当前课程知识点：自动控制理论（1） > 第六周：频率响应法（二） > Nyquist稳定判据（二） > Video
本节我们结合具体的例子
来介绍一下Nyquist稳定判据的使用
首先看第一个例子
它的开环系统传递函数
由该式表达
这个系统并不复杂
是由三个惯性环节串联而成
它的比例系数K暂时定为20
根据Nyquist稳定判据
为了能够实现
对于闭环系统稳定性的判断
我们首先要
把开环系统极坐标图画出来
根据之前我们讲述的一些知识
我们是很容易画出
这个开放系统的极坐标图
它的ω等于0的时候
对应的是一个在实轴上的点
随着ω变到无穷
它的这个曲线
是从0一直变到一个原点
总的角度范围是负270度
因为它是由三个惰性环节所组成
每一个环节是0到-90
所以一共是-270度
也就意味着它的极坐标图
是跨越了四三二象限
最后是以-270度收敛到原点
我们知道要想使用判据
我们必须要画出完整的
从负无穷到正无穷的
全部的极坐标图
我们之前画的坐标图
是从ω等于0到正无穷
所以我们还要补全
从负无穷到0的部分
而负无穷到0的部分
是与0到正无穷的部分
是共轭的
也就是相对于实轴对称
所以我们可以容易的
画出一个红色的曲线
与黑色曲线相对称
接下来我们就让频率值
从负无穷变到正无穷
我们用一个红点
来代替它在这个极坐标图上的一个
运动的一个过程
我们仔细观察从-1点
指向这个点的矢量的变化情况
或它的旋转情况
我们用个动画来表示整个过程
大家可以看到当这个红小球
沿着这个轨迹
完整转完一圈的时候
我们从-1
指向这个小球这个矢量
它实际上没有旋转
尽管中间有一些上下的波动
但总的有效的旋转圈数是0
也就是说根据Nyquist稳定判据
它的N等于0
同时我们知道
开环系统的不含有右半平面的根
也就是不含有不稳定根
所以它的P就等于0
所以根据Nyquist稳定判据
它的Z也等于0
Z等于0意味着
它的闭环是不包含有
在右半平面的根的
所以它的闭环系统是稳定的
接下来我们看第二个例子
这个例子与之前的例子1
在形式上是完全一样的
它的唯一区别
就是把K从20变成100
放大了5倍
那么所谓放大5倍意味着什么
意味着整个直坐标图
它的形状基本没有太大变化
但是整个被拉伸了5倍
那么拉伸效果使得
我们这个极坐标图包含了-1
同样我们画出它对称的
或者是共轭的
从负无穷到0的部分
红色部分
如果我们仍然
完成之前相同的过程
从-1点指向
这个极坐标图的某一个点
随着极坐标图这个点
从负无穷到正无穷
那么从-1指向的这个矢量
就会旋转两圈
所以说N等于2
同样P还是等于0
我们得出Z等于2
Z等于2意味着什么
意味着当前这个开环系统
如果做单位负反馈闭环的话
它的闭环有两个根在右半平面
这就意味着它的闭环系统
是不稳定的
从这个例子
我们可以总结一个规律
开环系统的稳定与否
和它的极坐标图
是否包含-1有一定的关系
如果包含-1的话
系统就会不稳定
我们再看一个特殊的例子
在这个例子中
我们出现了一个特殊的环节
也就是积分环节 暂时K等于2
我们说过一个D形围线
要包含所有的W（s）的所有的这个点
但是不能经过它的一个点
在这里积分就意味着
我们包含有一个
S等于0的一个极点
也就意味着我们开环系统
有一个极点在虚轴上
也就是在我们的
之前提到的D形围线上
所以这样一个D形围线
我们是无法应用
Nyquist稳定判据的
所以一个自然的想法
就把这个D形围线做一个改造
它的改造方式就是在原点附近
它的极点在原点
所以原点附近
我们挖一个很小很小的槽
也就是这个D形围线
中间把那个原点抠出去
也就是当这个S从负无穷
进原点的时候
会走一个很小的半圆
这个半圆的表达式
我们可以写成这样一个式子
它的幅值是ε是一个极小的量
然后是一个半圆表示为e的jθ
