当前课程知识点：自动控制理论（1） > 第十二周：采样系统 > z-平面上采样系统的稳定性分析 > 视频
同学们好
现在我们来学习采样控制系统的
稳定性分析方法
前边我们通过学习
知道了怎么样从数学上利用z变换
来描述一个带有采样开关的
控制系统的输入输出关系
也知道对于这种输入输出关系
我们可以用一个对应z传递函数
也就是脉冲传递函数来表示
相应的传递函数关系
那么怎么样通过这样一个脉冲传递函数
来分析对应系统的稳定性
我们下面从两个角度来进行分析
那么第一个角度
我们说这是从z平面上
来看一下采样控制系统的稳定性
是怎么表示
怎么去分析和判断的
那么要判断一个系统的稳定性
首先我们要知道什么样的系统是稳定的
我们在学s传递函数
对应的连续时间系统的稳定性的时候
我们知道有一个非常简单直接的判据
就是说如果这个控制系统
它所对应的特征方程的根
也就是说这个系统的极点
如果全部在s平面的左半平面的话
那这个系统就是稳定的
那在z平面上
是不是也有类似的结论
也就是说如果z平面上
我们可以去定义类似的系统的极点
那么这些极点的分布
是不是也对应于系统的稳定性
我们来看一下
从前面的学习我们知道
我们在建立z变换的时候
实际上主要是基于这样一个映射的关系
就是说如果我们把e^(Ts)
这样一个指数函数定义为z的话
我们就会得到相应的z变换
而s的稳定域我们知道呢
就是说所有的极点都在s左半平面
这个系统就是稳定的
所以我们知道了s的稳定域
就应该能够类似的对应的推出
z所对应的稳定域
我们来看一下
假如说s的实部是σ 虚部是ω
那我们根据这个映射关系
z就应该e^(σT) 再乘以e^(jωT)
那这两项乘积很容易我们可以看到
那么这一项
对应于z这个复数变量的模
而这一项ωT对应于这个z
这个复变量的这个相角
因此我们从这个图形上可以看
假如说在s平面上
有这样一条平行于实轴的
这样一条水平线
那我们看这个水平线其实对应于实部
是可以变化的
但是虚部实际上是一个常数
那么把这个翻译到这个表达式上
对应的z表达式上
那我们可以看到
实际上就对应这个变量
它的模是可以变化的
但是它的相角ωT是一个常数
那因此如果要画这一条平行线
对应在z平面上的话
它应该是相角固定
但是模是可以变化的
而且这个模是
因为这个当T趋于负无穷的时候
e^(σT)是趋于零的
T趋于正无穷呢
e^(σT)是趋于无穷的
所以画出来就应该是相角固定的
这么一条从原点开始的这么一条射线
反过来如果我们在s平面上
画这样一条垂直于实轴的直线
那它对应于所有实部为σ1的
而虚部可以变化的
这样一些复数的s变量
那么它映射到z平面上
我们可以看到
那这个时候也就是说σ是固定的
也就是说它的模就是固定的
而相角是可以随着ω的变化而变化
因此我们把这条直线映射到z平面上
就是模固定
而相角可以变化
那就一定是一个圆
因为模对应于从原点
到这个复数变量z的距离
而这个距离固定了
实际上就对应圆
而且这个圆的半径
对应于e^(σT)
那么从这条性质
我们就很容易可以看到了
就是说因为s平面它所对应的稳定域
就是复数平面的左半平面
也就是说虚轴对应于
σ等于0的这条垂线垂直线的左边
那根据我们这个性质我们可以得到
因为这一条虚轴
也就说实部等于0的这条垂直线
它对应到z平面上
其实就是单位圆
因为e^(σ*0)就等于1
而左边实际上就对应于
这个单位圆的内部
单位圆的内部
因此从这个地方我们可以得到结论
就是在z平面上我们要看稳定的话
要看单位圆的内部
也就是说如果有一个采样控制系统
我们得到了它的脉冲传递函数
而这个脉冲传递函数
可以表示成一个有理分式的话
那这个有理分式的分母
它所对应的就是这个系统的
特征多项式
比如说我们叫做φ(z)
那这个φ(z)它所对应的根
就是我们这个脉冲传递函数所对应的极点
所以说如果这个系统要渐近稳定的话
就是这个φ(z)的根
都应该在这个单位圆里面
也就是z平面的稳定域里面
所以这就是我们来判断一个
采样控制系统呢
从它的脉冲传递函数出发
判断稳定性的一个最基本的出发点
就是我们要看这个特征多项式的根
是不是都在单位圆里面
那怎么样来判断
它是不是在单位圆里面呢
我们知道对于一个用s传递函数
来判断系统稳定性的时候
我们有劳斯判据
可以通过列表的方式
去判断这个系统的稳定性
而对于这样一个采样控制系统
实际上我们也有一个
非常类似的办法
我们叫做Jury稳定性判据
它也是从一个采样控制系统的传递函数
