当前课程知识点：自动控制理论（1） > 第五周：频率响应法（一） > 复杂频率特性的绘制（一） > Video
前面我们介绍了
一些基本的单元的
频率特性的绘制
从本节开始
我们介绍一下复杂系统
该如何绘制它的频率特性
根据之前我们介绍过的一些原则
由于我们采用了
对数这样一个运算的方式
就使得我们在绘制
复杂系统的时候
会获得很多的方便
那么接下来我们看一看
它的绘制原则是什么样的
对一个复杂系统
当我们想绘制
它的近似对数频率的时候
要遵守以下一些原则
第一个
要获得复杂系统的传递函数
并把它变为标准型
第二步将我们的这个传递函数
分解为基本的单元相乘的形式
第三点将这些单元
按照转折点频率的大小进行排序
接下来分别绘制
各单元的近似幅频特性和相频特性
最后将幅频特性
和相频特性逐次相加
这么讲应该是比较的枯燥
我们还是要围绕
一个具体的例子来进行展开
那同时我们还强调一点
根据对数频率特性
也可以较为容易的画出极坐标图
我们看这样一个例子
这个传递函数还是比较复杂的
由于它已经画成了一个标准型
同时已经替我们进行了
基本单元的分解
我们可以看看
它是由哪些单元所组成的
在这个对象中包含了一个积分
一个一阶微分环节
和三个惯性环节
所以我们就分别的
把这些环节依次
画入他们的频率特性
在此我们主要是画的是
它的近似的频率特性
在画之前
我们要把这些单元
按照转折点排个序
比如第一个是积分
由于积分是很靠左边
然后下一个单元
是惰性环节10s+1
因为它的这个t分之一是0.1
0.1更靠左一些
那么接下来是一阶微分环节
也就是0.5倒数是2
接下来是下一个惰性环节
0.1s加一分之一
0.1的倒数是10
紧接下来是0.01s加一份之一
这也是惯性环节
它的这个转折点是0.1分之一
也就是100
排好以后我们开始分别画
各个单元的它的近似的幅频特性
和相频特性
第一个是积分单元
在积分单元里面
我们这里面为了简化起见
我们不再把这个比例和积分分开
我们直接画s分之100
根据前面介绍一个积分单元
它的对数幅频特性应该不是近似
它本身就是它和近似一样的
它的对数幅频特性是一条直线
斜率为-1或者-20
在这里我们表示为-1
是一条直线
这条直线与横轴交于一点
而交于一点刚好对应着
它的这个比例系数k也就是100
这是积分的一个直线情况
它对应的角度是-90度
第二一个单元是一个惰性环节
我们围绕这个惰性环节
我们知道一个惰性环节
或者一个惯性环节
它的近似的对数幅频特性
是一条折线
它的折线左边是在横轴上
值为0的一个直线
在转折点后
变成一个斜率为-1的一条直线
一直向下的直线
那么下一个环节
是一个一阶微分环节0.5s加1
那么它转折点是在2
它的近似的对数的幅频特性
是一条折线
折线左边是在横轴上
右边也就在转折点的右边
是条向上的斜率为+1的一条直线
同时它的相位特性
是从0度到正2分之π
那么刚才的这个惰性环节
它的相位特性是从0到负2分之π
也就是0度到-90度
那么同样我们根据这样一个规则
我们计划画下一个单元
也就是0.1s加一分之一
这是一个惰性环节
那同样我们可以画出
一条折线方式的
近似的对数幅频特性
和它的相频特性
也就是0到-90度
同样对于最后一环节
0.01s加一分之一
它的近似幅频特性是一条折线
从0到一个斜率为-1的斜下的直线
和0到-90度的一条相频特性曲线
那么接下来
我们就可以利用前面介绍过的
关于这个对数幅频特性的
一些运算原则
我们来画整个这个系统
它的频率特性
我们根据之前介绍的原则
如果我们的单元是相乘在一起的
或者它们串联在一起的话
那么它整体的频率特性
相当于各自的频率特性的加和
无论是相频特性
还是幅频特性都遵守同样的原则
我们先看一下
幅频特性的运算过程
既然相加那我们就从左开始
逐步的一个一个加上去
最左边开始它是积分
所以积分部分先不变
为什么不变呢
因为所有的单元
它在第一个转折点之前
它都是0
都是0
这点大家一定要注意左边都是0
所以当我们从左往右加的时候