θ就从负二分之π
旋转到正二分之π
那么这样一来
针对这个改造后的这个D形围线
我们就不包含有S
等于0这个极点了
我们仍认为P等于0
接下来我们针对这样一个曲线
我们看看
如何运用Nyquist稳定判据
首先我们观察一下
当频率从0-到0+
也就是当从0-到0+
旋转控制中
它对应的系统
将发生什么样的变化呢
我们可以发现如果
把系统在0-到0+的
附近区域进行描述的话
它的原系统将退化成
一个只含有积分环节的一个系统
如果它的这个旋转的
小半圆的表达式是ε的e的jθ的话
当它θ从负20π
变到正二分之π的时候
如果我们映射到一个
映射到我们的
这个开环系统的平面
就意味着
我们要对积分的取一个倒数
而取倒数的结果就会证明
它的G0沿无穷大半径
从正二分之π变为负二分之π
也就是说我们需要在这种情况下
要对它的这个从0-到0+
我们要补全一个大的半圆
从正二分之π到负二分之π
相当于从0-到0+
顺时针转半圈
是这样一个情况
那么根据我们的这个图
我们画一下它的这个极坐标图
对当前这个函数而言
它包含有一个积分
包含有一个积分
和两个惯性环节
所以它的极坐标图
大概可以表示为这样一个形式
从负二分之π开始
最后以负二分之π收敛于原点
同样它的共轭部分
是由红色线来表示
那么红线的远端指向的是0-
而黑的这个极坐标图
指向的是0+
所以从0-到0+
我们根据之前的分析
需要补全一个大的一个半圆
根据这样一个图
我们发现它没有包含-1点
所以当这个点从负无穷
到正无穷旋转的时候
从-1指向的这个矢量没有旋转
所以是N等于0
那么由于P等于0
所以我们可以推出Z等于0
也就意味着
对于当前这一个开环对象
它的闭环系统是稳定的
同样我们看下一个例子
它的结构不变
但是把比例系数放大到20
在这种情况下
新的极坐标图
就把-1点包含在里面了
我们做类似于例2的一个分析
我们可以发现在现在这种情况下
同样当ω从负无穷
到正无穷变化过程中
-1指向了这个极坐标图点的
这个矢量会旋转了两圈
所以N等于2 Z等于2
可见虽然系统中
包含了一个零极点情况
有包含一个积分的情况
闭环的稳定
仍然可以从其开环极坐标图
是否包含-1点来判断
接下来看一个
稍微单元比较多的情况
这个开环系统一共包含了
五个惰性环节和两个微分环节
我们可以画一下
它大概的这个对数的相频特性
和对数的幅频特性
由此再来画它的极坐标图
由于它的比较复杂
如果直接画极坐标图
可能会不容易一眼看出来
所以我们可以先从它的
对数幅频特性开始画起
假设它的所有的转折频率
按照如下的规则进行排序
也就是先是T1 T2
然后是T3然后再是T4 T5
也就是T3位于T2和T4之间
根据这样一个分布规律
我们从左开始画
首先是它是一个横的直线
斜率为0的直线
因为我们没有积分环节
所以它是一个水平的一个直线
先遇到的是一个惯性环节
所以它斜率从0变成-1
紧接着呢遇到两个惯性环节
从-1变成了-3
又遇到了两个微分环节
从-3又变为-1
接着呢又是两个惯性环节
所以相应的变成-2和-3
我们画一下它的这个相频的曲线
首先从0度开始因为我没有积分
所以从0度开始
开始的时候
我们遇到的是三个惰性环节
所以从0度一直向-270进行逼近
在快到270的时候
我们遇到了两个微分环节
所以又回到了
270又回到-90的方向 进行逼近
最后又由于出现两个惯性环节
所以我们再一次向-270进行逼近
总的相位变化是从0度到-270度
根据这样一个曲线的方式
我们可以发现它与-180度
一共有三个交点
如果我们按照
这样一个对数的幅频特性
我们可以画出对应的极坐标图
我们发现它具有这样的形状
它始于一个实轴
最终三次与负实轴相交
最后以-270度收敛于原点
那么这样一个情况
我们发现如果判断
它系统闭环的稳定性
