当前课程知识点：自动控制理论（1） > 第十周 非线性系统分析（一） > 描述函数法求取 > Video
同学们好
现在我们通过几个具体的例子
来看一下非线性系统的描述函数
具体是怎么计算的
首先看一个具有死区和饱和特性的
非线性系统的描述函数
好 那我们可以看到
对于这样一个非线性系统
它具有死区
这个死区的宽度由参数D来决定
又有饱和 这个饱和的这个限幅
由这个S这个参数来决定
那么这样一个非线性环节
它是一个奇函数
就是它是关于原点对称的
而且它是一个单值函数
从前面我们关于描述函数的对称性的分析
我们可以看到
这是我们在计算描述函数的
这个傅里叶展开的系数的时候
A1总是等于0的
所以我们只需要算B1就可以
我们看一下如果在这个系统的
给出这样一个正弦的输入
我们看一下它的输出的函数形式
应该是什么样子的
那么它的输出主要是应该这个样子
我们一段一段的来看
比如说因为我们知道正弦函数
是从0开始
在0到二分之π的这个相角范围内
它是单调增加的
在增加的过程中
一开始从0 在幅值比较小的时候
我们针对这个特性来看
因为死区特性的特点就是什么呢
它输入比较小的时候输出为0
所以在这样一段时间以内
我们去看输出
它在一开始的一段时间内
输出是为0的
那当它增加到一定程度以后
就是说当它输出这个S的幅值
达到了这个死区的这个宽度D的时候
开始y是随着x呈现一个线性的变化
那么这个线性变化以后
我们就可以看
从这个时刻开始以后
y是随着x呈现一个正弦的变化
那么这个正弦的变化
到了另外一个时刻
就是到了这个
饱和了这个地方的时候
到这个饱和的环节的这个
限幅的这个地方开始
y输出又变成了这个限幅
它就不再随着x变化而变化
那么x从这个限幅这个地方开始
变成了一个饱和的常数的值
但是x会继续的增加
增加到二分之π这个相角以后
它又会开始减小
减小到一定程度以后
就在减小到这个
饱和限幅的这个限幅值以下的时候
在这一段 大家可以看到
因为在这一段的时候
就不再受到限幅环节的限制了
这时候y和x又呈现这样一个
线性的变化
所以在这一段区间里面
x和y是有一个线性依赖关系
也就是y也是一个正弦变化的
那到这个地方
X就小到一定程度的时候
又进入了这个死区的区间
这时候y的输出又再次的变到0
再次变到0
然后继续往下走的时候
又根据这一段特性去呈现一个
相同的类似的变化的特征
所以我们最后可以看出来
实际上这一段
它对y的输出函数
和这一段的y的输出函数
实际上在形状上是一样的
只不过它的正负差一点
所以它是一个奇函数
就是关于π这个地方
它是呈现一个奇函数的特征
所以说我们在计算y的傅里叶展开的时候
有两个参数值是非常重要的
也就是说我们在什么时候
y从0开始有一个值的变化
那么在什么时候y进入一个饱和呢
它的幅度受限
而保持一个常数
所以这两个时刻
我们要计算这两个时刻
它应该在什么地方
这两个时刻是对应于这个αd和αs
我们来看一下怎么来计算
如果x这个函数是Xsinωt
我们来看一下αd应该等于多少
αd应该等于多少
也就是说α对应的这个ωt是多少
那很显然αd就对应S的幅值
S在这个地方的值
应该是等于这个宽度D
所以Xsinωt如果等于d的话
那么ωt应该等于D除以X再取反正弦
所以αd应该等于D除以X取反正弦
那么αs怎么计算呢
我们从这个图形上可以读出来
也就是说当ωt等于αs的时候
这个X它的取值应该等于
饱和特性的这个转折点
也就是说它应该等于这个地方S
也就是说Xsinωt应该等于S
ωt等于αs
所以αs应该等于S除以X再取反正弦
当然这是一种情况
还有一种情况
就是这种情况就是说
当输入的幅值大于
这个饱和限幅的这个幅值的时候
我们再输出的时候
会看到一个消平
就是这个正弦的顶被消平了
但是还有一种情况
就是说如果这个输入的幅值
实际上比S还小
比S还小的话大家就可以看到
这时候输出的特性
实际上就不会受到这个这个饱和限幅的的影响
也就不会出现这样一个消平的现象
就是说除了死区以外
它整个在这个区间上
还是呈现一个正弦的变化
所以这时候我们再去算αs的时候
大家可以看到那就是说这个时候
就是它会光滑的运动到正弦的顶部
然后再下来
所以这时候对应的αs是等于二分之π
所以我们知道了αd知道了αs以后
就知道了后面怎么计算
这个傅里叶系数B1（X）
我们总结一下用这个表
那么这个时候
在这个具有死区和饱和特性的
非线性环节的输出
它具有这样一些分段的特征
在0到αd的时候
这是有死区作用 y的输出是0
在αd和αs之间
yt和xt之间呈一个线性变化
那么这个线性函数
我们从这儿也可以读出来
它的截距是负D
就是说这个时候
y应该等于k乘以S-D
