当前课程知识点：自动控制理论（1） > 第七周：根轨迹方法 > 参数根轨迹和根轨迹族 > Video
同学们好
这节课我们来研究
参数根轨迹和根轨迹族
前面我们在研究根轨迹的时候
通常假设我们系统里面的
开环传递函数里面
有个增益系数在变化
当增益系数变化的时候
我们闭环节点的移动
会发生变化
从而形成我们的根轨迹
那么在实际的应用中
实际上我们还可能
会有别的参数
比如说我们在去选择控制器的时候
我们选择控制器的零点和极点
那么这些参数在变化的时候
我们这个闭环系统的根轨迹
也会发生相应的移动
从而也会形成一些
类似于根轨迹的
这些闭环极点移动的轨迹
那对它们的研究
实际上我们也可以
用前面我们学习过的原理
那这些问题我们统统的
称为我们的参数根轨迹
所以我们的参数的根轨迹的定义
就是说我闭环极点
作为任意特征参数的函数
就是说我这个特征参数
并不一定是我的增益系数
它可以是我们这个
开环传递函数里面
任意一个参数
当这个参数变化的时候
它所形成的闭环极点的轨迹
那我们在研究
参数根轨迹的时候
比如说我们这个
闭环系统的特征方程
我可以写成这个样子
比如说这个时候
我们这个增益系数K
我们假设它已经选定了
但是我们有另外一个系数K1
它是可以变化的
我们想知道这个K1变化的时候
我们闭环节点是怎么变化的
那这个时候我们就可以
假如说我们这个A(s)和B(s)
都是K1的线性函数
那我们总可以把这个多项式
去整理一下 把K1提出来
然后和K1没有关系
这个多项式的部分我们写成P(s)
和K1有关系的这部分
我们写成Q1(s)
所以这个时候
我们就可以把它写成P(s)
加上K1乘以Q1(s)
这样一个闭环系统特征方程
这里面P(s)和Q1(s)都是多项式
但是这个K1
并不一定是增益系数了
但是这个特征方程
就跟我们前面学过的
这个根轨迹的特征方程
实际上就很像了
首先我们把这个P(s)除过来以后
就写成1加上K1乘以Q1(s)除以P(s)
这时候我们就可以把这个
K1乘以Q1(s)除以P(s)
这个部分去等价于
一个开环系统传递函数
我们叫做G1(s)
当然这个G1(s)实际上并不是
我们实际的开环系统的传递函数
但是我们可以把它想象成
一个虚拟的这个控制系统
那么我们根据这个G1的表达式
我们就可以去画
相应的系统的这个根轨迹
这就是我们一个等价的
开环传递函数的一个表示
我们用它来画这个变化的根轨迹
那么这个思想很简单
我们通过一个简单的例子
去来看一下
假如说我现在有一个
开环系统的传递函数
是2s加上1
除以s的平方除以s加上a
那这里面这个增益系数2
是固定的
但是我们有一个
开环极点a是不确定的
那我们想知道
当这个a变化的时候
当系统是一个单位负反馈的时候
它的稳定性随a是怎么变化的
我们把这个闭环系统的
特征方程写出来
其实也就是我们这里面的
这个分母的多项式
加上分子多项式
就是s平方乘以s加上a
再加上2s加上1
我们写出来以后
就像我们前面讲的
就是把和a
因为我们这里面要变化参数是a
把和a没有关系的写在一起
就是s的三次方加上2s加上2
和a有关系的就是这部分
就是a乘以s平方
所以我们把它改写一下
就是两边除以s的3次方
加上2s加上2
就写成一个1加上a乘以s平方
除以s的三次方加上2s加上2
等于0这个情况
这就和我们前面研究根轨迹
所写的这个根轨迹的特征条件
特征方程实际上是一样的
那我们就根据这个
有理分式的这个零极点
它们画我们的这个根轨迹形状
所以它对应的
这个等价的开环传递函数
对应于两个零点的原点
是我们的开环零点
对应于它是一个三阶系统
对应于我们有三个极点
我们可以解出来
有一个极点是复实数在实轴上
有一对是一个共轭的
这个开环的极点
而我们这个共轭开环极点
大家可以看到它实部是等于零
所以它是一对不稳定的开环极点
而我们还可以
进一步的去计算一下
它的这个根轨迹会穿越虚轴
穿越虚轴的时候
对应的这个Ω频率是1.4142
而它所对应的这个a
这个参数是等于1
我们最后可以
把这个根轨迹画出来
就是说我们在原点
有两个开环的零点
那么在这个左边
有一个实的开环极点
还有一对共轭的开环极点
在复平面的右半平面
那么从这两个共轭的极点
开环极点出发
它一定会穿过虚轴
在Ω等于这个1.4142
这个地方穿过虚轴
然后最后终结于我们的开环零点在原点
另外一部分
是从这个实轴的开环极点
负0.771开始往负无穷远走
所以大家可以看到
在这个系统里面
在一开始a从0开始变化的时候
在起始这一段它的根轨迹
是在复平面的右半平面
这时候对于系统是不稳定的
只有当穿越了虚轴以后
在这个部分这时候
系统才变成稳定的
所以大家可以从这里面
可以得到它这个系统稳定的条件
只有当a大于1的时候
这个系统是一个稳定的系统
那从这里面大家也可以看到
就是说我这个系统
我靠变化a去改善系统的性能
它实际上对系统性能的改善
实际上是非常有限的
为什么呢
因为即使在这段
在根轨迹变化这一段
它是在稳定的范围
但是它的这个实部
这时候它的闭环极点的实部
还是比较小
它不能够变得很大
所以它的响应速度
一定快不到哪去
一定快不到哪去
所以它对系统性能的改善
是有限的
那么至于如何改善性能
我们需要通过添加零极点
把这个根轨迹往左边拉
这样我们才有可能
去改变系统的性能
这是我们后面
在研究校正的时候
要讨论的问题
好 那我更一般的
就是我们这里边就是我们知道
特征参数它可以不是增益系数
它可以任意一个系数
那同样道理这个特征参数
它可以不是一个
还可以是多个
那我们当这个系统
这个特征参数
有多个参数的时候
那这个根轨迹就不是一组了
而是多组根轨迹
那这个时候的这个根轨迹
我们叫做根轨迹族
所以根轨迹族的定义
就是闭环极点
作为多个特征参数的函数
那我们怎么画呢