我们就要看-1点
和整个图之间的关系
假设我们还要
把共轭部分补全的话
那么这个图比较复杂
我就没有在这里标出来
那么大概大家可以去验证一下
当-1点位于A和C的时候
系统其实某种意义上讲
是没有包含这个-1点的
所以在当-1点
位于A点和C点的时候
闭环是稳定的
但是如果-1点位于B和D点
系统就是不稳定
那么这里比较
难以理解的是-1的点
位于C点的情况
大家回去可以用笔量一下
看看当系统从ω
从负无穷到正无穷变化的时候
从-1点指过去的这个矢量
它是不是旋转是0圈
因为开环系统中
是没有不稳定的极点的
大家可以验证一下
尽管它发生了
多次反复的这个旋转
但是总的有效圈数仍然是0圈
接下来我们看一个
非最小相位系统的例子
那么这个例子在之前
我们已经研究过
我们也画出它的
它大概的这个对数的
这个幅频特性和相频特性
根据这个特性
我们可以很容易
画出它的极坐标图
它大概是这样一个形式
它从正二分之π开始
最后变成二分之三π
同样的我们
把它共轭的部分也画出来
画成曲线部分
我们注意到
它在里面包含了一个积分
那么包含积分就意味着
我们需要从它的0-的部分
到0+的部分
要补全一个大的半圆
也就是从0-
到0+顺时针转半圈
我们画好以后我们会观察一下
在这种情况下
从-1点指向这个极坐标图所代表的矢量
会如何旋转呢
假设我们的频率
是从负无穷到正无穷
那么就从这点开始
按照这样一个顺序进行旋转
大家可以试一下这样旋转之后
我们会发现这个整个这个矢量
它的旋转是逆钟向旋转了一圈
而逆钟向旋转一圈
你可以等效为顺钟向旋转负一圈
所以N等于-1
而我们知道这个开环系统
既然是非最小相位系统
它里面包含了
一个不稳定的一个极点
也就是包含一个右半平面的极点
这样一来它的P等于1
我们放到我们Nyquist
这个等式里面来
N等于-1 P等于1
所以刚好Z仍然等于0
这就意味着
虽然它是一个不稳定的一个开环对象
但是当我们把它闭环以后
它反而系统是稳定的
而且我们还发现
无论这个K怎么再怎么增大
系统总是稳定的
因为K再增大
这个形状不变它会往外延伸
所以系统反而是稳定的
相反如果我们减小K
减小比例系数
我们会发现另外一个情况
-1点可能会位于这个位置
或者说这个交叉点
会移到负1点的右边
在这种情况下大家可以验证一下
系统是要变的不稳定
所以说对于非最小相位系统
稳定与否是不能
看这个开环系统是否包含-1点的
我们只能是实际的
去旋转一下这个对应的矢量
事实上我们也可以
对这样一个检测系统
我们通过劳斯判据来进行判断
它的系统的稳定的范围
我们可以发现该系统
闭环稳定的范围
是对应的是K要大于3
这点与我们之前理解有不同的地方
对一个非最小相位系统
很多时候它的比例系数越大
它反而会越稳定
相反很小的比例系数
会导致它不稳定
这与它相位的
这个相处有一定关系
-绪论
--视频
-拉普拉斯变换定义及性质（一）
--视频
-拉普拉斯变换定义及性质（一）--作业
-拉普拉斯变换定义及性质（二）
--视频
-拉普拉斯变换定义及性质（二）--作业
-卷积定义、定理及性质
--视频
-卷积定义、定理及性质--作业
-拉普拉斯逆变换及应用（一）：拉普拉斯逆变换定义
--视频
-拉普拉斯逆变换及应用（一）：拉普拉斯逆变换定义--作业
-拉普拉斯逆变换及应用（二）：拉普拉斯逆变换应用
--视频
-拉普拉斯逆变换及应用（二）：拉普拉斯逆变换应用--作业
-控制的基本概念
--视频
-控制的基本概念--作业
-控制系统的微分方程描述（一）
--视频
-控制系统的微分方程描述（一）--作业
-控制系统的微分方程描述（二）
--视频
-控制系统的微分方程描述（二）--作业
-控制系统的传递函数描述（一）：Laplace变换知识回顾
--视频