而S我们把它的表达式代进去
就等于Xsinωt
所以K乘以Xsinωt-D
那到了这个地方以后
y开始不再变化变成一个常值
它维持在这个线性函数
到这个地方的幅值
也就是说X等于S的时候
这个幅值维持在这个值不变
就是k乘以S-D
那这个饱和到什么时间为止
从αs开始然后到这个地方结束
而这个地方大家可以看到
它实际上是关于二分之π对称的
所以这个时刻其实就是π-αs
然后从π-αs到π-αd
就是这一段
这一段函数它又呈这样一个
线性关系变化
然后又进入死区环节
这样我们就可以把0到π的这个区间
这个y的一个分段的特性表达出来
然后根据这个分段特性
我们就可以去计算描述函数
我们来看一下怎么去计算
那原则上我们去求B1的时候
应该是y（t）乘以sinωt
在整个的0到2π上去做积分
但是根据输出函数的这个对称性
我们可以看到它0到π
和π到2π是完全对称的
而在0到π我们再看一下
从中间分开两边也是对称的
也就是说从0到二分之π
和二分之π到π这两段实际上也是对称的
所以实际上我们再去做计算的时候
我们只需要算0到二分之π就可以
然后我最后算出来的结果呢
实际上由于我们只算了
整个周期的四分之一
所以最后的结果
我们再乘以一个4就可以
然后看一下从0到二分之π
从0到二分之π实际上
我们只需要算两段
因为在第一段从0到αd这个时间区间
那y的输出是0
所以我们只需要算αd到αs这一段
这一段这个输出是k乘以Xsinωt-D
以及从αs到二分之π这一段
因为二分之π在这个中间
所以在这一段区间输出是一个常数值
就是k乘以S-D
所以代进去以后
我们就可以去经过一系列的计算
那具体的怎么计算积分
这是微积分的常识
具体就不细表
那在这里边我们最后为了得到
一个比较简洁的表达式
我们用了这个αd和αs和D以及幅值
和S以及幅值的它的一些依赖关系
我们最后可以得到这样一个
相对比较简洁的表达式
那这个表达式里面我们可以看到
它是αs和αd的一个非线性函数
当然隐含着这个αs和αd
本身又是s这个函数
所以最后这个整个函数本身
它是x的一个非线性函数
所以描述函数根据定义
它应该等于B1除以X
除以X以后就会把这个X项消掉
最后我们就会得到这样一个表达式
当然这个表达式
它是隐含的是X的一个非线性函数
好 那我们来看一下
两个比较特殊的情形
因为我们考虑的这个情况
是一个比较一般的
既有死区 又有饱和
那如果在这个非线性环节里面
它只有死区没有饱和
只有死区没有饱和
那我们来看一下
它实际上就对应这样一个非线性环节
就是我不管x的幅值有多高
y和x始终呈现这样一个线性关系
实际上也就是我们可以看作
把这个饱和的转折点限幅点
把它看成无穷大
这个时候αs根据定义
αs就应该等于二分之π
好 那么α等于二分之π
我们根据前面得到的描述函数的表达式
实际上就很容易去推出来
它应该等于什么
把αs等于二分之π代进去以后
这个变成了π
然后这个变成了2乘以二分之π
就变成π sinπ等于0
所以最后就得到了这样一个表达式
它只跟αd有关系
也就是由死区对应的这个转折相角有关系
好 那我们再把αd和x的依赖关系
再代回来以后
我们就会得到这样一个描述函数
和x的一个直接的依赖关系
大家可以看到这是一个比较复杂的
非线性的依赖关系
我们再来看一下
就是说只有饱和没有死区的
也就是说在这个地方死区没有了
就是说我x从0开始变化的时候
y就已经开始随着它变化了
但是它会有一个有限的
这个饱和限幅 这个限幅值是S
那么我们也可以得到这个一般的表达式
一般的表达式
那什么是没有死区呢
实际上就是这个死区
对应的这个相角αd等于0
那这样就更简单了
就是把αd等于0代进去以后
这一项没有了 这一项也没有了
最后得到的就是这样一个
只跟αs有关系的
我们再把αs的表达式代进去以后
就会得到这样一个非线性的描述函数
所以这是一个有饱和有死区的
非线性环节的这个描述函数
我们再来看一下另外一类比较典型的
就是具有机电非线性特性的
系统的描述函数
我们来看一下这个
机电非线性特性的描述函数
也就是说开关非线性的描述函数
它的表达式是这样的
就是说x小于0的时候y等于负M
x大于0的时候 y等于正M
它的切换点在x等于0这个地方开始
那么具体到输出的波型上来讲
这个也非常简单
就是说如果这个虚线
是x等于sinωt这个正弦波形
我们看一下
因为这个y的取值
只跟x的正负有关系是吧
就是说这个时候当正弦这一部分
在0到π xt大于0的时候这一部分
y等于正M
在π到2π这段 xt小于0这一部分
y等于负M
所以y就是这样一个方波的波形
所以我们在计算B1的时候
因为这个时候我们也可以看到