当我们没有遇到转折点之前
它对应单元是不起作用的
所以在第一转折点之前
我们只遇到了一个积分
所以最左边的图像
就只有积分部分
所以是一条斜率为-1的一条直线
到了第一个转折点
我们遇到了第一个惰性环节
之后这个
我先把这个积分部分画出来
到了第一个转折点
我们遇到了一个惰性环节
它开始出现一条向下的直线
那我们就需要把这条直线
与之前的这条直线相加
那么实际上之前的这条直线
就变成了一条斜率为-2的直线
那么这条斜率为-2的直线
一直作用到下一个转折点
而下一个转折点刚好对应的
是一个一阶的微分环节
所以我们要出现一个
向上的一条直线又把它加上去
那么同样之前是斜率为-2一条直线
现在又加上
一个斜率为-1的直线
那么总和就是斜率
为-1的一条直线
那么这条直线
一直作用到下一个转折点
也就是对应着下一个惰性环节
0.1s加一分之一
它转折点是10
那么到这一点以后
我们又开始加上
一条斜率为-1的向下的直线
所以它整体的斜率又变成了-2
那么到了下一个转折点
也就是100 频率100的时候
由于我们要再增加一条
向下的斜率为-1的直线
所以总的斜率就变成了-3
那么到此为止我们就画完了
整个一个复杂系统的
近似的幅频特性
这是一条一路向下的一条折线
按照同样的方式
我们去绘制一下
它的这个相频特性
那么相频特性应该讲
没有这么严格的一个画法
我们只能根据这个曲线的走势
做一个大概齐的描述
从最左开始
由于对应的是一个积分环节
它角度是-90度
那么从-90度开始加起
由于刚开始出现的
是一个惰性环节
所以我们它从-90度开始
开始奔着-180度开始去
然后遇上了一个微分环节
角度开始向上走
我们要掉头向上
之后连着两个惰性环节
所以我们的相位
就不断的往下
统一画起来之后
我们会取得这样一条曲线
那么这条曲线中
我们先提醒一句大家
我们特别关注的一个点
就是相频特性与-180度交点
至于为什么
我们会在后面的讨论中
大家会有所理解
相频特性的绘制
应该讲不是特别严格
大家只是需要
根据走势来大概的画一下
但是我们特别关注一点就是
系统整体的相位的变化区间
比如对这样的系统来说
它的总的区间是
从-90度一直到-270度
那么为什么会出现这样的结果
其实我们既然我们知道
整个的相位是
由各个单元的相位加合而成
如果我们知道每一个单元
它的相角变化范围
我们就可以直接来得出
它整体的一个相位的变化过程
比如说我们知道第一个单元积分
它角度是-90度
三个惯性环节的角度
都是从0到负二分之π
而积分环节是从0到正二分之π
那么如果我们
把所有的范围加在一起
我们就可以自然得到一个结论
就是总体的角度变化范围
是从-90到-270
那么这个变化范围
是一个非常重要的规律
大家一定要学会如何去计算
那么到此我们就画了
整个一个复杂系统的
近似的相频特性和幅频特性
那么围绕幅频特性
我们需要指出
一个非常重要的一个点
就是所谓的剪切频率
那么剪切频率就是这个系统的
幅频特性与横轴的交点
我们称为剪切
它的另外一个名字叫穿越频率
这个更直观一点
就是穿越实轴的一个频率
这个频率有几方面的含义
它第一它代表着在这个频率点上
它的对数幅频特性等于零
也就是意味着在这个频率的左边
左边它的对数频率大于零
如果说不取对数的话
也就是它的频率是增加的
是频率是大于1的
也就是相对于说
对于在剪切频率相左的频率
它的系统是对输入频率是增强的
而过了剪切频率之后
它的系统
对于输入的频率信号是抑制的
因为它小于1
所以它的对数是小于零
所以剪切频率代表着系统
对于不同的频率的
一种扬抑的一个关系
对于我们后面的讨论
具有积极重要的作用
我们根据这样一个对数图
我们可以大致的
画出它的极坐标图
根据前面的分析我们知道
它的这个随着ω从0到正无穷
它的幅值是从无穷大一直到原点
所以它的这个幅值是从无穷到0
而角度我们根据前面的分析
我们发现它的整个变化范围
是从-90度到-270度
所以它跨越了二三象限
也从三象限一直到二象限
最终收敛于这个原点
中间由于有一些相位的变化
