当前课程知识点：自动控制理论（1） > 第四周：线性系统时域分析（二） > 高阶系统动态性能的二阶近似 > Video
前面我们详细介绍了
如何来描述
一个一阶二阶系统的运动过程
以及相应的给出了一些
计算一些动态指标的一些方法
那么很多同学
可能会问这样一个问题
虽然二阶系统
我们可以研究的比较详细
但是毕竟生活中
大量的系统都是一个高阶系统
那么高阶系统的动态性能
将如何来研究
事实上
问题没有我们想象那么复杂
在很多情况下
很多高阶系统
是可以被进行简化的
那么在本节中
我们就介绍一些简化的一些方式
首先我们会看
一个高阶系统的闭环传递函数
可以写成如下这样一个标准式子
那么如果我们进行
因式是按照零极点因式分解的话
我们可以写成一个关于零点
和极点的这样一个分解的形式
那么其中分子部分的根就成为零点
分母部分的一些方程根
被称为极点
这样我们先假设
在单位阶跃输入下
和零初始条件下
我们并且假设这些零极点都是实数
而且互不相同
我们就可以得到一个闭环传递函数
在阶跃输入下的它的输出的
一个Laplace变换的形式
我们把这个形式进行分解
写成部分分式和的形式
这中间有一个s分之A0
这个s出现是因为
我们采用了单元阶跃输入
而单元阶跃输入的Laplace变换
就是s分之一
所以就出现了一个s分之一
那么这里面这公式里面
其中对应的A0或者Ai
都是相应于s等于0
或者s等于负pi极点处的留数
这个知识来自于复变函数的理论
那么根据这样一个表达式
我们可以直接写出
这个闭环传递函数
闭环系统它的输出的
一个在时域内的表达式
它等于A0加上
一系列指数函数的求和
其中所有的系数
就是对应的一个留数
而留数的这些方式
我们可以用复变函数中来得到
留数描述了该极点
对应运动模态的作用程度
每一个极点对应了一个指数函数
我们可以称为一个运动模态
而前面的留数Ai
就代表着这个运动模态
在整个运动中所占的比例
如果这个留数比较小的话
就意味着这个运动模态
对于全局的运动产生影响比较小
那么接下来我们就看一看
这个留数会出现什么样的一个情况
我们先研究几个特殊的情况
第一假设某一个极点
负pk远离原点
那么我们求一下
此时所对应的留数大概是多少
那么它对应留数就要称为Ak
根据复变函数理论
它的Ak的求解方式
是将这个复数域的这个函数形式
也就是我们的输出量的Laplace变换
乘上s加上pk
并让s等于负的pk
我们把这个公式代到里面去
我们知道由于它包含
有一个负pk的一个极点
所以它的分母多项式中
一定包含这一项
到我们乘上一个s加pk的时候
我们就消掉了这一项
消掉一项
我们得到这样一个表达式
因为我们说假设
这个极点负pk的远离原点
所谓远离原点就是指的是pk的
它首先是一个
绝对值是一个比较大的数
使常数远离原点
那么也就意味着
pk是远大于其他值的
那我们可以把这样一个数
约等于是一个pk的n次方
比上pk的m次方
对于一个正常的一个对象
一般情况下n是大于m的
关于这个结论
大家可以从信号系统中
一些相关的结论中可以得到
既然n大于m
pk又很大
所以我们可以得到
这样一个结论这个Ak是很小
这说明如果一个极点pk远离原点
那么它所对应的运动成分
由于系数很小
就会相对于这个阶跃响应中
占的比重也就是很小
也就是对于阶跃响应影响也很小
我们就可以忽略这样一个极点
我们再看一种情况
假设有一对零点和极点
它们离的很近
也就是负Zr和负pk它们很近
就意味着它们的差很小
那么这样一对零极点
我们称为偶极子
当存在偶极子的时候
我们针对对应的pk的
极点的这个留数
我们来计算一下
看看它大概等于多少
我们同样我们把它
展成一个零极点因式分解的形式
同样我们把这个式乘上s加上pk
并让s等于负的pk
我们会得到一个什么情况
首先是s等于负pk被约掉了
那么在众多分子项中
我们会出现这样一项
也就是负pk加上Zr
因为我们让s等于负pk
那么由于前面已经说到
一对偶极子它们的值很近
所以这个差值很小
这就意味着
整个Ak就会变得比较小
同样我们得到一个类似的结论
如果有一个零点与一极点很相近
那么这个极点所对应的运动成分
在阶跃响应中所占的比重很小
当我们分析系统的
运动响应的时候
我们就可以忽略这个对应极点
所引起的这个运动模态
到这儿我们可以引入一个概念
称为主导极点
前面说到了两个情况
一个是远离原点的极点
一个是有存在着
偶极子情况的极点
我们把这种极点
可以作为次要因素忽略
而留下一些主要的因素
这主要因素我们称为主导极点
首先它是一些
稳定系统的部分极点
在它们附近没有零点
也就是说没有构成偶极子
而且其他极点离它们也较远
并远离虚轴
因为主导极点
它本身要靠近虚轴的
也就是它的实部要比较小
主导极点可以一个两个或者多个
也可以是实数或者复数
如果只有一对左半平面的
共轭复极点符合要求
那么这个系统
就可以近似为一个二阶系统
其动态特性
也受这一对主导极点所决定
