当前课程知识点：自动控制理论（1） > 第十二周：采样系统 > 修正的z-变换 > 视频
同学们好
现在我们来学习一下修正的z变换
首先我们来看一下
为什么要引入修正的z变换这个概念
前面我们通过学习一个采样控制系统
本质上是通过采样器
把一个连续时间信号变成一个采样序列
还要通过对这些等周期的时刻间隔
把这个连续时间信号
对应的这个信号的取值采下来
得到一个采样序列
那么这中间会引出各种各样可能的问题
首先我们可以看到对于
比如说这张图上的例子
如果有两个不同的时间信号
那它们有可能会发生
它们在这样的采样周期的设置下
它得到的采样序列是一样的
也就是说我们从同一个采样序列
去恢复出一个时间信号的时候
那这个时间信号是不唯一的
那么如果这个时间信号
如果我们已经知道它的频率范围比较窄
也就是说它是相对比较平滑的一个信号
那我们只要去对这个采样序列
进行一个比较平滑的差值
我们得到的这个
恢复的这个时间信号其实差别也不会太大
但实际系统有可能会发生这样的
就是说在采样周期之间
这个信号的变化会很奇怪
它可能会有些高频的信号
或者说这个信号本身没有高频信号
但是如果这个系统
本身的动态响应特性不是特别好
那在它的输出中
会产生出一些比较奇怪的分量
所以这个时候那都会造成
很难从这个采样序列中
去恢复出原来这个信号
也就是说这个采样过程中
不能够很好地去反映这个信号的实际情况
那么这也对应了一些这样的情况
也就是说在采样点之间
如果系统响应不是很好的话
那我用这样一个采样序列
去分析这个系统的话
就很难去反映这个系统的实际情况
因为好的情况我能从采样序列看到了
但是系统响应不好的部分
我从采样序列里面看不到
所以因此为了去解决
去克服这样一些问题的话
我们为了更全面地了解系统的性能
我们有些时候需要看一看
在这些采样点之间的
这个信号的实际值是什么样的
也就是我们希望看一看
在不同采样时刻之间
这个信号取值是什么样的
而这个取值的话我们是没有办法
通过标准的z变换去进行分析的
因为标准的z变换
处理的只是这些已经设定好的
采样时刻之间时候的取值
那我们怎么办呢
实际上一个非常简单的办法
就是如果我们在采样时刻
取到这个采样点之间
比如说我们在这个时候采一下
在这个时候采一下
在这个时候采一下
在这个时候采一下
那我们就有可能去得到这样一些信息
或者说我们也可以等价的
比如说如果把这个信号往左边平移一点
那我们还是在原来这些采样时刻
去采样取值
那实际上我们得到的信号
和刚才得到这个效果实际上是一样的
得到都是在这个点的这个信号的取值
因此实际上我们要分析这样一些
这个信号的取值的时候
实际上就等价要看这个信号
我们做一些平移再去求它相应的z变换
那我们看一下怎么做呢
它首先如果这个时延
正好是这个信号的整数倍
比如说这个时延正好就是L乘以T
那么根据位移定理
如果这个系统的传递函数是G(s)
如果再加上这么一个时延的话e^(-Ls)
那么这个系统
就是经过时延以后这个系统
这个z传递函数或者脉冲传递函数
就等于G所对应的脉冲传递函数
再乘以z^-L 这很容易证明
因此对这样一个有延时的系统的话
其实本质上它的脉冲传递函数
只是差了一个z^-L
就是说我只要知道了
原来这个传递函数的这个脉冲传递函数
那我加上一个延时
那我只要经过一个简单的运算就可以得到
所以这种比较简单
所以对这种系统我只需要做一个延时
就可以准确地去恢复采样值
而这些函数的这个z变换
我们可以去通过查表获得
但是另外的一种情况
是这种变换它所没有办法处理的
就是说如果这个时候
它这个时间的延迟它不是T的整数倍
就像这里面一样
它的延时不是2T 而是2.5T
那么常规的z变换对求采样值的帮助
实际上并不是太大
好 那我们来看一下这个延时
不是周期的整数倍的时候怎么来处理
为了方便起见我们就假设这个延时ΔT
就是在一个周期以内小于T
那为了方便我们就定义
ΔT等于(1-m)T
其中m是0到1之间的常数
那这个时候我们去看
如果一个连续的时延项
我们经过一个标准的采样 理想的采样
我们会得到这样一个采样信号
那如果有这样一个
首先经过这样一个时间延迟
先把这个信号延迟ΔT以后然后再去采样
我们会得到一个不同的采样信号
这个不同的采样信号就对应于
刚才我们希望在采样周期之间
采样的这些信号值
那这个采样信号它就和我们这个时延
所对应的这个参数m是有关系的
所以这样我们就得到了
原来这个信号去做这样一个时延以后
去采这个信号
所以说如果我们还是在同样的时刻取值
那我们采到的这个信号
实际上就对应原来这个地方
就在原来两个采样周期之间
某个点的信号取值
所以这就是我们去定义这个
修正z变换的一个初衷
就是我们就是想知道
不是正好在这个采样时刻
而是在这个采样时刻之间的这个点的取值
信号的取值是什么样的
所以我们具体计算一下
在采样时刻kT的时候
我们来算一下采样输出
x*(k,m)它就等于x kT
再做这样一个ΔT的延时
ΔT延时这个定义就是(1-m)T
那我们对这个信号做一个标准的z变换
这个z变换就是这个信号的z变换
根据z变换定义我们代进去以后
就可以得到是这个样子
那么这个样子我们可以看
这里面我们可以
这是kT-(1-m)T
其中kT和这个mT可以合起来变成(k+m)T
那这还有一个减去一个T
减去一个T实际上就是一个周期的时延
那这一个周期的时延实际上就等价于
那么这个x[(k+m)T]这个采样序列的z变换
再乘以一个z^-1 再乘以z分之一
所以说我们最后表达出来
其实就是这样一个序列
它的z变换下面再乘以一个z的倒数
那么这个定义
就是我们定义的修正的z变换
我们可以看到这个修正的z变换
和我们标准的z变换形式实际上很像
就这个求和的形式很像
只不过这里面多了一个参数
这个参数和我们所定义的时延的参数
是有关系的
好 那么有了这个修正的z变换
我们就可以看到它有几种特殊的情况
第一种特殊的情况就是m=1的时候
因为我们知道定义ΔT=(1-m)T
因此m=1的时候ΔT是等于0的
