当前课程知识点：自动控制理论（1） > 第三周：线性系统时域分析（一） > 稳定的Liapunov定义 > 视频
从前面的讲解中
我们对稳定性有了一些感性的认识
但是接下来
我们要对稳定性给予它一个严格的定义
只有严格的定义
我们才能展开后面的讨论
在介绍稳定性定义之前
我们先补充一点数学知识
我们知道我们的对象
都可以表示为一个微分方程
同时这个微分方程呢
可以变成一个微分方程组
我们只需要引入一些辅助变量
具体而言我们把这个变量的导数
分别设成不同的一个变量
具体而言我们让x1等于x
x2等于x的一阶导数
x3等于x的二阶导数
这样变化以后呢
我们把这微分方程就变成了一个
关于新的x1 x2 x3的一个方程组
写成矩阵的形式就得到这样一个表达式
为什么要做这样的变换呢
因为我们可以把系统的整个变化
用一个高阶的状态向量来表达
所以系统的变化
就是对应着状态向量
在高维空间的运动轨迹来描述
有了这样一个数学准备
我们就可以引入一个
在控制领域中非常重要的
关于稳定性的定义
我们称为Liapunov稳定性定义
我先把这个定义的原文念一遍
针对这样一个微分方程组
如果一个关于X的微分方程组
在初始条件X(t0)=X0下
有解X(t)
且对于任意给定的正数ε>0
总存在一个正数δ
当初始条件X0变为X~0时
只要X~0到X0的距离小于δ
其相应的解X~
在t>t0的任何时刻
都满足X~(t)到X(t)的距离小于ε
则称解X(t)是稳定的
如果不存在这样的正数δ
则称解X(t)是不稳定的
这是一个较为严谨的表达方式
那我们结合图来解释一下
这个Liapunov稳定性定义的含义是什么
我们这里可以看到
这是一个在运动空间中的一个表达式
我们把它简化到了一个平面上来
假设初始的工作点是x0
初始的点是x0
那么对于x0就会产生一个运动的轨迹
我们称为x(t)
那么只要另外一个方程的初始解
到x0的距离小于δ
也就是在x0以δ为半径圆的范围之内
那么这样一个新的初始点
所对应的这个新的一个运动轨迹
我们称为x~
这个x~始终处在
一个x(t)周围的一个管道内
或者一个范围内
这个范围是用ε来度量
或者我们可以更简要地来说一下
只要我们控制住输入值
只要输入的偏差小于某一个值
那么它的整个输出的运动轨迹
都会小于某一个相对于
初始运动轨迹的一个范围内
只要满足这样的条件
那么这个系统呢
我们就成为Liapunov稳定
如果这个初始值的偏差呢
δ可以任意大的话
也就是说任意的初始状态点
都保持着稳定
那么我们称为这是一个大范围稳定
如果这个系统不仅是稳定的
而且存在着这样一个δ
使得x~(t)在运动过程中
不仅仅在它的这个周围的范围之内
而且能够不断地接近初始的x(t)
最终可以化为一体
那么这样的系统
我们称为是渐近稳定系统
在这里需要补充一句的是渐近稳定
从名字上听起来好像是一个松的条件
但事实上我们可以发现
渐近稳定是比稳定更严格的条件
因为它不仅要求输出在某一个范围内
而且要求输出能够不断接近
我们初始值x0点所对应的运动轨迹
在工程上我们总是希望
系统是大范围渐近稳定的
Liapunov稳定性判据
是由俄罗斯科学家李亚普诺夫所提出的
李亚普诺夫不仅提出了稳定性的判据
而且也给出了相应的一些判断的方法
李亚普诺夫在给定稳定性判据的时候呢
不仅针对线性系统
而且也针对了非线性系统
在这里我们首先介绍
Liapunov第一方法
Liapunov第一方法是针对
含有非线性环节的系统的一个判据
但是在做这样的判据中呢
它首先针对的是把非线性环节
做了线性化以后的一个情况
下面我把Liapunov第一方法的
一些基本内容先念一遍
第一点 若线性化系统
特征方程的所有根均为负实数
或实部为负的复数
则原系统的运动不但是稳定的
而且是渐近稳定的
线性化过程中
被忽略的高于一阶的项
也不会使运动变成不稳定
第二点 若线性化后
系统特征方程的诸根中
只要有一个为正实数
或者实部为正的复数
则原系统的运动是不稳定的
被忽略的高于一阶的项
也不会使运动变成稳定
第三点 若线性化后
系统特征方程的根中
有一些是实部为零的
而其余均具有负实部
则实际系统运动的稳定与否
与被忽略的高阶项有关
这种情况下
不可能按照线性化后的方程
来判断原系统的运动稳定性
若要分析原系统的运动稳定性
必须分析原系统的非线性数学模型
我们再总结一下
根据Liapunov第一方法
如果一个系统在线性化以后
它的所有的根都是负实部的
那就意味着系统是稳定而且渐近稳定
如果只要有一个
它的根是正实数或者实部为正的复数
那么系统就是不稳定
但如果出现等于零的情况
那么我们就要看其他的根
是什么分布
如果其余的根是具有负实部
则系统稳定性会与高阶项相关
统一而言这种情况
我们就无法准确地判断它的稳定性了
我们还是要回到
原来的非线性方程来进行判断
严格的说Liapunov第一方法
只适用于无穷小范围内
因为它是在对原系统
做线性化以后来做的
而线性化只在
一个无穷小的范围内是成立的
接下来我们给一个很小的例子
我们来看一下这个系统的稳定性
它的一些变化情况
一个开环不稳定系统
在闭环以后可能会变成稳定
先看开环情况下
我们这个对象的传递函数
它的分母中包含了
一个实部为正实数的根
也就是s-1
意味着它有一个根是1
意味着这样一个对象本身
是一个不稳定的
如果我们加上一个反馈
一个简单的一个负反馈的话
我们重新来算
整个系统闭环以后的传递函数
我们得到新的闭环传递函数呢
等于5/(s^2+s+3)
它的极点也就是
分母多项式的这个根
就变为(-1±i√11)/2
由于两个根的实部都是负数
所以新的传递函数是变成了稳定
从这个小例子中
我们可以看出通过反馈
可以把一个本来开环是不稳定的系统
闭环以后变成了稳定系统
这也进一步体现了反馈的
它的重要的作用
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-第十二周：采样系统--脉冲传递函数（二）：求脉冲传递函数的一般方法
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