当前课程知识点：自动控制理论（1） > 第十一周 非线性系统分析（二） > 线性系统的相平面分析 > Video
同学们好
下面我们来学习线性系统的相平面分析
那么我们通过前面的学习已经掌握了
如何对一个非线性系统去绘制它的相轨迹
以及去分析相轨迹在普通点附近的行为
以及在奇点附近的行为
那我们如何利用这些信息
对这个系统的整体行为或整体性质
包括它的稳定性
包括它的动态性能去进行分析
下面我们先通过
我们大家比较熟悉的一类系统
也就是线性系统进行分析
那我们为什么要从线性系统开始呢
实际上它跟非线性系统也是有关系的
因为我们经常碰到的一些非线性系统
它整体看来是一个非线性系统
但是如果我们只是在相平面的某些区域看
它在这个区域上
它可能就是一个线性系统
只不过我们换到另外一个区域上
它可能变成另外一个线性系统
所以这些非线性系统
它可能会表现出所谓的分片线性的特征
所以说我们只要对这些
不同的线性系统的性质
有了非常深刻的了解
那我们对整体的
非线性系统分析就有了线索
我们只需要把这些不同的线性系统的性质
把它结合起来就可以得到
关于这个非线性系统的整体的特征
好
这样一些分片线性的非线性系统的例子
比如说这样
比如说有这样一个非线性系统
那么这个非线性系统
它可能比如说当x大于零的时候
这个方程的右边等于1
x小于零的时候
这个方程的右边是等于负1
所以说它实际上
就是由两个线性系统组成的
只不过在相平面的左半平面
这个系统是一个线性系统
在右边平面是另外一个系统
所以对这样一个系统
我们可以把相平面分成两个区域
在一个区域用一个方程描述
另外一个区域用另外一个方程描述
所以说为了
对这个系统的整体性质有所了解
我们首先要把局部的性质先搞清楚
首先我们来结合一个
大家比较熟悉的线性系统
比如说有这样一个开环传递为二阶系统的
这样一个单位的闭环返回控制系统
那么这个闭环系统输出的基本的方程
大家可以很容易列出来
就是如果我们看
从R到输出函数C的传递函数的话
我们可以很容易的写出它的传递函数
就是这个样子
那这个样子我们又可以把
这个传递关系变成微分方程
就说我们把这个分母函数乘到左边
那就ts平方加上x加上k括起来乘以C
我们知道s表示微分
s平方表二阶微分二次微分
所以我们很容易就可以写出来
它应该等于T的c的两阶导数
再乘以c的一阶导数
再加上Kc等于Kr
那同样道理
我们也可以写出
r到这个误差函数的传递函数
是这个样子
那从这个方程我们也可以
把它变成一个微分方程
同样的道理
变成这样一个微分方程
好 那有了这样一个微分方程
我们就可以从这些微分方程出发
研究系统的动力学特性研究它的相轨迹
那我们知道相轨迹
实际上是一个普遍的概念
那这个相轨迹的概念
对于一个具体的系统而言
或者说对这样一个
有输入有输出的系统而言呢
相轨迹的形状是跟它的输入是有关系的
如果输入是一个阶跃信号呢
我们可以得到相轨迹
但是如果输入变成一个斜坡信号
那相轨迹就会发生变化
所以我们要研究这个系统的相轨迹
首先我们要选定它的输入
比如说我们这可以选择阶跃信号
如果输入是阶跃的话
我们可以知道rt在t大于零的时候
它是一个常数值
比如说它的幅值就是r
那在这个时候由于它是一个常数信号
所以它的导数
一阶导数二阶导数都等于零
那把这个关系带到
我们误差所满足的方程里边
那就是方程的右边
都是r的一阶导数和二阶导数
所以方程右边等于零
我们再来看一下误差信号的初值
我们知道一开始r的初值实际上就是r
但是y的初值一开始还没有来得及变化
它还保持在零
所以一开始误差信号初值是r
我们同样道理也可以推出来
误差信号导数的初值是零
首先我们把这个关系带出来
我们就可以知道了这个变量的初值
知道它所满足的微分方程
我们就可以用相平面的方法去研究相轨迹
我们知道研究这个系统的相轨迹的时候
它一方面和r有关系
而且什么函数它会影响相轨迹形状
另一方面也会
也跟我们相变量的选取有关系
比如说在这个系统里边
我们可以选择误差信号
以及误差信号的导数作为这个相变量
那我们从另外一个角度
也可以选择输出函数
比如说我让输出函数
以及输出函数导数作为相变量
那这时候我们得到的相轨迹
就是另外一种相轨迹
那这两组相轨迹是不一样的
但是我们在这只以误差信号为例
输出信号我们不单做研究
要是大家感兴趣的话可以单独去计算一下
实际上最后有些性质其实还是共通的
好 我们来看一下对于这样一个系统
我们得到这样一个二阶的微分方程
我们可以把它先变成一阶的常微分方程组
那这个奇点我们很容易可以算出来
让方程的右边都等于零就是x2等于零
x2等于零以后如果让这个等于零的话
x1也等于零
所以奇点是原点
奇点是原来的话
对应的特征方程呢
实际上我们可以从这二阶方程
直接把它的特征方程写出来
写出来以后
我们可以算出来
那么这个特征方程
它所对应的这两个根的判别式
也就说我们这个
二次多项式的这个判别式写出来
如果判别式小于零
那这个方程就对应有一对共轭复根
那这对共轭复根在副平面的左半平面
所以这样一个奇点
它实际上对应一个稳定的焦点
就说这样的根轨迹
实际上是这个受奇点吸引
它是螺旋的逐渐收缩的趋近于这个原点
好
那我们再来看一下判别式大于零的情况
如果判别式大于零
我们看这个特征方程
它的特征跟实际上
是两个小于零的复实数
那么这个奇点它所对应的奇点
我们通过前面学习知道
它对应一个稳定的节点
也就说所有的相轨迹
都是一个单调衰减的趋近于这
就是从相平面任何一个地方开始
都是单调的衰减的趋近于这个奇点
而且趋近于奇点的方向
是沿着斜率比较小的这条渐近线
我们再来看一下如果输入函数
是一个不同的函数
比如说现在输入函数
从一个阶跃的函数
变成一个斜坡函数
也就说rt等于Vt加上R
它是t的线性函数
我们再来计算一下
rt的导数就不在是零而是V