y是一个单值的也是一个奇函数
所以我们在算描述函数的时候
就不需要算A1
只需要算B1就可以
那我们把这个B1的表达式代进去
由于这是一个对称的
就是说我在这个前半个周期
和后个周期对称的
所以我只需要算0到π半个周期
然后最后的结果再乘以2就可以
而在这半个周期里面
y的取值是一个常数M
所以这个算出来很简单
就是π分之4M
当然最后描述函数
我还需要B1再除以（S）
所以这个数再除S就得到了这个
一个理想机电非线性特性的描述函数
这是一个相对比较简单的表达式
那如果这个机电特性
如果更复杂一点它有一个滞环特性
这个时候我们再去看系统的输出
在正弦输入下的它的输出
它还是一个方波
但是这个方波会发生一些延迟
会发生一些延迟
就是和原来这个正弦信号
会有一些延迟
为什么会有延迟呢
我们可以从这个非线性环节的
输入输出特性上来看
我们知道滞环非线性特性
实际上它可以看成是机电特性的
一个推广
但是它的开关
它的开关时刻在什么地方发生开关
是和这个输入信号的
这个变化趋势有关系的
就是说如果输入信号
是由小变大的时候
那这个开关是在x等于h这个地方
发生开关
从负M跳到正M
但是如果x是从大变小的时候
它的开关的地方是不一样的
它是在负h的这个地方发生开关
所以说我们去看这个情况
就是说如果虚线表示是x
就是输入信号
那么当 我们从这儿可以看到
s从0开始
只有当s增加到h的时候
在0到h的这个区间内
这个输出y还是负M
只有当s大于h的时候呢
输出才变成正M
所以我们把它相应的y就看成
就在这个s从0到h
这一段时间内相应的y是负M
大于这个值以后
它变成正M
好 那这是一段上升的
因为上升的曲线s上升曲线
我们要看这一段
那当s 当这个相角大于二分之π以后
st就变成下降的
那么下降以后yt怎么依赖于s
我们要看回来的这一段
我们可以看到在相当大的一段范围内
yt还是M
但是当xt下降到小于负h的时候
也就是在这个地方
那么yt从正M变成负M
也就是说在地方从正M变成负M
所以发生这样一个情况
所以从整体上来看呢
yt它还是一个方波信号
和这个理想的继电特性一样
还是有方波信号
但是这个方波信号整体的往右
移动了一段距离
而这个移动的距离
是和这个滞环的宽度是有关系的
那分析了输出的一些基本特征以后
我们可以看一下输出函数的具体表达式
它是表达成这个样子
那么在一开始的一小段时间内
从0到t1 这个切换时间以前
输出的取值是负M
那么在之后的一段时间
在t2时刻以前它的取得是正M
那从t2到这个周期的结束到T
它的取值是负M
那么这个切换时刻t1是多少
我们可以根据这个输入输出特性
这个相互关系来表达
我们知道什么时候发生切换
也就是说xt 输入信号xt等于h的时候
等于这个滞环阈值的时候
它发生切换
那么xt的表达式是什么
是大X乘以sinωt
所以我们可以列出来
xsinωt等于小h
等于这个时刻它发生切换
所以我们根据这个表达式可以算出来
ωt1应该等于小h除以大X再取反正弦
当然我前提是大X要比小h大
好 那下面我们来计算
这个输出函数的傅里叶展开
由于我们可以看到
这个函数这个非线性环节
它是一个多值的非线性环节
而对于这样一个非线性环节
我们可以看到输出
它具有我们前面讲的半波对称特性
所以我们在算它的复列系数的时候
A1 B1都是要算的
都是要算的
我们先算A1 A1呢
在算A1的时候
同样也是根据这个半波对称的性质
我们只需要算半个周期
然后把结果乘以2
也就是我们这面这个2
乘以2就可以
在这个半个周期里面呢
我们分两段
一段是在0到t1 yt的取值是负M
那另一段是从t1到π这个地方
这个yt的取值是正M
这样我们最后计算出来
这个A1的取值是π分之4M乘以sinωt1
然后B1的计算也是同样
它的不同的地方
就是这个积分和里面呢
cosωt变成sinωt
但是yt的取值以及它的计算区间
还是一样的
最后的结果是π分之4M乘以cosωt1
那我们再把ωt1和x的依赖关系
代进去以后
最后我们就可以得到N这个描述函数
和X的依赖关系
那我们可以看到呢
它实际上是一个复函数
其实它的实部和虚部都是不为0的
我们再来看一个更复杂的
就是说这个系统里面
除了继电特性滞环特性以外
还加上一个死区特性
那这样一个特性以后
我们去分析一下
具体的分析我就不再细讲
我们去分析一下
这个时候输出的函数里面
它也呈现这样一个方波特性
但是这个方波之间
两个半周期的这个切换之间
会加入一段的死区
具体的波形是根据这个输入输出特性的
这样一个继电死区滞环的非线性得来的
它的表达式我们可以去计算一下
那它在这个t1到t2这个时刻之间呢
取的是正M
在t1加上ω分之π