所以这个对应没有时延的
没有时延的话也就是说这时候
我们要采的这个信号
实际上就是原来这个信号
那因此它所对应的修正的z变换
实际上就跟这系统标准
在标准的理想采样器
采出来的这个采样序列的z变换
实际上是一样的
那如果m=0那这时候时延就是一个T
也就是说是T的一个整数倍
那这时候x*(k,0) 因为这个m=0
就等于x(kT-T)
实际上就是延时了一个T
而它所对应的z变换
就是原来这个x*的z变换去做一个时延
那我们知道一个信号做一个周期的时延
就相当于这个信号的z变换
再乘以1/z
所以这时候X(z,0)就等于
z^-1再乘以X(z)
这是两个比较特殊的情况
它实际上对应于时延是T的整数倍
但是如果m在0到1之间变化
它不是一个整数的话
那这个x*(k,m)它可以采到信号
在这两个采样时刻之间任意的值
而它所定义的这个修正的z变换
一般来讲是很难去通过查表的办法
去求出来的
好 那我们通过一个具体的例子来看一下
一个具体的修正z变换是怎么求的
如果我们要求了这个连续的时延信号
是这样一个指数信号e^(-at)
其中延时τ=(1-m)T
我们来看一下它所对应的修正z变换
结果是什么样的
利用我们前面得到的z变换的公式
我们知道X(z,m)
其中m是对应于这样一个时延的参数
那它的表达式等于z^-1
再乘以这样一个级数和
其中级数和的前面这个系数
应该等于x(t)在(k+m)T这个时刻的取值
所以说我们把这个(k+m)T
代到这个表达式里面
就到这样一个级数和
那这个级数和我们首先可以把
跟k没有关系的先拿出来
e^(-amT)要拿到外面
那么这个括号里面
就变成这样一个等比级数的和
这样一个等比级数
那这个等比级数
我们就可以通过求这个等比级数的和
得到这样一个有理分式的表达式
而这个有理分式的表达式
如果大家有些时候
用这个有理分式的表达式方便
有些时候可能觉得
这样一个级数展开方便
因为在很多情况下
我们可以通过有限的来截断
那样计算起来反而更方便
所以这个简单的例子就告诉我们
如果我们需要求取在不同采样时刻之间的
这个信号的采样这个取值的话
我们可以通过这样的
修正z变换来进行求取
好 我们这节课就到这里
-绪论
--视频
-拉普拉斯变换定义及性质（一）
--视频
-拉普拉斯变换定义及性质（一）--作业
-拉普拉斯变换定义及性质（二）
--视频
-拉普拉斯变换定义及性质（二）--作业
-卷积定义、定理及性质
--视频
-卷积定义、定理及性质--作业
-拉普拉斯逆变换及应用（一）：拉普拉斯逆变换定义
--视频
-拉普拉斯逆变换及应用（一）：拉普拉斯逆变换定义--作业
-拉普拉斯逆变换及应用（二）：拉普拉斯逆变换应用
--视频
-拉普拉斯逆变换及应用（二）：拉普拉斯逆变换应用--作业
-控制的基本概念
--视频
-控制的基本概念--作业
-控制系统的微分方程描述（一）
--视频
-控制系统的微分方程描述（一）--作业
-控制系统的微分方程描述（二）
--视频
-控制系统的微分方程描述（二）--作业
-控制系统的传递函数描述（一）：Laplace变换知识回顾
--视频
-控制系统的传递函数描述（一）：Laplace变换知识回顾--作业
-控制系统的传递函数描述（二）：控制系统的传递函数描述
--视频
-控制系统的传递函数描述（二）：控制系统的传递函数描述--作业
-框图及其变换（一）：传递函数框图定义及连接方式
--视频
-框图及其变换（一）：传递函数框图定义及连接方式--作业
-框图及其变换（二）：传递函数框图变换
--视频
-第二周：控制系统的概念及数学模型--框图及其变换（二）：传递函数框图变换
-信号流图
--视频
-信号流图--作业
-控制系统的基本单元
--视频
-控制系统的基本单元--作业
-非线性单元的线性化
--视频
-第二周：控制系统的概念及数学模型--非线性单元的线性化
-稳定性
--视频
-第三周：线性系统时域分析（一）--稳定性
-稳定的Liapunov定义
--视频
-稳定的Liapunov定义--作业
-稳定性的代数判据（一）：Routh判据
--视频
-稳定性的代数判据（一）：Routh判据--作业
-稳定性的代数判据（二）：系统稳定的必要条件
--视频
-稳定性的代数判据（二）：系统稳定的必要条件--作业
-参数稳定性，参数稳定域
--视频
-参数稳定性，参数稳定域--作业
-静态误差（一）：误差和静态误差定义
--Video
-第四周：线性系统时域分析（二）--静态误差（一）：误差和静态误差定义
-静态误差（二）：静态误差与输入
--Video
-静态误差（三）：静态误差的计算
--Video
-静态误差（三）：静态误差的计算--作业
-静态误差（四）：系统类型与静态误差的关系
--Video
-静态误差（四）：系统类型与静态误差的关系--作业
-静态误差（五）：静态误差的物理和理论解释
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-静态误差（六）：扰动引起的静态误差
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-静态误差（六）：扰动引起的静态误差--作业
-动态性能指标
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-动态性能指标--作业
-高阶系统动态性能的二阶近似
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-高阶系统动态性能的二阶近似--作业
-控制系统的校正
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-控制系统的校正--作业
-频率特性引言
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-频率特性引言--作业
-Fourier变换