假如说我们现在系统里面
有两个特征参数K1 K2
而且我们已经把
它闭环系统的特征方程
已经整理好了
就是它们是这个
闭环系统特征方程
分别是我们K1和K2的线性函数
和K1有关系的是Q1(s)
和K2有关系的是Q2(s)
然后跟它们两个
都没有关系的是P(s)
这三个多项式都是首一的多项式
好了 我们怎么来画呢
我们分两个步骤
第一个步骤
假如说我们先不管K2
先不管K2的这个影响
也就是说我让K2等于0
K2等于0以后
我们这个特征多项式
就变成P(s)加上K1乘以Q1(s)等于0
那这个时候同样道理
就像我们前面画参数根轨迹的时候
我们也可以去推导出
它的一个等价的开环传递函数
就是K1乘以Q1(s)除以P(s)
就是我这个方程两边
同时除以P(s)
那我们根据这个等价的
这个开环传递函数
我可以画出来这个闭环极点
随着K1变成时候
它所形成的一个根轨迹
那这个根轨迹我们假如说它
假如说是这个样子
那么这个箭头所指的方向
就是我们K1增加的方向
而这个根轨迹对应的这K2
是等于0的
好 那我们再看一下
我们这条这个根轨迹确定以后
再怎么去研究K2的影响
好 那我们再把这个
现在我们再把K2把它拿回来
就是说如果我们在原来的
这个闭环系统特征方程基础上
我两边同时除以P(s)
加上K1乘以Q1(s)的话
这个时候我们把K1
看成固定不动的
把K2看成我们变化的参数
这时候就得到
另外一个等价的开环传递函数
就是我们这里面的
G2(s)乘以F2(s)
它等于K2乘以Q2(s)
除以P(s)加上K1乘以Q1(s)
那这里边我们把K1看成是不变的
把K2看成是变化的
那这里面我们根据
我们前面画这个
根轨迹的一些基本性质
我们就首先我们马上就可以判断
那么这根轨迹的
它的起点和终点在什么地方
我们知道它的起点
是在我们这个等价的
开环传递函数的极点
而这个极点
P(s)加上K1乘以Q1(s)的极点
实际上就是我们刚才
画出了的这个根轨迹的
这个上面的任意一点
因为我K1取不同值的时候
它对应我们这个
根轨迹上不同的点
所以说它的这个
就是我们这个等价开环传递函数
对应的这个根轨迹
它的起点一定是从
我们这个K1这个根轨迹上
某一点出发的
而它的终点是对应于
我们Q2(s)的根
也就是我们这个系统的这个零点
就是Q2(s)的根
所以我们从这儿可以看出来
就是这个G2(s) F2(s)
对应于这个等价开环传递函数
对应的这个系统的根轨迹
它的起点就是
我刚才画出来这个根轨迹
然后它的终点
就是我们Q2(s)的这个根上面
所以我们从这个K1这个根轨迹上
任意上一点出发
任选一点出发
我会得到一组根轨迹
然后它的终点
在Q2(s)的一个根上面
然后再选一点出发
它会得到另外一个根轨迹
它终结于Q2(s)的某一根上
同样道理我选不同的点
它都会终结于Q2(s)的根上
所以我变化K1的时候
就会得到一族根轨迹
这个根轨迹
就是我们所说的根轨迹族
这是我们这个
画根轨迹族的一个最基本的思想
下面我们看一个简单的例子
假如说我们现在有这个系统里面
有两个参数同时变化
比如说一个参数
是我们经常研究的增益系数
那另外一个参数
是我们刚才研究过的
这个一个开环系统的
一个不确定的一个极点这a
假如说我这两个参数同时变化
我们想知道对应的根轨迹族
是什么样子的
那我们选择第一个参数
假如说先固定a 我让a等于0
我们看一下k变化的时候
它的根轨迹是什么样子
这个很简单
我让a等于0的时候
我画出写出这个闭环系统特征方程
当a等于0的时候
就变成s平方加上K等于0
这个时候其实我们就不需要
用我们前面学的这个
根轨迹的这六条性质
我们实际上这里面
我们就可以把根
闭环系统的这个极点
直接解出来
它就是正负的根号K乘以a
所以它是一对虚数的这个闭环极点
闭环极点都是共轭的虚数
所以它的根轨迹实际上就是虚轴
我们可以把它画出来
好 那我们从这个
我们K的这个所对应的根轨迹出发
我们可以再进一步去研究
当a变化的时候
它的根轨迹族是什么样子
那当a变化的时候
我们可以在这个
在我们已经得到的
这个根轨迹上面去选一些点
选一些点
比如说我选这样一对共轭的极点
共轭的极点
那这个共轭的极点我们知道
它是我们根轨迹族的
其中一族的起点
其中一族的起点
那也就是说从这两个极点出发
它会形成一族根轨迹
会形成一族根轨迹
那么这个根轨迹的终点在什么地方呢
我们来分析下
那这个时候我们再把这个a拿回来
也就是说我们再看这个多项式
看这个闭环系统特征方程
我们把这个方程的两边
除以s平方加上K
就变成了我这个
闭环系统的特征方程
而它对应的等价的开环传递函数
就是我的as乘以s平方加上K
所以它的起点
一定是这样一对虚数
然后它的终点就对应它的零点
终点一定是在这个地方
一定有个终点在这个地方
那我们根据前面学过的知识
它另外一个终点
一定是往负无穷远走的
一定是往无穷远走
所以大家可以很容易看出来
那从这两个出发
在这一定会有一个
在这个实轴上会会合
然后从实轴上分离
一直往原点走
一直往无穷远走
所以这是我们画出来的
这个根轨迹
那同样道理如果我们再选一个
再选一个不同的这个极点
也就是说我们这个a等于0的时候
K变化的时候所对应的闭环极点
那从这出发呢
也会发生同样的情况
在这个地方
在实轴上会合 在实轴上分离
会一直往原点走
一直往无穷远走
所以以此类推
我们就可以把所有的
就是我们对应不同的开环极点画
就会得到不同的这个
就是说它这个
最后我这个根轨迹
就是这样一族一族的
我们可以证明这些根轨迹
它在实轴以外的部分
都是这样一些同心圆 同心圆
所以这就是我们画参数根轨迹
和根轨迹族的一些最基本的规律
实际上都是把它通过一定的变形
变换成一些等价的开环传递函数
然后利用我们前面学过
画根轨迹的知识
就画出相应的参数根轨迹