是这个脉冲传递函数
所对应的特征多项式
从这个特征多项式的系数出发
然后通过列表的方式
来得到这个系统是稳定
还是不稳定的结论
我们来看一下
这个稳定性判据是什么样的
假如我们这个系统的特征方程
是这样一个表达形式
它的系数是a0 a1一直到an
那我画出这样一个表
画出这样一个表
那这个表是怎么来列呢
首先第一行
列出的是所有这个特征多项式的系数
从最低阶的系数
到最高阶的系数
也就是从a0 a1 a2一直到an
那么第二行是所有的这些系数
逆序排列
也就是说这是从a0到an
那么第二行反过来
从an一直到a0
首先我们列出这个表的第二行
那从这两行表开始
我们依次可以列出下面的这些表
那么第三四行表怎么算呢
我们来看一下
这个第三行的第一个
我们把它叫做b0
b0的计算原则
它实际上一个二乘二的行列式
它和劳斯判据的这个
定义的这个形式实际上很像
因为我们在画劳斯表的时候
其实每一项
其实也是一个二乘二的行列式
但是只不过这个行列式
是由哪些元素构成的
和劳斯判据是不一样的
那么这个行列式是什么呢
它的第一列实际上就对应于
上面的这两行的第一列
那它的第二列对应什么呢
我们来看一下
第二列对应an a0
实际上就是上面两行的
最右边的这一列
我们把这一列拿到这边
和我们刚才选定的第一列
构成一个二乘二的行列式
那这个行列式的值
就是我们这里边b0
那b1是什么呢
那么b1的第一列
还是我们刚才选定的
就是这个上面这两行的第一列
还是不变
那么第二列这一列
是从上面的这个两行
我们刚才已经取了最右边的这一列了
那我们再往左边来取这一列
我们放到这
那这样得到一个二乘二的行列式
我们记作b1
那往后一样
就是说往后所有的这些
第三行的所有的元素
所对应的二乘二的行列式
第一列都是一样的
都是我们上面这个两行表的
这个第一列a0 an
而第二列 所对应的第二列
实际上就是从右往左开始
顺次选取一列放到这
刚才我们已经把这个选完了
然后再往左边选一列
我放到b2这里面
得到了这个二乘二的行列式
就是b2
所以这样一直做下去
一直做到我们取到这一列
取到这一列
就是a0 an对应a1 an-1
得到这个行列式就是bn-1
那这样的话实际上已经不用算了
因为我们知道
那如果这一列再往左边取的话
这就是a0 an了
就是和左边这个一样
对应行列式就是0了
0我们就不写到这
所以这样我们可以看到
如果特征方程的次数是n的话
那么第一行这个表的这个列数
就是n+1
但是到了第三行它的列数就变成了n
比第一行和第二行少了一列
那么第四列和一二列关系一样
就是说我们只要把第三列列出来了
然后把第三列的这个元素
把它逆序排列
就是说这边最右边的放到最左边
最左边的放到最右边
逆序排列就得到第四行
那么可以按照这个规律
我们继续往下画表
可以画到第五第六行表
而计算第五第六行元素的这个规则
和我们上面的规则一样
只不过我们用了元素
是第三第四行的这个数值
所以这样顺次下来的话
我们可以看到
那我们可以画三四行
五六行 七八行
然后每一行的元素列数
个数是逐次减一
就这样我们可以逐渐地逐渐地
最后我们什么时候
当这个列数缩减到3的时候
我们就停止
而这个时候
我们把它所对应的
这两行的元素叫做r0 r1 r2
以及它的逆序排列r2 r1 r0
那我们的Jury稳定性判据
可以这样表述
那么这个稳定性判据
可以在他的1982年的专著里面
可以找得到
那么这个充分必要条件包含两个部分
就是说如果这个系统是渐近稳定的
当且仅且 第一就是说如果z取1的时候
也就是在这里面z取1的时候
也就是所有这些系数的和
它应该是大于0的
第二个如果z取-1的时候
我们把这个z等于-1代进去以后
前面再乘以(-1)^n
那这个时候也应该是大于0的
那如果这两个有一个不满足
这个系统一定不是渐近稳定的
好 那如果这两个稳定
而且还有下面这个条件
就是我们看这个表的第一列
大家注意这个判据和劳斯判据有点像
都是把这个表画完以后
就看这个表第一列
那如果在这个表的第一列
头两行an是大于a0的
因为我们在这里面总是假设an
第一项系数是正的
如果an是大于a0的
大家注意这个a0是取模
就是说an是大于a0的绝对值的话
这是第一个
然后往下的这些三四行五六行
一直到最后两行
那么它们的关系
如果满足b0的模 大于bn-1的模
或者一直到r0的模
大于r2的模
就是每两行之间的关系
都满足这个关系的话
