率特性
给系统做一个分析
那这时候ν它对应于0到无穷远
好 我们来看一个具体的例子
假如说这个对象的传递函数
就是一个一阶传递函数K/s
而且前面有一个零阶保持器
我们来看一下
闭环采样系统的稳定性怎么样
我们从前面例子里面我们知道
这个采样系统的开环传递函数
我们可以这样计算
首先计算出来这个对象和零阶保持器
一起的这个s传递函数
然后再对这个s传递函数做z变换
我可以得到对应的开环的脉冲传递函数
最后我们其实求出来是KT/(z-1)
那这是我们z平面上的对应的
开环传递函数
那我们看一下
对应于它的频率特性怎么来刻化
那么一种我们可以用s做z的频率特性
也就是说我们让z=e^(Ts)
那么让s=jω
我可以把这个代进去
也就是z=e^(jωT)代进去
这就是s平面上的频率特性
那从另外一个角度
我也可以用w平面上的频率特性来分析
只不过这个频率是一个虚拟的频率
不代表一个实际的频率
那这个怎么来做
我们首先先用双线性变换
把z=(1+w)/(1-w)代进来
整理以后得到这样一个关于w的有理分式
而根据我们前面的分析
我们知道如果让s=jω的话
或者说对应的z=e^(jωT)的话
那么这时候w可以等效的
用一个纯虚数来代替 jν来代替
就是ν是代表它的一个虚拟的等效的频率
代进去以后我们就可以把这个
得到这样一个频率响应函数
也就可以得到这个函数
它随着虚拟频率ν变换的时候
它的变换关系
那这个我们可以根据这个表达式
去画相应的Nyquist图
我们可以看到这个频率特性
它的实部是一个常数
而它的虚部是ν的导数
因此我们如果在这个ν
在w平面上做这样一个D形围线
做这样一个D形围线
由于这个GH0它所对应开环传递函数
有一个极点在原点
所以我们在原点附近
要做一个小围线绕开它
好 那我们看一下
如果w沿着这个D形围线走的时候
那么它所对应的GH0(w)
它是怎么走的
那么我们看一下
首先如果从0正往正无穷走
那也就是说ν往趋近于无穷的时候
那这个虚部是趋近于减小的
而这个实部始终是一个常数
只不过虚部发生变换
因此它所对应的这部分
应该是实部等于-KT/2
它所在这个位置的一条竖直垂线
而且当ν趋近于0的时候
GH的jν它应该是所对应的虚部是趋近于0
所以这一部分它对应于ν等于无穷的地方
而ν趋近于0的时候
大家可以看ν趋近于0
而且是等于一个比较接近0的
一个小的正数的时候
那这时候虚部是一个很大的负数
所以它对应于这边
这个实轴以下的很远地方
这个对应于0+
相应这个地方对应于0-
而这部分对应于我们这做的一个小围线
这个小围线我们同样可以分析出来
它应该是一个顺时针绕了一个半圈
所以这就是在w平面上
我们可以去画出来这样一个Nyquist的曲线
而通过Nyquist的曲线
我们就可以去分析
闭环系统的稳定性
而所用的判据和我们Nyquist判据
实际上是一模一样的
那也就是看到我们Nyquist的曲线
是不是包围-1
所以很容易可以从图上看到
那只要这个
就是这个交点和原点的距离
只要它小于-1就可以
因此我们可以得出这个结论
只要K<2/T的时候
闭环系统就一定是稳定的
我们也可以根据Bode图来画
Bode图的相频特性和幅频特性
和我们前面画
利用s平面上频率特性画的方法
实际上是一样的
那么我们从这里面
也可以得到一个稳定性的判据
也就是说当这一部分水平这一部分
在0分贝轴以下的时候
这个系统是稳定的
从而我们可以得到一个
同样的一个稳定性判据
这时候K<2/T的时候
闭环系统是稳定的
那同样道理
那这个例子我们还可以用
根轨迹法去分析稳定性
我们来看一下怎么去分析
我们前面得到了
就是做了这样一个双线性变换以后
这个开环的脉冲传递函数
可以表示成w变量这样一个有理分式
而这个有理分式我们去整理成
我们前面去画根轨迹的时候一个标准形式
也就是说我们要把分子和分母
都变成一个首项系数为1的多项式
那么这样分母就是w
那么分子1-w我们要变成w-1
那变成w-1以后
前面这个等效的这样一个根轨迹的参数
K'我们可以看到就应该等于-KT/2
再乘上一个由1-w变成w-1
而出来这个负号
所以那这个系数是一个小于0的数
那看到这儿大家就应该知道
这实际上对应于一个补根轨迹
实际上我们要画这个系统
当K>0的时候
所对应的跟轨迹的话
实际上就对应于这个系统
所对应的补根轨迹
那这个补根轨迹
我们从它的极点在原点
从它的零点在1
从这两个点我们很容易
可以把它补根轨迹画出来
画出来就是这个样
那么这个系统什么时候是稳定的
那我们可以看到
那这个系统的临界稳定点发生在什么地方
发生在ω等于正无穷的时候
那么根据这个条件来判断
我们只要去算它这个时候
就ω等于正无穷的时候
它所对应的K就可以了
那么根据幅值条件
就是这个开环传递函数
它的幅值总应该等于1
所以ω趋近于无穷的时候
那这个幅值应该趋近于1的
也就是对应于KT/2=1
其实也就是K<2/T这个条件
所以说我们刚介绍了w平面的方法
实际上在应用上是一个非常实用的办法
它既可以利用脉冲传递函数
z传递函数所对应的有理分式的这个优点
又同时综合了s平面上分析
它所对应于这样一个比较简单的
稳定域的这样一个特点
所以在这个基础上
我们可以基于这样一个有理的传递函数
去利用s平面上我们所熟悉的
Routh判据
熟悉的根轨迹 Nyquist图 Bode图
这些工具进行分析
所以这就是s平面分析的一个最大的好处
好 我们这节课就到这里
-绪论
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-拉普拉斯变换定义及性质（一）
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-拉普拉斯变换定义及性质（一）--作业
-拉普拉斯变换定义及性质（二）
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-拉普拉斯变换定义及性质（二）--作业
-卷积定义、定理及性质
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-卷积定义、定理及性质--作业
-拉普拉斯逆变换及应用（一）：拉普拉斯逆变换定义
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-拉普拉斯逆变换及应用（一）：拉普拉斯逆变换定义--作业
-拉普拉斯逆变换及应用（二）：拉普拉斯逆变换应用
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-拉普拉斯逆变换及应用（二）：拉普拉斯逆变换应用--作业
-控制的基本概念
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-控制的基本概念--作业
-控制系统的微分方程描述（一）
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-控制系统的微分方程描述（一）--作业
-控制系统的微分方程描述（二）
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-控制系统的微分方程描述（二）--作业
-控制系统的传递函数描述（一）：Laplace变换知识回顾
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-控制系统的传递函数描述（一）：Laplace变换知识回顾--作业
-控制系统的传递函数描述（二）：控制系统的传递函数描述
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-控制系统的传递函数描述（二）：控制系统的传递函数描述--作业
-框图及其变换（一）：传递函数框图定义及连接方式