我们还有一些起伏
那么为什么我们会关注-180这个点呢
是因为我们-180这个点
在极坐标图上就对应着
它的极坐标图与负实轴的交点
我们后面的讨论会发现
这个点是否大于1非常重要
前面提到了剪切频率
对于系统的后续的分析
具有积极重要的作用
所以我们有一个很重要的目的
就是要算出剪切频率
到底等于多少
我们有多种做法
我们先介绍一种叫作图法
我们再观察这个系统这个曲线
我们发现这里藏着一些几何关系
通过这几何关系
我们可以算出来ωc
我们看看它这个关系大概怎么来罗列
首先我们根据一个简单的关系
这个线段的长度等于两段之和
分别是这一段
和它们下面一个小段
而这个小段又等于这一段
也就意味着总的高度
等于这个高度加上这个高度
根据这样一个几何关系
我们可以列出一个等式
首先这个总的高度如何来运算
我们知道
我们知道这两个点
0.1和这个100两个点
同时我们也知道这个直线的斜率
我们就可以算出它的高度来
也就是它的这个长度
乘上斜率就是它的高度
显然这个长度怎么算呢
因为我们知道我们的横轴
是一个对数的一个频率
所以它的长度就是
lg100减去lg0.1
而它的斜率是20
因为对直线来讲是-20
但是我们在算几何关系的时候
我们可以采用
它的正数的表达方式也就是20
所以就是20倍的lg(100/0.1)
因为lg100减lg0.1的话
就等于lg(100/0.1)
然后我们再算一下
这两个线段的长度
第一个线段长度是相当于
距离从2到0.1的距离乘上它的斜率
这两个距离等于lg2减lg0.1
斜率是它这写的-2
或者等于是-40
我们在算几何关系的时候
可以用+40来代替
相当于40倍的lg(2/0.1)
那么同样的这个高度
它等于距离乘上对应的斜率
距离就是lgωc减lg2
也就是lg(ωc/2) 斜率是20
所以我们得出20lg(ωc/2)
经过简单换算
我们求出剪切频率等于5
可能有的同学认为
这个计算过程有些复杂
不容易找到几何关系
我们再给一个另外一个求法
我们称为叫计算的解法
首先我们大概确认一下
剪切频率是处于在2到10之间
但是如果我们不知道的话
我们可以通过2到10的代入
可以发现如果一个代入2以后
它是大于0代入10又小于0
那么说明剪切频率
就位于2和10之间
接下来我们根据之前的近似原则
我们看一看
我们有没有一种更快的表达方式
根据近似原则
如果转折频率
在剪切频率左边的项
比如说转折频率
我们知道剪切频率在2到10之间
那么就意味着像这一项
ts 10倍的s加一分之一
它的转折频率是0.1
那么显然它的转折频率0.1
在剪切频率的左边
那对于这一项而言
如果我把转折频率代入的话
那么它的总的近似原则
就是T的jωc加1约等于Tjωc
而如果转折频率
在剪切频率的右边的项
那么这个对应关系就约等于
比如是这一项
这一项 相对这一项而言
它的转折频率是
转折频率是100
也就意味着转折频率
要在剪切频率的右边
所以对这一项而言
如果我们代入ωc的话
它这一项就会约等于1了
也就是说实际上我们就可以
把一些在转折频率左边的项
都给它扔掉
就是在我们的例子中
像0.1s加一分之一
和0.01s加一分之一
我们可以忽略
因为就只剩1了
我们保留剩下的项
同时把1约掉
这样一来我们就可以得到
这样一个近似的一个关系
分子单元的模
可以写成0.5ωc乘100
因为对于这一项而言
它转折频率在剪切频率的左边
它的分母单元只剩下ωc
和10倍的ωc
那么根据剪切频率的定义
在剪切频率处
它的幅值特性为1
对数幅频特性等于零
也就是说它的分子的模
等于分母的模
所以我们可以列出这样等式
100乘上0.5ωc
等于ωc乘上10倍的ωc
很容易得到结论ωc等于5
那么与之前的作图法
得到完全一样的结论
那么如果我们非常熟悉
这样一个变换关系的话
我们可以不用作图
可以直接给出结论来
大家可以回去可以总结一下
它的主要的关系
就是把那些靠后的
靠后的一些单元扔掉
只保留前边单元
而保留前边单元的时候把1扔掉
我们再举一个例子