那么这个系统一定是渐近稳定的
所以这就是Jury稳定性判据
我们通过画这样一个
这个表的话
然后通过两个两个元素的逐次比较
最后得到稳定性的判定条件
我们来看一个具体的例子
如果我们现在有一个四阶的控制系统
那它的特征多项式是这样一个
那么如果这是一个s函数
我们首先就可以看到
这个系统一定是不稳定的
因为我们知道
如果这是一个s的多项式的话
只要有一个系数是小于0的
这个系统一定是不稳定的
但是对于脉冲传递函数
这个是不一定的
我们是要通过Jury判据
来判断这个系统的稳定性
我画出它对应的这个Jury表
就是首先先把这个系数
从低次到高次逐渐排列
从-0.08开始到0.3
到0.07到-1.2到1开始
然后第二行是逆序排列
然后我算第三行的时候
是取第一列和最后一列
取这两列作为一个二乘二的行列式
得出来这个数值
放在第三行的第一列
取第一列和倒数第二列
所对应的这个二次方的行列式
算出来的数值
放在b1这个位置
依此类推我们算出来
第三行有四个非零的元素
那么这四个非零元素
我逆序排列就形成第四行
就这样一直算下去
实际上只需要算两次
我们得到第五第六行
而这两行只包含三个元素
我们就可以来判断一下这个系统
是不是渐近稳定了
那么首先我们来看一下第一个
我们知道根据Jury稳定判据
这个数应该大于这个数的绝对值
就是an应该大于a0的绝对值
这个是满足的
然后在这里面我们要看到
b0应该是大于bn-1的绝对值
我们说的是绝对值
不考虑前面的这个负号
那我们首先可以看到
这个也是满足的
第三个最后的这个
上面的这个元素的绝对值
要大于下面这个元素的绝对值
所以这个条件是满足的
当然我们还要满足φ(1)大于0
以及(-1)^4φ(-1)也是大于0
而这两个条件我们很容易验证
也是满足的
因此我们最后可以得到结论
这个系统是渐近稳定的
那么这个系统的渐近稳定性
我们可以通过上述的类似于
劳斯判据的这种代数判据
来进行判断
我们也可以通过其他的方法
来进行判断
比如说如果这个系统的传递函数中
有一个未知参数
那么我们也可以类似地画出
这个系统所对应的根轨迹
而通过根轨迹的方法
来判断这个系统的闭环系统的稳定性
比如说我们有这样一个控制系统
那么控制对象的传递函数
是K/(s(s+1))
其中这个K的参数
我们现在不确定
我们来看一下它所对应的
这种采样控制系统的稳定性是什么样的
好 首先这个开环脉冲传递函数
我们可以求出来呢 GF(z)
因为这里面我们通过前面的推导
我们算闭环系统的脉冲传递函数的时候
开环脉冲传递函数
应该是这两个先乘在一起
然后再统一求对应的z传递函数
所以这个我们具体的求导过程
就不细讲了
如果让采样周期等于1
F(s)等于1的话
它对应的脉冲传递函数
就应该是这个样子
它对应于z有两个极点
一个在1 一个在0.368
z还有一个零点等于0
所以说我们就可以写出
这样一个闭环系统的特征方程
那么闭环以后这个特征方程
实际上就等于分母的多项式
加上分子的多项式
我们把它整理一下
可以求出这个系统的两个特征根
而这两个特征根是K的函数
那么从这个表达式里面
首先我们可以看到
因为这一项里面
那么这个二次多项式的常数项
是一个常数
而这一次项的系数
是随着K变化的
这一项表示什么意思
因为我们知道
了解二次多项式的话我们都知道
那么这一项
实际上就是这两个特征根的乘积
也就是说两个特征根的乘积
一定是0.368
而这个数是小于1的
但这个小于1并不意味着
两个特征根都是小于1
都是小于1
因为有可能一个小于1一个大于1
它的乘积还是小于1的
那我们来看一下
什么时候这两个特征根
会出现有一个特征根大于1
而这种情况就对应于系统
可能会失去稳定
好 那么根据特征方程
我们去可以把就是这个特征根
把它写成K的函数
那么通过这个函数呢
把根轨迹画出来
那画出来其实就是这样子
我们一方面可以去把这个根的表达式
解析地求出来
根据表达式去画
那其实我们如果熟悉了
这个根轨迹的话
实际上大家可以看到
其实我们画这个根轨迹的方法
和前面求s传递函数的根轨迹方法
实际上没什么区别
因为数学上实际上都是一样的
那所以我们最后画根轨迹
实际上也是一样
因为我们知道两个极点以后
一个极点在1
一个极点在0.368
然后一个零点在原点
我们就知道了这个根轨迹
一定是从两个极点出发
然后一支终结于这个零点
一支往无穷走
而且在这儿有一个会合
然后分离的点
这是和我们前面学习的实际上是一样的