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-第五周：频率响应法（一）--Fourier变换
-频率特性函数
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-频率特性函数--作业
-频率特性的图像
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-频率特性的图像--作业
-基本环节的频率特性
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-基本环节的频率特性--作业
-复杂频率特性的绘制（一）
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-复杂频率特性的绘制（一）--作业
-复杂频率特性的绘制（二）
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-复杂频率特性的绘制（二）--作业
-复杂频率特性的绘制（三）
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-第五周：频率响应法（一）--复杂频率特性的绘制（三）
-闭环频率特性
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-闭环频率特性--作业
-Nyquist稳定判据（一）
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-Nyquist稳定判据（一）--作业
-Nyquist稳定判据（二）
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-第六周：频率响应法（二）--Nyquist稳定判据（二）
-Nyquist稳定判据（三）
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-第六周：频率响应法（二）--Nyquist稳定判据（三）
-相对稳定性（稳定裕量）
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-相对稳定性（稳定裕量）--作业
-从开环频率特性研究闭环系统性能
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-从开环频率特性研究闭环系统性能--作业
-基于频率特性的控制器设计思路
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-根轨迹方法简介
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-根轨迹方法简介--作业
-根轨迹条件
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-根轨迹条件--作业
-根轨迹性质
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-根轨迹性质--作业
-根轨迹的图像
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-根轨迹的图像--作业
-条件稳定系统
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-条件稳定系统--作业
-零极点对根轨迹的影响
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-零极点对根轨迹的影响--作业
-参数根轨迹和根轨迹族
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-第七周：根轨迹方法--参数根轨迹和根轨迹族
-延时系统的根轨迹
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-延时系统的根轨迹--作业
-补根轨迹与全根轨迹
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-补根轨迹与全根轨迹--作业
-校正问题及其实现方式
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-校正问题及其实现方式--作业
-校正装置的设计方法
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-校正装置的设计方法--作业
-超前校正装置的特性
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-超前校正装置的特性--作业
-基于根轨迹法设计超前校正装置
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-基于根轨迹法设计超前校正装置--作业
-基于Bode图设计超前校正装置
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-基于Bode图设计超前校正装置--作业
-滞后校正装置的特性
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-滞后校正装置的特性--作业
-基于根轨迹法设计滞后校正装置
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-基于根轨迹法设计滞后校正装置--作业
-基于Bode 图设计滞后校正装置
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-基于Bode 图设计滞后校正装置--作业
