当前课程知识点：自动控制理论（1） > 第十周 非线性系统分析（一） > 基于描述函数的稳定性分析 > Video
同学们好 下面我们来研究一下
怎么样利用描述函数
分析一个非线性系统的稳定性
我们前面看到描述函数
是用来描述这样一类系统
就是说这个系统里面
我们控制对象是非线性的
但是在这个系统的前向通路里边
可能会有一个静态的非线性环节
对于这样一类系统
如果控制对象本身它具有低通特性
这个时候非线性系统的
输出里面的高频分量
就不会影响整个闭环系统的输入输出特性
所以这个时候系统传递的信号
就集中在低频段
从而这样一个系统就可以把非线性环节
近似的用一个线性环节来进行描述
而这个线性环节它的输入输出的特性
就用这样一个描述函数 N(X)来描述
而控制对象本身的输入输出特性
就由它的频率响应特性来进行描述
我们来看一下对这样一类系统
我们怎么样来分析闭环系统稳定性
也就是说当我们知道了
控制对象的频率响应特性
以及非线性环节的这个描述函数以后
我们怎么样根据它的特点
去分析闭环系统的稳定性
好 我们来看一下
这个时候的闭环系统的传递函数
因为这时候N(X)实际上就相当于
一个线性系统 相当于一个线性系统
那么我写它的传递函数的时候
这个开环传递函数
实际上就是这两部分的乘积
就是NX乘以Gp(jω)
所以我写出来以后就是闭环传递函数
就是开环传递函数
除以1加上开环传递函数
因此我去写它的闭环特征方程的时候
就是让分母等于0
1加上N(X)乘以Gps等于0
所以利用这样一个特征方程
我们实际上就可以回到
我们前面用Nyquist曲线
去分析闭环系统稳定性
也就是说我如果去考虑
这样一个开环传递函数的话
如果是一个线性系统
那么它的极坐标的频率特性就是Gp(jω)
如何让ω从负无穷变化到正无穷
然后把Gp(jω)这个复数变量画到复平面上
就形成一条极坐标曲线
也就是我们所说的Nyquist曲线
如果加入这样一个非线性环节N(X)以后
那么这个等效的线性系统
那么N(X)乘以Gp(jω)
我们也可以画出
这样一条极坐标的频率特性
也就是说我给定一个输入的幅值X
当X确定以后
我去变化ω从负无穷到正无穷
也可以画出这样一条Nyquist曲线
我们看这条Nyquist曲线
和这个复平面上负1的依赖关系
这是我们前面学过的Nyquist的判据
如果这条Nyquist曲线绕着负1这个点
它转的圈数等于N的话
那么N一定是有这个关系
就是它等于z 就是p0
那么z是什么呢
z就是这个闭环系统不稳定极点的个数
p0就是开环系统
就是原来这个控制对象Gp本身
这个控制对象传递函数里面
包含着不稳定极点的个数
所以我们如果知道了原来的控制对象
它有多少不稳定极点
然后我们又能够知道Nyquist曲线
它绕负1轴转了多少圈
从这个关系我们就能够推出来
闭环系统它有多少不稳定极点
只要这个不稳定的极点的个数大于等于1
闭环系统就一定是不稳定的
所以这是我们前面学过的Nyquist判据
所以说我们在利用
等价的极坐标频率特性
来去判断闭环系统稳定性的时候
我们也可以用这样一个Nyquist曲线
比如说如果我们给定一个输入的幅值
输入信号的幅值X的话
我们去画NGp(jω)
如果这条曲线是包围负1话
那我们就可以判断
当系统的输入的幅值是X的时候
这时候系统是不稳定的
那如果这个时候
系统的这个输入稍微小一点
这时候系统的这个对应的
N(X)乘以Gp(jω)这条Nyquist曲线
正好穿过负1的时候
这个时候系统就处于临界稳定
或者说我们后面会具体的针对性的研究
这个系统可能会存在自持振荡
那如果输入的幅值进一步减小
就NX如果取值进一步减小的话
那这个时候有可能Nyquist曲线
就不再包含负1这个点
那这个时候系统就变成稳定的
就变成稳定的
所以说我们可以看到对于非线性而言
这个系统的稳定还是不稳定
跟这个系统输入的信号的幅值是有关系的
系统输入信号幅值
如果有些时候在不同的X的取值下面
这个Nyquist曲线可能包含负1
也可能不包含负1 甚至穿过负1
它的稳定性会发生变化
那我们说只要存在某一个幅值
在某一个幅值下面
我使得N(X)Gp(jω)这条曲线
它对应Nyquist曲线包含负1
也就是说去违背了
Nyquist的稳定判据的这个稳定性条件
我们就说这系统是不稳定的
就是说只要存在一个X要使系统不稳定
那我们就说这个系统是不稳定的
好 那所以说我们在这可以去总结一下
比如说闭环系统稳定当且仅当
我们说当且仅当 就是说对任何X
不是说只是对于某些X 对任何X
就是说我当系统输入的信号幅值
是任何幅值的时候
那么对应的N(X)乘以Gp(jω)
这条Nyquist曲线绕负1转的圈数
它应该等于开环极点不稳定极点的个数
只有当满足这个条件的时候
闭环系统才是稳定的
那这是我们把线性系统的
Nyquist稳定判据
推广到利用描述函数来描述的
这样一个非线性系统的稳定性判据
那这个稳定性判据我们很容易理解
但是在使用起来的时候
实际上并不是太方便
因为我们前面在学习
线性系统的稳定性判据的时候
我们只需要看一条曲线 就是看Gp(jω)
这条Nyquist曲线
和负1的相对关系就可以了
但是如果我们要去判定一个非线性系统
我们要求这个关系对任何X取值都要成立
所以这就意味着我们要对所有X
它对应的这个Nyquist曲线都需要去看
都需要去判断这个到底是成立不成立
到底是绕圈数
是不是满足Nyquist这个判据
所规定的这个关系
那这个使用起来实际上就很不方便
特别是当N(X)这个非线性函数