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-框图及其变换（一）：传递函数框图定义及连接方式--作业
-框图及其变换（二）：传递函数框图变换
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-第二周：控制系统的概念及数学模型--框图及其变换（二）：传递函数框图变换
-信号流图
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-信号流图--作业
-控制系统的基本单元
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-控制系统的基本单元--作业
-非线性单元的线性化
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-第二周：控制系统的概念及数学模型--非线性单元的线性化
-稳定性
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-第三周：线性系统时域分析（一）--稳定性
-稳定的Liapunov定义
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-稳定的Liapunov定义--作业
-稳定性的代数判据（一）：Routh判据
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-稳定性的代数判据（一）：Routh判据--作业
-稳定性的代数判据（二）：系统稳定的必要条件
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-稳定性的代数判据（二）：系统稳定的必要条件--作业
-参数稳定性，参数稳定域
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-参数稳定性，参数稳定域--作业
-静态误差（一）：误差和静态误差定义
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-第四周：线性系统时域分析（二）--静态误差（一）：误差和静态误差定义
-静态误差（二）：静态误差与输入
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-静态误差（三）：静态误差的计算
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-静态误差（三）：静态误差的计算--作业
-静态误差（四）：系统类型与静态误差的关系
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-静态误差（四）：系统类型与静态误差的关系--作业
-静态误差（五）：静态误差的物理和理论解释
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-静态误差（六）：扰动引起的静态误差
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-静态误差（六）：扰动引起的静态误差--作业
-动态性能指标
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-动态性能指标--作业
-高阶系统动态性能的二阶近似
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-高阶系统动态性能的二阶近似--作业
-控制系统的校正
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-控制系统的校正--作业
-频率特性引言
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-频率特性引言--作业
-Fourier变换
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-第五周：频率响应法（一）--Fourier变换
-频率特性函数
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-频率特性函数--作业
-频率特性的图像
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-频率特性的图像--作业
-基本环节的频率特性
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-基本环节的频率特性--作业
-复杂频率特性的绘制（一）
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-复杂频率特性的绘制（一）--作业
-复杂频率特性的绘制（二）
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-复杂频率特性的绘制（二）--作业
-复杂频率特性的绘制（三）
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-第五周：频率响应法（一）--复杂频率特性的绘制（三）
-闭环频率特性
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-闭环频率特性--作业
-Nyquist稳定判据（一）
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-Nyquist稳定判据（一）--作业
-Nyquist稳定判据（二）
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-第六周：频率响应法（二）--Nyquist稳定判据（二）
-Nyquist稳定判据（三）
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-第六周：频率响应法（二）--Nyquist稳定判据（三）
-相对稳定性（稳定裕量）
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-相对稳定性（稳定裕量）--作业
-从开环频率特性研究闭环系统性能
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-从开环频率特性研究闭环系统性能--作业
-基于频率特性的控制器设计思路
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-根轨迹方法简介
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-根轨迹方法简介--作业
-根轨迹条件
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-根轨迹条件--作业
-根轨迹性质
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-根轨迹性质--作业
-根轨迹的图像
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-根轨迹的图像--作业
-条件稳定系统
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-条件稳定系统--作业
-零极点对根轨迹的影响
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-零极点对根轨迹的影响--作业