和根轨迹族
好 我们这节课就讲到这里
-绪论
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-拉普拉斯变换定义及性质（一）
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-拉普拉斯变换定义及性质（一）--作业
-拉普拉斯变换定义及性质（二）
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-拉普拉斯变换定义及性质（二）--作业
-卷积定义、定理及性质
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-卷积定义、定理及性质--作业
-拉普拉斯逆变换及应用（一）：拉普拉斯逆变换定义
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-拉普拉斯逆变换及应用（一）：拉普拉斯逆变换定义--作业
-拉普拉斯逆变换及应用（二）：拉普拉斯逆变换应用
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-拉普拉斯逆变换及应用（二）：拉普拉斯逆变换应用--作业
-控制的基本概念
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-控制的基本概念--作业
-控制系统的微分方程描述（一）
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-控制系统的微分方程描述（一）--作业
-控制系统的微分方程描述（二）
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-控制系统的微分方程描述（二）--作业
-控制系统的传递函数描述（一）：Laplace变换知识回顾
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-控制系统的传递函数描述（一）：Laplace变换知识回顾--作业
-控制系统的传递函数描述（二）：控制系统的传递函数描述
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-控制系统的传递函数描述（二）：控制系统的传递函数描述--作业
-框图及其变换（一）：传递函数框图定义及连接方式
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-框图及其变换（一）：传递函数框图定义及连接方式--作业
-框图及其变换（二）：传递函数框图变换
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-第二周：控制系统的概念及数学模型--框图及其变换（二）：传递函数框图变换
-信号流图
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-信号流图--作业
-控制系统的基本单元
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-控制系统的基本单元--作业
-非线性单元的线性化
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-第二周：控制系统的概念及数学模型--非线性单元的线性化
-稳定性
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-第三周：线性系统时域分析（一）--稳定性
-稳定的Liapunov定义
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-稳定的Liapunov定义--作业
-稳定性的代数判据（一）：Routh判据
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-稳定性的代数判据（一）：Routh判据--作业
-稳定性的代数判据（二）：系统稳定的必要条件
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-稳定性的代数判据（二）：系统稳定的必要条件--作业
-参数稳定性，参数稳定域
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-参数稳定性，参数稳定域--作业
-静态误差（一）：误差和静态误差定义
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-第四周：线性系统时域分析（二）--静态误差（一）：误差和静态误差定义
-静态误差（二）：静态误差与输入
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-静态误差（三）：静态误差的计算
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-静态误差（三）：静态误差的计算--作业
-静态误差（四）：系统类型与静态误差的关系
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-静态误差（四）：系统类型与静态误差的关系--作业
-静态误差（五）：静态误差的物理和理论解释
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-静态误差（六）：扰动引起的静态误差