和t2加上ω分之π
在这个区间取值是负M
在其他的时间区间里面
它的取值是0
这是由死区造成的
好 我们来计算一下
这个我们知道了输出的波形
再来算描述函数
实际上计算过程是完全一样的
但是在这里面由于它的计算
相对比较复杂
因为这个时候t1和t2它和这些参数
以及和输入幅值
有一个比较复杂的非线性依赖关系
所以具体的过程
我们就不再计算了
这里面给出它的最后结果
N（X）是这样一个x的非线性的关系
依赖关系
其中这个系数a1
还是有一个也是非线性的依赖于x的
输入的幅值
所以这个非线性函数
是一个非常复杂的非线性函数
那这是一个极坐标形式的表达形式
我们也可以把它写成这样一个表达形式
这种这里面的两个参数
θ1和θ2和x的依赖关系
也是一个非线性依赖关系
好 下面我们来看一下间隙非线性
间隙非线性和滞环有点像
但是它在增加的一定的时候
它这个关系并不是一个继电的切换
开关切换的
而是变成一个线性特征
变成一个线性关系
当输入的值从小 由小变大
切换到由大变小的时候
那么输出在一段时间会保持常值
然后保持常值以后
又会形成一个往下的
一个线性依赖关系
这是一个间隙非线性的特征
对于这个间隙非线性依赖特征
我们去看一下它的这个输出函数的
它的特点
首先我们可以看到
在这个输入函数xt的
前四分之一个周期以内
我们知道在前四分之一个周期呢
xt是由小变大的
所以我们再去看输出的话
是要看这一段曲线 在这一段曲线
在这一段曲线
它实际上是一个线性的依赖关系
所以我们再看这一段
在0到二分之π这一段的时候
输出yt也是一个正弦函数的形状
但是由于这个截距
它有一个平移
那么当输入过了二分之π以后
相角二分之π以后
输入xt是由单调递增
变成一个单调递减
所以这时候我们再去看输出的时候
就要有一个切换
也就是说当输入从单调递增
变成单调递减的时候
在开始的一段时间内
输出会维持一个常值
那维持到一定常值以后
当数值减小到一定程度以后
输出和输入再次成一个线性依赖关系
只不过这个线性依赖关系
和原来这个线性依赖关系
不是同一个关系
所以从这儿开始
在输出维持一段常值以后
它又开始呈现一个近似正弦的形状
那这个正弦的形状
一直维持到xt单调递减的这个阶段结束
也就是到二分之3π这个地方
从二分之3π以后呢
x又变成单调递增
所以这个时候我们又要从这
再往这边来走
所以一开始又是呈现一个
yt又呈现一个常值
然后再呈现一个正弦变化的形状
所以总体来讲
这就是输出的一个幅值
我们把它写出来以后
就是说它在有些时间区间内
和xt是一个线性依赖关系
在有些区间内
它是一个常数值
线性关系常数值 线性关系
那根据这个表达式
具体的计算过程
是一个比较繁琐的过程
我们就不再细讲了
但是我们只要知道了这些表达式
只要确定了t1
和输入幅值x的依赖关系以后
我们总可以把描述函数
通过求解傅里叶系数的这个过程
把它求解出来
它是这样一个比较复杂的非线性依赖关系
那这是我们通过几个例子
去学习了描述函数的
一般的求取过程
那这个过程实际上没有什么技巧可言
就只要我们知道了
这个非线性环节的输入输出特性
我们总可以按部就班的
按照傅里叶级数的性质
去进行求解
那么求解出来
这个描述函数的表达式以后
我们从系统分析和设计的角度来讲的话
我们总是希望通过图形的方式
来看一下这个描述函数
是长的什么样子
那么去看它的样子的话
一个最直观的想法就是说我们看
x变化的时候
N（X）描述函数是怎么变化的
但实际上在工程运用的时候
我们很少去看N（X）本身的变化
后面我们会学到
在分析非线性系统稳定性的时候
我们更经常的看是它的负导数特性
也就是说我们求解出N（X）以后
我们取N（X）的倒数再加一个负号
我们看这样一个s的非线性函数
它的变化趋势是什么样的
由于N（X）一般将是一个复数
所以说我们每取定
一个输入信号的幅值x的时候
那么负的N（X）分之一
它都是复平面上的一个点
所以说我取X取不同的取值
从X从0变化到无穷大的时候
我们把所有的负N（X）分之一
这些复平面上的点把它连起来
就会形成这样一条轨线
这个轨线就叫做负倒数特性
那么负倒数特性我们可以看到
根据我们前面求解出来的一些
典型的非线性环节的描述函数
根据这个结果
我们可以把负倒数特性画出来
我们可以看到对于这些单值函数
开关非线性 死区非线性 饱和非线性
由于N（X）它本身取值都是实数
所以这些负倒数特性
都是在实轴上
只不过有些是往右边走
有些是往左边走
有些是从原点出发
有些是到了一个有限值结束或者出发
那对于这种具有滞环或者间隙的
非线性特性的话
一般来讲这个负倒数特性
不一定就在实轴上了
它可能是在复平面上任意一个位置
