当前课程知识点：自动控制理论（1） > 第一周：绪论及基础知识 > 拉普拉斯变换定义及性质（二） > 视频
同学们大家好
我们在前一节学习了
拉普拉斯变换的定义
和它的一些基本性质
比如线性性质 时移性质和频移性质
在这一节我们继续学习它的一些
非常重要的性质微分 积分和极限
我们来看一下这个微分性质
如果f(t)的拉普拉斯变换是F(s)
并且f(t)的一阶导数f'(t)的
拉普拉斯变换也存在的话
那f'(t)的拉普拉斯变换
可以通过这样来算
这个地方
f(0+)是指这样的一个极限
如果这个f(t)在f(0)这个地方
是有定义的话
当然就不需要取这个极限了
这个性质我们来看
它是怎么证明它呢
首先我们是对它做一阶导数
f(t)e^(-st)
这样的话这个一阶导数
是先对f(t)求导数
然后再对e^(-st)求导数 对吧
这样一组合出来就得到了
我们来看这个f'(t)的拉普拉斯变换
第一我们根据定义我们可以得到
这样的一个式子 对吧
然后我们把这个
中间这一部分的这个积分换掉
用什么换 用上面这个等式的这一部分
我们把这个等式的这个
这一部分移到这边来
所以它的积分f'(t)e^(-st)的积分
就是这两部分的积分
所以第一部分这个积分出来
就直接是它对吧
然后取它的这个积分的上下对
0到无穷
然后第二部分的话就是这个
我们看首先看第二部分
第二部分因为s是跟t没有关系的
所以它可以把它放到
这个积分号的外面来
那再看这个积分
实际上就是f(t)的这个拉普拉斯变换的
这是按定义可以得到 对吧
所以这个我们得到sF(s)
那再看一下f(t)和e^(-st)
当t趋于无穷的时候
这一项是等于0的
当t趋于0的时候 e^(-st)是等于1
因为t等于0嘛
e^(-st)等于1
所以就剩下了就是f(0+)
就是这样的一个
通过这个证明我们可以去理解
它这个是怎么得到的
微分性质的第二个是
也是首先我们知道f(t)的
这个拉普拉斯变换F(s)
然后我们看到在这个f(t)前面
如果乘上（-t）^n
它的拉普拉斯变换会是什么呢
它很神奇
它就是这个F(s)的这个导数
n阶导数
如果这个n是1的话
那这个就是一阶导数
n是2 这个就是二阶导数
所以这个是所谓的微分
它其实是对这个拉普拉斯变换
这个象函数做微分
前面的那个微分的性质
是对f(t)这个象原函数的导数
是对它做微分
所以它这个微分是从两个方面来的
一个是象原函数的微分
另一个是象函数的微分
那我们也是通过证明来理解一下
它是怎么得到的
首先我们也是根据定义
F(s)等于这个积分
然后我们对它做一阶导数
就是这个象函数
就是得到的这个拉普拉斯变换
关于s做一阶导数
所以写出来就是这样的一个形式
对这个积分一阶导数
然后我们知道这个积分
是关于t的积分
跟s是没有关系的
所以我们可以把这个一阶导数
就关于s的一阶导数
移到这个积分号里面来对吧
积分号里面来
其实f(t)因为也跟s没有关系
其实也不会影响到
只是这个e^(-st)会有
所以e^(-st)的关于s的导数是什么呢
就是-te^(-st)
这个大家都很熟悉的 对吧
就是指数 指数函数的导数和积分
都是很容易的
所以我们知道是-te^(-st)
所以就得到这样的一个式子
这样一个式子
我们再来看 看前面这个
-tf(t)再乘上e^(-st) dt
你把这个-tf(t)看成一个函数
我们如果把它看成是g(t)的话
那这个是什么
根据拉普拉斯变换的定义
它其实就是g(t)的拉普拉斯变换
对不对
所以它就是-tf(t)的拉普拉斯变换
这个其实如果我们把它看成g(t)
不就是这样吗
根据它的那个定义来的
这个是关于这个微分的性质
那我们再看看例子呢
这个例子我们来看L[t*sinat]