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-静态误差（六）：扰动引起的静态误差--作业
-动态性能指标
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-动态性能指标--作业
-高阶系统动态性能的二阶近似
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-高阶系统动态性能的二阶近似--作业
-控制系统的校正
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-控制系统的校正--作业
-频率特性引言
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-频率特性引言--作业
-Fourier变换
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-第五周：频率响应法（一）--Fourier变换
-频率特性函数
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-频率特性函数--作业
-频率特性的图像
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-频率特性的图像--作业
-基本环节的频率特性
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-基本环节的频率特性--作业
-复杂频率特性的绘制（一）
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-复杂频率特性的绘制（一）--作业
-复杂频率特性的绘制（二）
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-复杂频率特性的绘制（二）--作业
-复杂频率特性的绘制（三）
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-第五周：频率响应法（一）--复杂频率特性的绘制（三）
-闭环频率特性
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-闭环频率特性--作业
-Nyquist稳定判据（一）
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-Nyquist稳定判据（一）--作业
-Nyquist稳定判据（二）
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-第六周：频率响应法（二）--Nyquist稳定判据（二）
-Nyquist稳定判据（三）
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-第六周：频率响应法（二）--Nyquist稳定判据（三）
-相对稳定性（稳定裕量）
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-相对稳定性（稳定裕量）--作业
-从开环频率特性研究闭环系统性能
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-从开环频率特性研究闭环系统性能--作业
-基于频率特性的控制器设计思路
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-根轨迹方法简介
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-根轨迹方法简介--作业
-根轨迹条件
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-根轨迹条件--作业
-根轨迹性质
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-根轨迹性质--作业
-根轨迹的图像
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-根轨迹的图像--作业
-条件稳定系统
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-条件稳定系统--作业
-零极点对根轨迹的影响
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-零极点对根轨迹的影响--作业
-参数根轨迹和根轨迹族
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-第七周：根轨迹方法--参数根轨迹和根轨迹族
-延时系统的根轨迹
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-延时系统的根轨迹--作业
-补根轨迹与全根轨迹
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-补根轨迹与全根轨迹--作业
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-校正装置的设计方法--作业
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-基于Bode图设计超前校正装置
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-滞后校正装置的特性--作业