但是rt的二阶导数还是零
我们带到误差方程里面
在这里面和原来阶跃响应
所对应的方程不一样
这个右边不在是零
而是多了一个常数项目V
它是跟斜坡输入的
这信号的变化速度有关系
那初值也会相应的发生变化
那么误差信号的初值的这个误差还是R
但是它的速度的初值误差就变成V
我们把所有这些信息带进去
写出它所对应的这样一个
二元的一次微分方程组
我们可以看到在这里边会多了一个常数项
这个常数项会带来奇点的位置的变化
和刚才不一样
刚才我们解出来这个奇点在原点
而这个奇点它是在原点的右边
我们再来看一下
它这个系统所对应的特征方程
那么因为尽管这边多了一个常数项
那特征方程和原来还是一样的
所以说我们还是分两种情况
一种是当这个特征方程
所对应的判别式小于零的时候
对应于两个稳定的但是共轭的复根
所以这是一个稳定的系统
那这个系统的相轨迹会从这个初值出发
它沿着一个逐渐收缩的这样一个相轨迹
最后收缩于我们所求的这个奇点
V除以K零这个位置
如果这个判别式是大于零
同样道理这还是一个稳定的节点
只不过这个节点的位置
不是在原点
而是在我们求得的v除以k这个位置
而且它向奇点收缩的斜率
这个渐近线的方向也还是一样的
我们再来看另外一个例子
这个例子对应一个
这个奇点不是孤立奇点的例子
我们前面实际上碰到过这种例子
假如说这个系统满足这样一个
二阶的这个微分方程
这个p是一个常数
我们看一下这个相平面方程
实际上对应我们就像
我们按照前面的这个分析方法改写一下
得到这个相轨迹上的相轨线
所满足斜率所满足的方程
那这个方程告诉我们什么呢
我们来看一下
首先我们看一个比较简单的情况
如果这个参数p如果等于0
等于0的话我们可以看到
这如果等于0的话
这个分子和分母的一点就消掉了
所以在这个方程的右边
就变成了负t分之一
那么负t分之一的话就告诉我们
这样一个系统所有的相轨线
在这个相轨线它这个地方的切线来说
如果它不是奇点
如果它不是奇点的话
那么所有的相轨线
它的切线它的斜率都是负t分之一
那什么样的相轨线满足这样的性质呢
那就实际上是这样
这些相轨线就是
这样一些斜率为负t分之一的直线
由于所有相轨线斜率都是一样的
所以呢这样相轨线
是一些相互平行的轨线
当然这个关系在有些地方不一定成立的
也就是在奇点的地方不成立
那什么点是奇点呢
就是所有一点等于0的点
也就是说这个相平面的横轴
都是我们的奇点
所以从这个信息上我们可以画出来
横轴上的点所有点都是奇点
那从横轴以外的任何一点出发
我们都会沿着这样一条
以斜率为负t分之一的直线
最后会终止于我们的其中一个奇点
这个奇点在它和实轴的交差点上
那么如果p不等于0
那这个斜率为常数的关系
就不再存在了
也就是说这时候斜率就和
这个相平面上的这个点的位置有关系了
也就是说这时候相轨迹
它可能是一个弯曲的曲线
那这个弯曲曲线我们可以用等倾线的办法
就假如说我们让这个等于α
α表示这个相轨迹在这个地方曲线的斜率
我们把它解出来以后
把e的时间导数表示成α和e的函数
由于这里面不包含e
所以它实际上只是一个α函数
那这也告诉我们
实际上这个等倾线对应于什么呢
就是对应于e的时间导数
为常数的这样一条线
因为这个函数跟e没有关系
所以等倾线实际上就是一些
平行于横轴的一条直线 一些直线
那么这些平行线
随着离横轴的距离的远近代表了
穿过这些点的切线的斜率是不一样的
所以说我们把这个画出来
就得到这个样子
那么这个相轨迹首先有一条线比较特殊
就是说大家可以看到从这可以看到
就是说如果有一条相轨迹是一条渐近线
也就是说当这个相轨迹走到比较远的时候
这个e点不再变化就变成常数了
那我们从这个方程里面可以看出来
e一点变成常数
也就意味着e的两点等于0
所以e的一点应该是等于p
那这就告诉我们什么呢
就是说如果从这条直线上出发的话
从这条水平线出发的话
那这条相轨线会一直是一条水平线
而所有其他的线都会
渐近的去往这条水平线趋近
所以这些相轨迹是有这样一条渐近线的
所有的相轨线这个趋势
我们可以通过等倾线的连线去画出来
比如说我们在这去画这条等倾线的时候
这个等倾线对应于切线的斜率
大概在这个位置
到这个地方切线斜率就变成这个位置
所以我们画几条等倾线出来以后
我们就可以把这个趋势描述出来
那么如果p小于0
那么这个渐近线就会在下面
因为它的渐近线是对应于
e一点等于p的这样一条水平直线
那这时候相轨迹就又对应成这个样子
大家通过等倾线的方法
不难把这相轨迹的走势把它画出来
那么这样我们就对线性系统的
相平面分析有了一定的了解
那么这些知识对于我们以后分析一些
分片线性非线性系统
实际上是非常有帮助的
好 我们这节课就到这里
-绪论
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-拉普拉斯变换定义及性质（一）
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-拉普拉斯变换定义及性质（一）--作业
-拉普拉斯变换定义及性质（二）
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-拉普拉斯变换定义及性质（二）--作业
-卷积定义、定理及性质
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-卷积定义、定理及性质--作业
-拉普拉斯逆变换及应用（一）：拉普拉斯逆变换定义
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-拉普拉斯逆变换及应用（一）：拉普拉斯逆变换定义--作业
-拉普拉斯逆变换及应用（二）：拉普拉斯逆变换应用
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-拉普拉斯逆变换及应用（二）：拉普拉斯逆变换应用--作业