-超前-滞后校正装置的特性
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-超前-滞后校正装置的特性--作业
-基于根轨迹法设计超前-滞后校正
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-基于根轨迹法设计超前-滞后校正--作业
-基于Bode图设计超前-滞后校正
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-基于Bode图设计超前-滞后校正--作业
-开环系统的期望频率特性
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-开环系统的期望频率特性--作业
-反馈校正
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-第九周 系统校正（二）--反馈校正
-直线倒立摆控制系统实验
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-非线性系统概述
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-第十周 非线性系统分析（一）--非线性系统概述
-非线性系统的典型动力学特征
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-非线性系统的典型动力学特征--作业
-描述函数法定义
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-描述函数法定义--作业
-描述函数法求取
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-描述函数法求取--作业
-基于描述函数的稳定性分析
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-第十周 非线性系统分析（一）--基于描述函数的稳定性分析
-非线性系统自持振荡的分析
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-第十周 非线性系统分析（一）--非线性系统自持振荡的分析
-相平面与相轨迹
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-相平面与相轨迹--作业
-相轨迹的绘制方法
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-相轨迹的绘制方法--作业
-奇点
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-奇点--作业
-线性系统的相平面分析
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-线性系统的相平面分析--作业
-非线性系统的相平面分析
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-非线性系统的相平面分析--作业
-极限环及其产生条件
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-第十一周 非线性系统分析（二）--极限环及其产生条件
-非线性系统分析小结
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-非线性系统分析小结--作业
-采样控制系统概述
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-采样控制系统概述--作业
-脉冲采样与理想采样
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--采样系统
-脉冲采样与理想采样--作业
-采样定理
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-采样定理--作业
-零阶保持器
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-零阶保持器--作业
-z-变换
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-z-变换--作业
-脉冲传递函数（一）
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-第十二周：采样系统--脉冲传递函数（一）
-脉冲传递函数（二）：求脉冲传递函数的一般方法
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-第十二周：采样系统--脉冲传递函数（二）：求脉冲传递函数的一般方法
-z-平面上采样系统的稳定性分析
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-z-平面上采样系统的稳定性分析--作业
-w-平面上采样系统的稳定性分析
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-w-平面上采样系统的稳定性分析--作业
-采样控制系统的时域分析
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-采样控制系统的时域分析--作业
-修正的z-变换
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-修正的z-变换--作业
-考试环节--期末考试
-考试环节--期中考试