画的方法是一样的
那我们可以看到
但是我们利用画根轨迹的这个形状
方法是一样的
但是利用这个根轨迹
判断系统稳定性的原则是不一样的
我们画s平面上根轨迹的时候
这个系统稳定不稳定
是看这个根轨迹有没有一些分支
是跑到这个s平面的右半平面
那在z平面上看这个稳定性
我们就要根据刚才的稳定域来看
就是要看这个根轨迹
是不是有些分支
会跑到单位圆的外面
这是我们判断
一个采样控制系统稳定性的
一个不一样的地方
好 那么从这个图上我们可以看到
那么在K比较小的时候
这些根轨迹的部分
都是在单位圆里面
但是当K增大到一定程度的时候
有一个分支会往无穷远走
从而会穿过单位圆
跑到单位圆外面
那这对应着这个时候
闭环系统是不稳定的
那么它对应的K是多少呢
很简单
我们只要看一下
这个特征根z等于1的时候
对应的K是多少就可以了
所以说这时候z等于1
应该是这个方程的解
我们把它代进去
就可以得到对应的K等于4.329
所以说这个时候K大于4.239的时候
系统是不稳定的
那从这个结论实际上我们可以看到
采样系统和连续时间控制系统
有一个非常大的区别
也就是说这个时候如果我们这个系统里面
没有采样开关
实际上我们可以验证
这时候控制对象的传递函数
就是K/(s(s+1))
那这个系统我们很容易验证
只要K大于0
不管K多大
这个闭环系统始终是稳定的
但是只要有了这个采样开关
经过采样以后
我们通过刚才的判断
K大到一定程度以后
这个系统可以变成不稳定的
因此连续系统和采样系统
我们尽管这个控制对象是一样的
但是有采样开关和没有采样开关的
会引起稳定性的变化
刚才我们分析了一个采样控制系统
闭环系统稳定性和增益的关系
下面我们再来看一下
这个闭环系统稳定性和采样周期
有什么关系
这里面我们假设这个控制对象
这个增益已经确定了
这个传递函数就是1/(s(s+1))
那么前面这儿串联进
一个采样开关
它的周期是T
然后之后还有一个零阶保持器
那么我们可以求出对应的
这个开环的脉冲传递函数
就是它的s传递函数
乘以它的s传递函数
我们再做z变换
就可以得到这个表达式
好 那这个表达式
对应的这个闭环系统特征方程
我们同样也可以求出来
就是这个分母的多项式
加上分子的多项式
根据这个闭环系统的
这个脉冲传递函数表达式
我们求出来这个对应的特征方程
那通过这个特征方程
我们可以把特征根
去表示成采样周期T的函数
那从而我们可以去画出
那么这个z的特征根
随着T的变化而变化的这样一个轨迹
首先我们可以看到
就是当T等于0的时候
那这个常数项变成1
那这一项变成2
也就是说变成了z^2+2z+1
这样一个
所以当T等于0的时候
z有两个重根-1
所以它的根轨迹是从-1这开始
而且有两个重根
所以一开始从这个点
同时有两支分支出来
然后最后经过一个会合再分离
在实轴上结束
但是这个根轨迹的画法
和我们前面画根轨迹有些不一样
因为这个时候
大家可以看这个特征多项式
已经不再是这个根轨迹参数
T的线性函数了
这里面还有一个非线系数e^(-T)
所以说我们在画根轨迹的
那样一些基本的原则的话
已经发生了变化
但是好在这个系统
只是一个简单的二阶系统
我们可以把这个特征根
写成一个解析的关于T的函数
所以我还是可以把这个根轨迹画出来的
画出来以后我们就可以发现
和刚才的这个根轨迹有一点类似
就是说当K比较小的时候
这个根轨迹的部分
都是在单位圆里面
但是K大到一定程度的时候
有一个分支会穿过单位圆
跑到负无穷远
而穿过单位圆的这个临界点呢
我们很容易也可以求出来
它对应于T等于3.922
也就是说当采样比较快的时候
这个系统还是稳定的
但是当这个采样速率慢到一定程度
也就是对应的采样周期
大到一定程度的时候
这个系统会失去稳定
好 我们这节课就到这里
-绪论
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-z-变换--作业
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-脉冲传递函数（二）：求脉冲传递函数的一般方法
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-第十二周：采样系统--脉冲传递函数（二）：求脉冲传递函数的一般方法
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