-控制的基本概念
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-控制的基本概念--作业
-控制系统的微分方程描述（一）
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-控制系统的微分方程描述（一）--作业
-控制系统的微分方程描述（二）
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-控制系统的微分方程描述（二）--作业
-控制系统的传递函数描述（一）：Laplace变换知识回顾
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-控制系统的传递函数描述（一）：Laplace变换知识回顾--作业
-控制系统的传递函数描述（二）：控制系统的传递函数描述
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-控制系统的传递函数描述（二）：控制系统的传递函数描述--作业
-框图及其变换（一）：传递函数框图定义及连接方式
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-框图及其变换（一）：传递函数框图定义及连接方式--作业
-框图及其变换（二）：传递函数框图变换
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-第二周：控制系统的概念及数学模型--框图及其变换（二）：传递函数框图变换
-信号流图
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-信号流图--作业
-控制系统的基本单元
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-控制系统的基本单元--作业
-非线性单元的线性化
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-第二周：控制系统的概念及数学模型--非线性单元的线性化
-稳定性
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-第三周：线性系统时域分析（一）--稳定性
-稳定的Liapunov定义
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-稳定的Liapunov定义--作业
-稳定性的代数判据（一）：Routh判据
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-稳定性的代数判据（一）：Routh判据--作业
-稳定性的代数判据（二）：系统稳定的必要条件
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-稳定性的代数判据（二）：系统稳定的必要条件--作业
-参数稳定性，参数稳定域
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-参数稳定性，参数稳定域--作业
-静态误差（一）：误差和静态误差定义
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-第四周：线性系统时域分析（二）--静态误差（一）：误差和静态误差定义
-静态误差（二）：静态误差与输入
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-静态误差（三）：静态误差的计算
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-静态误差（三）：静态误差的计算--作业
-静态误差（四）：系统类型与静态误差的关系
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-静态误差（四）：系统类型与静态误差的关系--作业
-静态误差（五）：静态误差的物理和理论解释
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-静态误差（六）：扰动引起的静态误差
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-静态误差（六）：扰动引起的静态误差--作业
-动态性能指标
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-动态性能指标--作业
-高阶系统动态性能的二阶近似
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-高阶系统动态性能的二阶近似--作业
-控制系统的校正
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-控制系统的校正--作业
-频率特性引言
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-频率特性引言--作业
-Fourier变换
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-第五周：频率响应法（一）--Fourier变换
-频率特性函数
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-频率特性函数--作业