那么到这儿大家可以理解
为什么我们之前
我们详细的探讨了
二阶系统运动过程
因为很多的系统虽然很复杂
虽然它的零极点很多
但是很多情况下
它只有一对主导的一个共轭极点
那这种情况下
这个系统的动态性能
就可以简化为一个二阶系统
那么我们就可以用来
像分析二阶系统一样
来描述这样一个
高阶系统的动态过程
为了便于大家理解
我们从一些具体的例子入手
来看一看这个过程是不是这样的
首先这里有两个例子
这是第一个
是一个高阶的一个系统
第二个是一个低阶的
我们观察发现这两个系统之间
它们只是相差了两个极点
那么这个几个极点
我们把它画在一个负平面的分布上
我们可以发现
如果我们只是研究G1这个函数
它有一共有四个极点
那么其中有两个极点
也就对应着s
等于负5或者s等于负6
相对于另外一对共轭的极点
它是远离虚轴的
在这里这个轴是一个虚轴
在这里这轴是虚轴
按照前面的分析
由于这两个极点
远离原点或者远离虚轴
所以它们所对应的运动模态
在整个系统的输入响应中
占的比重比较小
所以我们是可以把它忽略的
那我们就得到了另外一个
与去掉了这两个原点影响的
一个低阶的系统
这是一个二阶系统
如果我们分别画出
两个系统的阶跃响应图的话
我们可以发现
这两个图是非常接近的
尽管略有差别
但是总体来讲
两个图的动态响应过程是很接近
也就意味着
我们即使不考虑这两个极点的话
我们得到的动态过程
基本是相近的
但是我们换一种情况
假设我们这个高阶系统中
包含一个极点
而这个极点的值
它更接近与虚轴
在这个例子中
由于我们是这个极点是负的0.2
而负的0.2更接近于原点
在这种情况下
我们就不能轻易的
忽略这个极点的影响
假设如果我们强行忽略的话
我们会得到这样一个函数形式
如果画出它们的运动方程运动结果
我们会看到这两个曲线相去甚远
所以意味着我们是不能轻易忽略
一个靠近原点的极点
接下来我们看一个偶极子的情况
首先看一个原来的一个高阶方程
在这个方程中
我们出现了一对
非常接近的零点和极点
这里零点是负5
极点是负5.1
它们非常接近
那我们画在一个极点分布图上
我们会看到一对偶极子它在极点
在复数空间中是离得非常近的
而其他几个极点
都接近于原点接近于虚轴
那么接下来我们可以看一下
我们画出两个系统
对应的运动方程
一个是包含了这对偶极子
一个是不包含的
我们画出来可以发现
这两个运动方程非常的接近
这就意味着
当我们存在一个偶极子的时候
偶极子对于我们分析系统运动过程
不是很重要的
我们在分析的时候可以把它忽略掉
总结一下
虽然我们经常
遇到的对象上高阶系统
但是如果我们仔细分析
它的零极点分布的话
我们就可以把那些离原点很远的
或者存在的偶极子现象的极点所去掉
只保留那些离原点很近的极点
所谓的主导极点来进行分析
那样我们就可以
利用一些比较低阶的系统
来描述一个高阶系统运动过程
-绪论
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-拉普拉斯变换定义及性质（一）
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-拉普拉斯变换定义及性质（二）
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-卷积定义、定理及性质
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-拉普拉斯逆变换及应用（一）：拉普拉斯逆变换定义
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-拉普拉斯逆变换及应用（二）：拉普拉斯逆变换应用
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-控制的基本概念
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-控制系统的传递函数描述（一）：Laplace变换知识回顾
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-第二周：控制系统的概念及数学模型--非线性单元的线性化
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-静态误差（二）：静态误差与输入
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-脉冲传递函数（二）：求脉冲传递函数的一般方法
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-第十二周：采样系统--脉冲传递函数（二）：求脉冲传递函数的一般方法
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