sinat的这个拉普拉斯变换
我们前面在第二个例子里已经学过了
对吧
a/(s^2+a^2)
那t乘上t 我们来看一下
这个时候n
其实这个时候n是取1的对不对
因为它只乘了一个t
所以它实际上我们
我们会知道-t*sinat
根据这个微分性质
它是应该是F(s)的一阶导数对吧
那它现在是t*sinat
所以多有一个负号
它这个少了一个负号
所以我们应该要负负得正
我们在这个 前面再加一个负号
所以在这个前面加一个负号
这样这个负号可以进来
所以就变成了什么呀
就变成了t*sinat
所以大家看这个地方是
F(s)的一阶导数这一块
那前面这个负号
多出来的负号是因为
它这是t 不是乘的-t 就注意一下
在这个微分性质里面是-t的n次方
然后是F(s)的n阶导数
所以这个地方我们就多了一个负号
这个负号是这样来的
所以这个求它的导数
这个大家都很熟悉了对吧
就得到了这样的一个结果
这个就是t*sinat的拉普拉斯变换
大家可以想象如果我们
只是根据定义
来求t*sinat的拉普拉斯变换
其实是非常复杂的对吧
但是因为有了这些性质
我们就从性质来
就很容易把这些比较复杂的
函数的这个拉普拉斯变换求出来
前面我们讲的是微分的性质
很重要的还有就是积分
因为我们在这个控制理论里面
经常会遇到这个积分微分
我们看积分
如果是这个f(t)的拉普拉斯变换是F(s)
那它的积分f(t)的积分
就是这个象原函数的积分
那我们这个时候
因为是做积分所以用τ来
0到t的这个积分
这个象原函数的它的积分的
拉普拉斯变换是什么样的呢
非常简单
就是乘上1/s就可以了
这个很神奇 我们来看它怎么证明它
首先我们设一个函数g(t)是这样的
就是这个积分得到的这个函数
是f(t)做积分之后
得到的这个函数是g(t)
那我们知道g(0)
g(0)等于什么呢
g(0)就是t取0的时候对吧
t取0的时候 当然就等于0了
然后g的导数呢
g(t)的一阶导数呢那就是f(t)
对不对
所以这样一来的话
我们来看f(t)的拉普拉斯变换
其实就等于什么呀
就等于g(t)的导数的拉普拉斯变换
而g(t)的导数的拉普拉斯变换
根据我们前面学的
这个微分的性质是什么
就是它的g(t)的拉普拉斯变换
乘上s再减去g(0)对不对
所以这个时候我们知道g(0)
是等于0的
所以就剩下了
s乘上g(t)的拉普拉斯变换
所以我们就得到g(t)的
拉普拉斯变换是什么呀
是f(t)的拉普拉斯变换再除上s
这个就是证明了这个性质
积分的性质跟微分的性质是一样的
也是双方面的
我们刚才看微分的性质
我们讲了这个象原函数f(t)的
一阶导数的拉普拉斯变换
然后又讲了这个F(s)
就是这个拉普拉斯变换的
n阶导数或者一阶导数的这个
跟这个f(t)的这个关系对吧
对应的这种关系
那其实在积分也是这样
刚才看到积分f(t)的积分
它的这个拉普拉斯变换
那我们现在来看一下
这个f(t)的拉普拉斯变换的积分
就是F(s)的积分跟f(t)
又是一个什么样的关系呢
我们来看
f(t)的这个
拉普拉斯变换F(s)
那这个F(s)
就是这个拉普拉斯变换的积分
假设它是收敛的
注意它的这个积分的上下限
它积分下限是从s开始
那这个看这个收敛的这个函数
它跟f(t)是什么关系
那就是f(t)除上t的拉普拉斯变换呢
如果也存在的话
那它的这个拉普拉斯变换
就跟它是相等的
这是一个很有趣的一个这个性质
那我们也是简单的证明一下
这样便于大家理解
那首先我们看它这个积分等于什么呢
我们把这个F(u)这个东西呢
把它利用拉普拉斯变换的定义
把它换掉 那就换成了一个积分
对吧
换成了这样的一个积分
这个是换成了它
换成它之后呢
我们看我们怎么弄呢