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-第七周：根轨迹方法--参数根轨迹和根轨迹族
-延时系统的根轨迹
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-延时系统的根轨迹--作业
-补根轨迹与全根轨迹
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-补根轨迹与全根轨迹--作业
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-校正问题及其实现方式--作业
-校正装置的设计方法
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-校正装置的设计方法--作业
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-超前校正装置的特性--作业
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-基于根轨迹法设计超前校正装置--作业
-基于Bode图设计超前校正装置
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-基于Bode图设计超前校正装置--作业
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-滞后校正装置的特性--作业
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-基于Bode 图设计滞后校正装置
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-基于Bode 图设计滞后校正装置--作业
-超前-滞后校正装置的特性
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-超前-滞后校正装置的特性--作业
-基于根轨迹法设计超前-滞后校正
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-基于根轨迹法设计超前-滞后校正--作业
-基于Bode图设计超前-滞后校正
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-基于Bode图设计超前-滞后校正--作业
-开环系统的期望频率特性
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-开环系统的期望频率特性--作业
-反馈校正
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-第九周 系统校正（二）--反馈校正
-直线倒立摆控制系统实验
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-非线性系统概述
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-第十周 非线性系统分析（一）--非线性系统概述
-非线性系统的典型动力学特征
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-非线性系统的典型动力学特征--作业
-描述函数法定义
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-描述函数法定义--作业
-描述函数法求取
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-描述函数法求取--作业
-基于描述函数的稳定性分析
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-第十周 非线性系统分析（一）--基于描述函数的稳定性分析
-非线性系统自持振荡的分析
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-第十周 非线性系统分析（一）--非线性系统自持振荡的分析
-相平面与相轨迹
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-相平面与相轨迹--作业
-相轨迹的绘制方法
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-相轨迹的绘制方法--作业
-奇点
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-奇点--作业
-线性系统的相平面分析
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-线性系统的相平面分析--作业
-非线性系统的相平面分析
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-非线性系统的相平面分析--作业
-极限环及其产生条件
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-第十一周 非线性系统分析（二）--极限环及其产生条件
-非线性系统分析小结
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-非线性系统分析小结--作业
-采样控制系统概述
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-采样控制系统概述--作业
-脉冲采样与理想采样
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--采样系统
-脉冲采样与理想采样--作业
-采样定理
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-采样定理--作业
-零阶保持器
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-零阶保持器--作业
-z-变换
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-z-变换--作业
-脉冲传递函数（一）
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-第十二周：采样系统--脉冲传递函数（一）
-脉冲传递函数（二）：求脉冲传递函数的一般方法
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-第十二周：采样系统--脉冲传递函数（二）：求脉冲传递函数的一般方法
-z-平面上采样系统的稳定性分析
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-z-平面上采样系统的稳定性分析--作业
-w-平面上采样系统的稳定性分析
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-w-平面上采样系统的稳定性分析--作业
-采样控制系统的时域分析
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-采样控制系统的时域分析--作业
-修正的z-变换
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-修正的z-变换--作业
-考试环节--期末考试
-考试环节--期中考试