-基于根轨迹法设计滞后校正装置
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-基于Bode 图设计滞后校正装置
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-基于Bode 图设计滞后校正装置--作业
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-开环系统的期望频率特性
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-开环系统的期望频率特性--作业
-反馈校正
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-第九周 系统校正（二）--反馈校正
-直线倒立摆控制系统实验
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-非线性系统概述
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-第十周 非线性系统分析（一）--非线性系统概述
-非线性系统的典型动力学特征
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-非线性系统的典型动力学特征--作业
-描述函数法定义
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-描述函数法定义--作业
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-描述函数法求取--作业
-基于描述函数的稳定性分析
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-第十周 非线性系统分析（一）--基于描述函数的稳定性分析
-非线性系统自持振荡的分析
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-第十周 非线性系统分析（一）--非线性系统自持振荡的分析
-相平面与相轨迹
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-相平面与相轨迹--作业
-相轨迹的绘制方法
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-相轨迹的绘制方法--作业
-奇点
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-奇点--作业
-线性系统的相平面分析
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-线性系统的相平面分析--作业
-非线性系统的相平面分析
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-非线性系统的相平面分析--作业
-极限环及其产生条件
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-第十一周 非线性系统分析（二）--极限环及其产生条件
-非线性系统分析小结
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-非线性系统分析小结--作业
-采样控制系统概述
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-采样控制系统概述--作业
-脉冲采样与理想采样
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--采样系统
-脉冲采样与理想采样--作业
-采样定理
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-采样定理--作业
-零阶保持器
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-零阶保持器--作业
-z-变换
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-z-变换--作业
-脉冲传递函数（一）
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-第十二周：采样系统--脉冲传递函数（一）
-脉冲传递函数（二）：求脉冲传递函数的一般方法
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-第十二周：采样系统--脉冲传递函数（二）：求脉冲传递函数的一般方法
-z-平面上采样系统的稳定性分析
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-z-平面上采样系统的稳定性分析--作业
-w-平面上采样系统的稳定性分析
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-w-平面上采样系统的稳定性分析--作业
-采样控制系统的时域分析
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-采样控制系统的时域分析--作业
-修正的z-变换
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-修正的z-变换--作业
-考试环节--期末考试
-考试环节--期中考试