我们需要把它积分的这个顺序换一下
前面这个是先是0到无穷
然后S到无穷
先是dt 后是du
那我们现在把du和dt的
这个积分的顺序换一下
换一下的话
它的这个上下限相应的也要换掉
对不对
所以原来的这个在外面的
应该放在里面来
因为你现在是对du
所以应该是对应过来把它换过来
换过来之后我们来看啊
我们就先做这个
关于du的这个积分对吧
因为这个很简单 为什么呢
因为这个f(t)跟u没有关系
其实只是对e^(-ut)
这样的一个指数函数做积分
所以我们就得到了这一部分
对吧
f(t)就移出来了没有关系的
只对它做积分
然后s无穷
那我们把它带进去
当这个u取无穷的时候
这上面是0的
所以剩下的就是e^(-st)
就是s u取s的这个留下来了
所以就是e^(-st)
然后这个t放在这边
把这个t移过来放在这边
放在这边我们来看
把它看成是一个函数
跟前面我们通常用的这种方式是一样的
把它看成一个函数
然后这个e^(-st) dt 0到无穷积分
这根据拉普拉斯变换的定义
实际上就是对这样的一个函数的
进行拉普拉斯变换对不对
而我们是假设这个函数的
拉普拉斯变换是存在的
所以它就等于它
极限的性质它其实是一个
很有趣的一个东西
就是我们将来在学控制理论的时候
我们会发现
我们通常我们可能会知道
这个某一个函数的拉普拉斯变换
我们不知道这个函数本身
大家将来就知道了
现在我就不具体说是怎么回事
因为也说不清楚
那我们现在看啊
就是说但是呢
我虽然我不知道这个f(t)是多少
我其实我很关心
我很关心这个f(t)
它的一个极限的性质
比如说当t趋于无穷的时候
这个f(t)会到
会去哪里
它会不会变得很大或者怎么样
这个是一个比较重要的一个性质
然后还有一个就是f(0)
就是它一开始的时候是怎么样
因为我们现在只知道这个F(s)
那我们希望知道是
象原函数f(t)的这个极限性质
那我们来看这个初值的关系首先
如果这个拉普拉斯变换是这样
得到的话
我们可以通过它的拉普拉斯变换
来求到这个它的这个极限
它的这个初值是
你就在F(s)上你乘一个s
然后让这个s趋于无穷
得到的就是这个f(t)的初值
这个证明也比较简单
我们来看一下
我们首先用拉普拉斯变换的微分性质
对吧
这个是象原函数的微分
还是它 这个是我们前面已经证明过的
然后我们对它取s趋于无穷
左边
就这个等号的左边是它
我们直接对它s趋于无穷
s趋于无穷进来这个
s趋于无穷的时候
因为这是个负的嘛
所以就等于0了
所以整个这个积分是等于0的
这是左边的这个分析
分析左边当然是趋于无穷的时候
它的取值
那我们现在来看右边
等号右边的这一部分
等号右边的s趋于无穷的话
就等于它 对吧
那它应该怎么样呢
等号左边当s趋于无穷的时候
是等于0
那等于右边当s趋于无穷的时候
也应该是等于0
因为它本来就是相等的嘛
所以它们两个的极限也应该等
所以它就等于0
它等于0就意味着什么呀
意味着这个性质
我们就可以证明了对不对
你把这个f(0+)移过来嘛
就是sF(s)当s趋于无穷
就等于f(0+)就是这样
极限呢 刚才我们说到了
除了初值我们其实通常是
更关心的是终值
所以终值关系非常重要
那我们来看一下这个终值是什么
终值当然首先这个要存在
如果不存在的话
就无所谓什么关系了对不对
所以我们现在看
它还比这个初值好像要复杂一点
为什么呢 它这儿有一个条件
它说sF(s)的所有奇点
在半平面 这样的一个平面内呢
就是这个条件其实是很重要的
其中这个σ0是f(t)的增长指数
那如果是这个条件要满足的话
那我们就可以得到这样的一个
终值的关系 很相似对吧
sF(s)然后s
刚才初值的时候是sF(s)
是让s趋于无穷
那终值就反过来