-控制系统的传递函数描述（一）：Laplace变换知识回顾--作业
-控制系统的传递函数描述（二）：控制系统的传递函数描述
--视频
-控制系统的传递函数描述（二）：控制系统的传递函数描述--作业
-框图及其变换（一）：传递函数框图定义及连接方式
--视频
-框图及其变换（一）：传递函数框图定义及连接方式--作业
-框图及其变换（二）：传递函数框图变换
--视频
-第二周：控制系统的概念及数学模型--框图及其变换（二）：传递函数框图变换
-信号流图
--视频
-信号流图--作业
-控制系统的基本单元
--视频
-控制系统的基本单元--作业
-非线性单元的线性化
--视频
-第二周：控制系统的概念及数学模型--非线性单元的线性化
-稳定性
--视频
-第三周：线性系统时域分析（一）--稳定性
-稳定的Liapunov定义
--视频
-稳定的Liapunov定义--作业
-稳定性的代数判据（一）：Routh判据
--视频
-稳定性的代数判据（一）：Routh判据--作业
-稳定性的代数判据（二）：系统稳定的必要条件
--视频
-稳定性的代数判据（二）：系统稳定的必要条件--作业
-参数稳定性，参数稳定域
--视频
-参数稳定性，参数稳定域--作业
-静态误差（一）：误差和静态误差定义
--Video
-第四周：线性系统时域分析（二）--静态误差（一）：误差和静态误差定义
-静态误差（二）：静态误差与输入
--Video
-静态误差（三）：静态误差的计算
--Video
-静态误差（三）：静态误差的计算--作业
-静态误差（四）：系统类型与静态误差的关系
--Video
-静态误差（四）：系统类型与静态误差的关系--作业
-静态误差（五）：静态误差的物理和理论解释
--Video
-静态误差（六）：扰动引起的静态误差
--Video
-静态误差（六）：扰动引起的静态误差--作业
-动态性能指标
--Video
-动态性能指标--作业
-高阶系统动态性能的二阶近似
--Video
-高阶系统动态性能的二阶近似--作业
-控制系统的校正
--Video
-控制系统的校正--作业
-频率特性引言
--Video
-频率特性引言--作业
-Fourier变换
--Video
-第五周：频率响应法（一）--Fourier变换
-频率特性函数
--Video
-频率特性函数--作业
-频率特性的图像
--Video
-频率特性的图像--作业
-基本环节的频率特性
--Video
-基本环节的频率特性--作业
-复杂频率特性的绘制（一）
--Video
-复杂频率特性的绘制（一）--作业
-复杂频率特性的绘制（二）
--Video
-复杂频率特性的绘制（二）--作业
-复杂频率特性的绘制（三）
--Video
-第五周：频率响应法（一）--复杂频率特性的绘制（三）
-闭环频率特性
--Video
-闭环频率特性--作业
-Nyquist稳定判据（一）
--Video
-Nyquist稳定判据（一）--作业
-Nyquist稳定判据（二）
--Video
-第六周：频率响应法（二）--Nyquist稳定判据（二）
-Nyquist稳定判据（三）
--Video
-第六周：频率响应法（二）--Nyquist稳定判据（三）
-相对稳定性（稳定裕量）
--Video
-相对稳定性（稳定裕量）--作业
-从开环频率特性研究闭环系统性能
--Video
-从开环频率特性研究闭环系统性能--作业
-基于频率特性的控制器设计思路
--Video
-根轨迹方法简介
--Video
-根轨迹方法简介--作业
-根轨迹条件
--Video
-根轨迹条件--作业
-根轨迹性质
--Video
-根轨迹性质--作业
-根轨迹的图像
--Video
-根轨迹的图像--作业
-条件稳定系统
--Video