为了加深印象
我们看这样一个系统
这个系统与之前相比其实简化了
它少了一个积分单元
它只是由三个惰性环节
和一个微分环节所组成
那么在画这个图的过程中
我们可以采用一个比较快的画法
其实大家已经比较熟悉了
我们看有没有可能直接画出来
首先我们把它的
所有的转折频率排个序
这样我们可以看到
它的这个转折频率
包括0.05 1 2和10一共有四个点
最左边由于没有了这个积分环节
所以最左边实际上就是一个常数k
也就在我们的例子中是40
所以在最左边
它的高度就是20倍的lg40
接下来我们就可以从最左边开始
逐一的去来画这个
整个这个频率特性曲线
那么到了第一个转折点0.05
0.05对应的是20s加一分之一
也就是对应的是一个惰性环节
所以它就变成了
一个斜率为负1的一条直线
因为之前是0 斜率是0
加上一个惰性环节
就会变成一个负1
那么到了下一个转折点
也就是1的时候
1对应的是一个微分环节
微分环节会把这个直线
向上折一个单位
也就是斜率
加上一个斜率为向上的
一个正1的一个直线
那么与之前的负1相抵消
就变成了一个斜率为0的直线
那么到了2
我们又遇到了一个惰性环节
又变成了一个斜率向下的
斜率为-1的直线
到了10
这也是一个惰性环节
所以我们继续把直线向下折
变成了一个斜率为-2的折线
所以大家可以
通过这例子可以发现
我们如果一旦
我们熟悉了每个单元的
它的这个频率特性的话
我们可以非常方便的快速的画出
整个复杂系统的一个
它的近似的幅频特性
那么相频特性我们可以采用
类似的一个原则
从最左边开始
左边由于没有积分
所以从0度开始
首先遇到的是一个惰性环节
所以我们从0到-90度开始往下画
那么接下来
我们遇到了一个微分环节
微分环节的作用是0到+90度
所以我们又开始拐弯向上画
那之后到了2以后
又连续遇到了两个惰性环节
所以继续掉头往下
所以一直画到-180
那么为什么是-180
我们回忆之前的原则
我们的总的相位变化范围
是由每一个单元的变化范围组合而成的
由于我们有三个惰性单元
也就是三个单元的变化范围
是从0到-90度
同时还有一个微分环节
是0到+90度
那么加在一起我们的变化范围
就是0度到-180度
同样我们需要求解一下ωc
那么怎么求
我们可以利用两个方法分别计算
第一个是作图法
我们可以观察一下
这个总高度分别等于这个高度
加上一个小的这个高度
总高度等于20倍的lg40
中间一半这个高度等于
这个从1到0.05的距离乘上斜率
也就是20倍的lg1比0.05
而这个小的高度是距离是ωc到2
斜率应该是20
所以它等于20倍的lgωc比2
那么经过换算可以求得ωc等于4
那么对应的它的相角为-98.5度
那么同样我们可以用快速解
根据之前介绍的原则
ωc也就是剪切频率
位于2和10之间
也就意味着
我们可以忽略在ωc右边的项
具体而言
我们可以忽略这个最后一项
0.1s加一分之一
同时把左边的项都忽略1
我们就可以迅速得到这样一个表达式
分子变成40倍的乘ωc
分母变成20倍ωc乘上0.5ωc
那么我们同样可以得到相同的结论
它对应的极坐标图如下
大家可以自己去验证一下
是不是这样一个关系
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-Nyquist稳定判据（二）
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-z-变换--作业
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-第十二周：采样系统--脉冲传递函数（一）
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-第十二周：采样系统--脉冲传递函数（二）：求脉冲传递函数的一般方法
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-考试环节--期中考试