非常复杂的时候
我们要去逐个去判断的话
是非常不方便的 是非常不方便的
那我们有一个什么比较折中的办法呢
实际上我们有一个比较方便的办法
就是说大家可以再回顾看这个特征方程
就是当这个系统处于临界稳定的时候
我们知道肯定是存在某一个ω
使得Gp(jω)乘以N(X)加上1
这个特征方程要等于0 要满足这个0
这是系统临界稳定的一个条件
那我们看一下
临界稳定这个条件有什么特点
第一个特点就是因为我们考虑的
非线性环节都是静态环节
那静态环节它的描述函数
这个N(X)它只跟幅值有关系 跟频率没关系
因为它是静态环节
而我们这个控制对象Gp
它是一个线性环节
这个频率特性跟幅值没关系
是跟频率有关系
所以这两个函数实际上是可以分开的
分开以后我们就可以把这个方程改写一下
改写一下
就把这个跟ω有关系的写到一边
跟X有关系的写到一边
把这个方程就表示成
Gp(jω)等于负的N(X)分之1
所以这个临界稳定的条件
实际上我就可以等价的
表示成这样一个条件
那这个条件大家看到这
就会想到我们在讲描述函数的时候
是专门去讲述了一个
描述函数的负导数特性的图形表示
那为什么要用负导数呢 就是在这里
因为在这个关系里面我们可以推出来
当一个非线性系统临界稳定的时候
它应该满足这样一个条件
就是说这个线性对象本身的频率特性
应该在这个地方是等于负的N(X)分之一
负的N(X)分之一
那这个关系告诉我们
如果我们有某一个X和ω
满足这个关系的话
就是这就告诉我们当输入幅值为X的时候
这个系统会处于临界稳定
而且这个时候临界稳定的
这个系统的振荡的频率就等于ω
所以说我们把Nyquist判据
就这样可以去重新改写一下
因为我们说Nyquist判据
是告诉我们就是说这个Nyquist曲线
绕负1转的圈数
那我把这个语言翻译到这个关系式
来翻译过来以后我们就可以看到
就是说如果这个Nyquist曲线
如果都不包含负1
就意味着就说
我这个N(X)乘以Gp的这个Nyquist曲线
所有的这个Nyquist曲线
就是说对任何一个X
所画出来这条Nyquist曲线
如果它们都不包含负1的话
实际上就等价于
我们如果只画出Gp(jω)
这个只跟ω有关系
这是一条固定的Nyquist曲线
固定的这个Nyquist曲线
那如果这条曲线不包含负N分之1
那这个条件实际上就等价
我们这讲的这个Nyquist判据
所以说我从这就可以得到一个
等价的Nyquist判据
就是说如果闭环系统稳定 当且仅当
我们线性对象的Nyquist曲线Gp(jω)绕
这时候不再是绕负1转了
绕负的N(X)分之1这条负导数特性这条曲线
如果绕它的圈数是p0的话
这个系统就一定是稳定的
比如说在这个系统里边
如果p0正好等于0
我们从这里边可以看到
这个负N分之1这个负导数特性
在这个Nyquist曲线的之外
也就是说不包围
从这我们就可以判断
这个闭环系统一定是稳定的
那反之如果发生这样的情况
就是说我们画出这个线性对象的
这个Nyquist曲线以后
然后我再画出负导数特性
那么这个负导数特性
完全包含在这里面
完全包含在这里面
那这时候系统我们可以判断
根据Nyquist判据
如果开环系统不稳定极点个数是0的话
这时候闭环系统一定是不稳定的
一定是不稳定的
那反之就是说它因为一般情况下
这个Nyquist曲线Gp(jω)和负导数特性
它并不一定是完全的包含关系
或者不包含关系
它可能这个负导数特性
有一部分包含在这里面
有一部分是不包含在这里面
那这就意味着这个系统
在它有些时候是稳定
有些时候是不稳定
也就是说因为这个箭头
所指的是X增加的方向
也就是说当X输入信号的幅值
比较小的时候
这个Nyquist曲线是包围它的
这时候系统是不稳定的
但是当输入信号的幅值
增大到一定程度的时候
这个负导数特性这个曲线
就跑出这个Nyquist曲线以外
而在这个输入的幅值下面
这个系统就是稳定的
所以对这样的情况
系统有些时候是稳定的
有些时候是不稳定的
稳定还是不稳定呢
取决于输入信号的幅值是多少
X的幅值 就是X的大小是多少
我们还可以看到
由于有些在里面 有些在外面
那么这个负导数特性和Nyquist曲线
一定会有个交点
那这个交点就意味着在这个地方
当幅值处在这个地方的时候
这个闭环系统是处于一个临界稳定的状态
或者说换句话说这个时候闭环系统中
它可能会有自持振荡
好 我们具体怎么分析这个自持振荡
我们下节课再讲
我们这节课就讲到这里
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-第十一周 非线性系统分析（二）--极限环及其产生条件
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-采样控制系统概述--作业
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--采样系统
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-第十二周：采样系统--脉冲传递函数（一）
-脉冲传递函数（二）：求脉冲传递函数的一般方法
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-第十二周：采样系统--脉冲传递函数（二）：求脉冲传递函数的一般方法
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-考试环节--期中考试