-频率特性的图像
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-频率特性的图像--作业
-基本环节的频率特性
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-基本环节的频率特性--作业
-复杂频率特性的绘制（一）
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-复杂频率特性的绘制（一）--作业
-复杂频率特性的绘制（二）
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-复杂频率特性的绘制（二）--作业
-复杂频率特性的绘制（三）
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-第五周：频率响应法（一）--复杂频率特性的绘制（三）
-闭环频率特性
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-闭环频率特性--作业
-Nyquist稳定判据（一）
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-Nyquist稳定判据（一）--作业
-Nyquist稳定判据（二）
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-第六周：频率响应法（二）--Nyquist稳定判据（二）
-Nyquist稳定判据（三）
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-第六周：频率响应法（二）--Nyquist稳定判据（三）
-相对稳定性（稳定裕量）
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-相对稳定性（稳定裕量）--作业
-从开环频率特性研究闭环系统性能
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-从开环频率特性研究闭环系统性能--作业
-基于频率特性的控制器设计思路
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-根轨迹方法简介
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-根轨迹方法简介--作业
-根轨迹条件
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-根轨迹条件--作业
-根轨迹性质
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-根轨迹性质--作业
-根轨迹的图像
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-根轨迹的图像--作业
-条件稳定系统
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-条件稳定系统--作业
-零极点对根轨迹的影响
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-零极点对根轨迹的影响--作业
-参数根轨迹和根轨迹族
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-第七周：根轨迹方法--参数根轨迹和根轨迹族
-延时系统的根轨迹
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-延时系统的根轨迹--作业
-补根轨迹与全根轨迹
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-补根轨迹与全根轨迹--作业
-校正问题及其实现方式
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-校正问题及其实现方式--作业
-校正装置的设计方法
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-校正装置的设计方法--作业
-超前校正装置的特性
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-超前校正装置的特性--作业
-基于根轨迹法设计超前校正装置
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-基于根轨迹法设计超前校正装置--作业
-基于Bode图设计超前校正装置
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-基于Bode图设计超前校正装置--作业
-滞后校正装置的特性
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-滞后校正装置的特性--作业
-基于根轨迹法设计滞后校正装置
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-基于根轨迹法设计滞后校正装置--作业
-基于Bode 图设计滞后校正装置
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-基于Bode 图设计滞后校正装置--作业
-超前-滞后校正装置的特性
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-超前-滞后校正装置的特性--作业