比如说间隙非线性特性
我们最后把它的负导数特性画出来
就是这个样
那这个负导数特性
对于我们后面非线性系统的稳定性的分析
是非常有用的
好 我们这节课就到这里
-绪论
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-拉普拉斯变换定义及性质（一）
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-拉普拉斯变换定义及性质（一）--作业
-拉普拉斯变换定义及性质（二）
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-静态误差（二）：静态误差与输入
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-静态误差（五）：静态误差的物理和理论解释
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-动态性能指标
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-控制系统的校正
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-控制系统的校正--作业
-频率特性引言
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-频率特性函数
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-频率特性的图像
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-基本环节的频率特性
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-复杂频率特性的绘制（一）
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-复杂频率特性的绘制（二）
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-复杂频率特性的绘制（三）
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-闭环频率特性
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-Nyquist稳定判据（一）
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-Nyquist稳定判据（二）
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-第六周：频率响应法（二）--Nyquist稳定判据（二）
-Nyquist稳定判据（三）
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-第七周：根轨迹方法--参数根轨迹和根轨迹族
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-滞后校正装置的特性--作业
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-基于Bode 图设计滞后校正装置
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-基于根轨迹法设计超前-滞后校正
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-基于Bode图设计超前-滞后校正
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-基于Bode图设计超前-滞后校正--作业
-开环系统的期望频率特性
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-开环系统的期望频率特性--作业
-反馈校正
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-第九周 系统校正（二）--反馈校正
-直线倒立摆控制系统实验
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-非线性系统概述