-条件稳定系统--作业
-零极点对根轨迹的影响
--Video
-零极点对根轨迹的影响--作业
-参数根轨迹和根轨迹族
--Video
-第七周：根轨迹方法--参数根轨迹和根轨迹族
-延时系统的根轨迹
--Video
-延时系统的根轨迹--作业
-补根轨迹与全根轨迹
--Video
-补根轨迹与全根轨迹--作业
-校正问题及其实现方式
--Video
-校正问题及其实现方式--作业
-校正装置的设计方法
--Video
-校正装置的设计方法--作业
-超前校正装置的特性
--Video
-超前校正装置的特性--作业
-基于根轨迹法设计超前校正装置
--Video
-基于根轨迹法设计超前校正装置--作业
-基于Bode图设计超前校正装置
--Video
-基于Bode图设计超前校正装置--作业
-滞后校正装置的特性
--Video
-滞后校正装置的特性--作业
-基于根轨迹法设计滞后校正装置
--Video
-基于根轨迹法设计滞后校正装置--作业
-基于Bode 图设计滞后校正装置
--Video
-基于Bode 图设计滞后校正装置--作业
-超前-滞后校正装置的特性
--Video
-超前-滞后校正装置的特性--作业
-基于根轨迹法设计超前-滞后校正
--Video
-基于根轨迹法设计超前-滞后校正--作业
-基于Bode图设计超前-滞后校正
--Video
-基于Bode图设计超前-滞后校正--作业
-开环系统的期望频率特性
--Video
-开环系统的期望频率特性--作业
-反馈校正
--Video
-第九周 系统校正（二）--反馈校正
-直线倒立摆控制系统实验
--Video
-非线性系统概述
--Video
-第十周 非线性系统分析（一）--非线性系统概述
-非线性系统的典型动力学特征
--Video
-非线性系统的典型动力学特征--作业
-描述函数法定义
--Video
-描述函数法定义--作业
-描述函数法求取
--Video
-描述函数法求取--作业
-基于描述函数的稳定性分析
--Video
-第十周 非线性系统分析（一）--基于描述函数的稳定性分析
-非线性系统自持振荡的分析
--Video
-第十周 非线性系统分析（一）--非线性系统自持振荡的分析
-相平面与相轨迹
--Video
-相平面与相轨迹--作业
-相轨迹的绘制方法
--Video
-相轨迹的绘制方法--作业
-奇点
--Video
-奇点--作业
-线性系统的相平面分析
--Video
-线性系统的相平面分析--作业
-非线性系统的相平面分析
--Video
-非线性系统的相平面分析--作业
-极限环及其产生条件
--Video
-第十一周 非线性系统分析（二）--极限环及其产生条件
-非线性系统分析小结
--Video
-非线性系统分析小结--作业
-采样控制系统概述
--视频
-采样控制系统概述--作业
-脉冲采样与理想采样
--视频
--采样系统
-脉冲采样与理想采样--作业
-采样定理
--视频
-采样定理--作业
-零阶保持器
--视频
-零阶保持器--作业
-z-变换
--视频
-z-变换--作业
-脉冲传递函数（一）
--视频
-第十二周：采样系统--脉冲传递函数（一）
-脉冲传递函数（二）：求脉冲传递函数的一般方法
--视频
-第十二周：采样系统--脉冲传递函数（二）：求脉冲传递函数的一般方法
-z-平面上采样系统的稳定性分析
--视频
-z-平面上采样系统的稳定性分析--作业
-w-平面上采样系统的稳定性分析
--视频
-w-平面上采样系统的稳定性分析--作业
-采样控制系统的时域分析
--视频
-采样控制系统的时域分析--作业
-修正的z-变换
--视频
-修正的z-变换--作业
-考试环节--期末考试
-考试环节--期中考试