-基于根轨迹法设计超前-滞后校正
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-基于根轨迹法设计超前-滞后校正--作业
-基于Bode图设计超前-滞后校正
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-基于Bode图设计超前-滞后校正--作业
-开环系统的期望频率特性
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-开环系统的期望频率特性--作业
-反馈校正
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-第九周 系统校正（二）--反馈校正
-直线倒立摆控制系统实验
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-非线性系统概述
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-第十周 非线性系统分析（一）--非线性系统概述
-非线性系统的典型动力学特征
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-非线性系统的典型动力学特征--作业
-描述函数法定义
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-描述函数法定义--作业
-描述函数法求取
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-描述函数法求取--作业
-基于描述函数的稳定性分析
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-第十周 非线性系统分析（一）--基于描述函数的稳定性分析
-非线性系统自持振荡的分析
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-第十周 非线性系统分析（一）--非线性系统自持振荡的分析
-相平面与相轨迹
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-相平面与相轨迹--作业
-相轨迹的绘制方法
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-相轨迹的绘制方法--作业
-奇点
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-奇点--作业
-线性系统的相平面分析
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-线性系统的相平面分析--作业
-非线性系统的相平面分析
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-非线性系统的相平面分析--作业
-极限环及其产生条件
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-第十一周 非线性系统分析（二）--极限环及其产生条件
-非线性系统分析小结
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-非线性系统分析小结--作业
-采样控制系统概述
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-采样控制系统概述--作业
-脉冲采样与理想采样
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--采样系统
-脉冲采样与理想采样--作业
-采样定理
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-采样定理--作业
-零阶保持器
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-零阶保持器--作业
-z-变换
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-z-变换--作业
-脉冲传递函数（一）
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-第十二周：采样系统--脉冲传递函数（一）
-脉冲传递函数（二）：求脉冲传递函数的一般方法
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-第十二周：采样系统--脉冲传递函数（二）：求脉冲传递函数的一般方法
-z-平面上采样系统的稳定性分析
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-z-平面上采样系统的稳定性分析--作业
-w-平面上采样系统的稳定性分析
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-w-平面上采样系统的稳定性分析--作业
-采样控制系统的时域分析
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-采样控制系统的时域分析--作业
-修正的z-变换
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-修正的z-变换--作业
-考试环节--期末考试
-考试环节--期中考试