是让s趋于0
这个时候然后这边又是终值
所以总是有点拧着的
一个是这边要趋0
这边就是终值
就是它无穷的这个
如果它是趋于正无穷的话
这边就是0
好
那我们也是通过证明来看一下它怎么
同样的用这个 这个性质还是要用
对吧
然后方法完全一样
s趋于0的时候
这一块就是1了
指数这一块就是1 对吧
所以 所以就是它的积分
它的积分就是f(t)
f(t)那就是f正无穷减它
那这个等于这边的这个s趋于0的
就是sF(s)减它
所以两边同样有这个抵消掉
所以就证明了这个性质
还说一下这个 这个条件
这个条件大家下去去试一下
如果F(s)=a/(s^2+a^2)是等于它
大家还记得它是谁的拉普拉斯变换吗
sinat 对吧
大家去看一下这个函数
这个F(s)它是不是满足这个条件
就是前面说的这个条件
可以作为一个小的作业大家去想一想
极限的性质我们来看一下例子吧
我们假设它的拉普拉斯变换
是1/(s+a)
还记得它是谁的拉普拉斯变换吗
e^(-at) 对吧 好
我们假设不知道
我们只是要去求这个f正无穷和f(0)
就是它的这个极值
它的终值和初值
那我们直接用它
我们并不需要去把它的那个
象原函数e^(-at)找出来再去
找它的终值和初值
而是我们直接就用这个F(s)
就非常简单乘上s
然后一个是让它趋于无穷
这样可以求到它的初值 对吧
然后另外一个就是乘了之后
让s趋于0
然后求到它的这个终值
那我们来验证一下
当然肯定是没问题的对不对
我们看因为我们知道
它的这个象原函数e^(-at)
那t趋于无穷的时候会怎么样
t趋于无穷的时候那不就等于0嘛
对不对
这是指数函数
然后t等于0的时候
t趋于0 或者t等于0的时候是什么
就是1呀 对吧
所以当然这个例子虽然简单
但是我们其实这个极限的性质
我们主要是用在 不是那么容易
把这个象原函数找出来
就是F(s)很复杂
你要找象原函数非常困难的时候
但是我们又只关心
或者我们只要知道
这个象原函数的终值和初值
我们就对这个系统的性质
就有把握了的话
那我们就完全用不着
去把这个象原函数找出来
我们就直接用这个拉普拉斯变换
去把它的初值和终值找出来
这个我们将来在控制理论里面会学到的
好了 我们在这一节学到了
这个拉普拉斯变换的微分性质
和积分性质以及它的极限的性质
这些性质都是非常重要的
微分性质和积分性质在求
函数的拉普拉斯变换里
会经常地用到的
而极限的性质呢
在我们控制理论里面
在了解这个象原函数的
一些动态性质的时候
也会经常的用到
所以这一部分的内容
还是非常的重要
-绪论
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-第十周 非线性系统分析（一）--基于描述函数的稳定性分析
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-第十周 非线性系统分析（一）--非线性系统自持振荡的分析
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-脉冲传递函数（一）
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-第十二周：采样系统--脉冲传递函数（一）
-脉冲传递函数（二）：求脉冲传递函数的一般方法
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-第十二周：采样系统--脉冲传递函数（二）：求脉冲传递函数的一般方法
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-考试环节--期中考试