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-第十周 非线性系统分析（一）--非线性系统概述
-非线性系统的典型动力学特征
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-非线性系统的典型动力学特征--作业
-描述函数法定义
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-描述函数法定义--作业
-描述函数法求取
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-描述函数法求取--作业
-基于描述函数的稳定性分析
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-第十周 非线性系统分析（一）--基于描述函数的稳定性分析
-非线性系统自持振荡的分析
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-第十周 非线性系统分析（一）--非线性系统自持振荡的分析
-相平面与相轨迹
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-相平面与相轨迹--作业
-相轨迹的绘制方法
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-相轨迹的绘制方法--作业
-奇点
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-奇点--作业
-线性系统的相平面分析
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-线性系统的相平面分析--作业
-非线性系统的相平面分析
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-非线性系统的相平面分析--作业
-极限环及其产生条件
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-第十一周 非线性系统分析（二）--极限环及其产生条件
-非线性系统分析小结
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-非线性系统分析小结--作业
-采样控制系统概述
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-采样控制系统概述--作业
-脉冲采样与理想采样
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--采样系统
-脉冲采样与理想采样--作业
-采样定理
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-采样定理--作业
-零阶保持器
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-零阶保持器--作业
-z-变换
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-z-变换--作业
-脉冲传递函数（一）
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-第十二周：采样系统--脉冲传递函数（一）
-脉冲传递函数（二）：求脉冲传递函数的一般方法
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-第十二周：采样系统--脉冲传递函数（二）：求脉冲传递函数的一般方法
-z-平面上采样系统的稳定性分析
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-z-平面上采样系统的稳定性分析--作业
-w-平面上采样系统的稳定性分析
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-w-平面上采样系统的稳定性分析--作业
-采样控制系统的时域分析
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-采样控制系统的时域分析--作业
-修正的z-变换
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-修正的z-变换--作业
-考试环节--期末考试
-考试环节--期中考试
