当前课程知识点：自动控制理论（1） > 第七周：根轨迹方法 > 条件稳定系统 > Video
好 同学们好
现在我们来看一下
条件稳定系统
那么什么是条件稳定系统
在什么情况下
可以出现条件稳定系统
实际上这样的例子
我们在前面学习时序响应
和频率响应的时候已经碰到过
比如说有些系统
我们有开环的零点
或开环的极点比较多的这些系统
那么这个时候
它闭环系统稳定性
可能会随着参数的变化
而交替变化
就是说有些时候系统变成不稳定
但是参数一变化
它又变成不稳定了
或者参数再进一步变化的时候
它又变成稳定了
那么这种情况就比较复杂
而这类系统我们就称为
条件稳定的系统
其实这个例子我们在前面学习
频率响应的时候已经碰到过
假如说我们有这样一个比较复杂的系统
这是一个五阶系统
有五个极点 两个零点
那这五个极点
包含了有三个实数的极点
两个复数的极点
然后有两个复数的零点
那我们再画出这个
它的Nyquist曲线的时候
大家就会发现
由于我这个零极点是交替出现的
那么在画这个波特图的时候
它这个幅频特性的曲线
它的斜率就会有时候增加
有时候减小
从而带来我这个相幅特性
就会有一些起伏
那这些起伏
就会使得我这个Nyquist曲线
很可能就会在这个复实轴
它和复实轴
有时候从下面穿过复实轴
又有可能从上面又穿回来
再穿过去再穿回来
那这时候就会
和我们的复实轴有多次交叉
而这时候大家可以看到
就是说如果我这个
Nyquist曲线和我这个负1
相对位置就会有多种情况
比如说我负1在这个地方
或者我负1在这个地方
或者负1在这个地方
在不同位置的时候
这个系统稳定性
就会有时候稳定 有时候不稳定
就会发生交替的变化
那我们来看一下
这个情况在我们的根轨迹图上
是怎么表现的
我们画一下它的根轨迹
那首先我们根据
这个传递函数分析一下
我们的根轨迹
它所满足的一些基本特征
首先它的开环的极点
五个极点 开环的零点
有两个零点
所以五个极点对应了五个分支
五个分支
其中有两个分支
终结于我们的两个开环零点
有三个分支趋近无穷远
那么由于n减m等于3
所以我们这个根轨迹
一定有三个趋近于无穷远的地方
这个分支是有三个渐近线
这个渐近线
我们很容易可以计算出来
分别是60度 180度和300度
那么它们和实轴的交点
我们在这就不具体算了
我们可以求解出来是-3.13
那么它在实轴上的根轨迹
我们可以去画出来
比如说我们在这
把三个实轴上的这个零极点
就在实轴上的
只有三个极点是在实轴上
所以从最右边这开始
画出来这一段就是-4到0
这是我们的一段实轴上的根轨迹
然后再从下一个-6开始
往左画就到负无穷了
所以负无穷到-6
是我们实轴上的根轨迹
那还有我们的这个会合点
我们可以看到
这有两个实轴上的这个极点
所以这两个极点出发
相向而行的时候
一定会在中间某个地方会合
这个会合点我们可以去计算出来
那它的会合点
实际上是在负的2.36
好了 有了这些特征以后
我们现在就可以
来尝试画根轨迹了
但是现在根据我们目前已经知道的
还不太容易去确定
我们根轨迹的形状
因为我们的零极点比较多
比如说我们从这个极点出发
它这个根轨迹到底是往零点走
还是往无穷远走
这我们没有办法判断
所以为了去进一步确定
我们到底是怎么走
我们还需要知道从极点开发
是沿哪个方向走的
从零点是从哪个方向
终结于这个零点的
那我们经过计算
我们可以计算出来
从这个节点出发
实际上是往这个方向走的
而零点实际上沿这个方向
到达这个零点的
所以说我们从这样一看
因为我们根轨迹的形状
一般来讲不会那么复杂
所以不大可能从这个极点出发
绕一大弯回到这个零点
所以从这个极点出发
它应该是往无穷远走
而这个零点
是由于我们这两个极点
从这开始相向而行会合以后
分离以后它会到这个零点这
它会到这个零点这
而我们这个这两个极点出发
它会最终趋近于无穷远
最终趋近于无穷远
但是我们还有一个情况需要确定
就是我们这个极点
在往这边走的时候
它和我们的虚轴是不是有交点
这是我们这个系统
判断系统稳定性的
一个最重要的特征之一
那我们下面来看一下
这个根轨迹和我们虚轴
到底有没有交点
为了计算这个交点
我们用一种最直接的办法
就是将s等于jΩ纯虚数
代到我们的闭环特征多项式里面
这样分离它的实虚部
就会得到关于K和Ω的两个方程
具体的解的过程我们就不细讲了
最后我们会得到三个解
就是对应一个Ω等于1.2115
对应的K1等于15.54
Ω2等于2.1545
K2等于64.74
Ω3等于3.7538
K3等于163.51
那么大家可以看到
这三个频率是逐渐增加的
而对应的三个增益系数
也是逐渐增加的
所以大家没有画出这个图时候
大家就应该可以想象到
我们的根轨迹
应该和虚轴有三个交点
而这三个交点
是在我们增益系数
在逐渐增加的时候依次碰到的
所以我们在画这个根轨迹的时候
我们可以根据这个特征
就把我们的根轨迹画出来
所以说我们刚才已经判断了
从这两个实极点出发的
这个根轨迹会合以后
最后会终结到
我们两个复数零点
而从另外的一对复数极点出发
我们会最终趋近于无穷远
而在趋近于无穷远的过程中
会碰到我们刚才计算出来的
这三个极点
这三个虚轴上的极点
闭环极点
而这三个极点
对应我们计算出来的
这三个 Ω1 Ω2 Ω3
那么大家从这个图里边
可以看出来
我们在一开始出发的时候
这些闭环极点
一开始出发的时候
在碰到第一个虚轴上极点之前
我们这个闭环极点
都是在复平面左半平面
所以这时候对应我们系统是稳定的情况
但是一旦穿过我们这个
第一次穿过虚轴的时候
我们有些极点
就会跑复平面的右半平面
所以这时候对应于
我们系统不稳定的情况
那么当我们的K
进一步增加的时候
当再一次从右半平面
穿回到左半平面的时候
我们的系统
就又变成了稳定系统
然后可以进一步再增加的时候
在这部分就变成不稳定系统
所以这时候我们的系统
稳定性就会发生交替的变化
而我们从这个图上也可以读出来
那么让系统稳定K的范围
一定是在这段
就是从零开始到15.54
第一个K的时候这一段
那么还有一段
是对应我们中间这一段
就是在第二个K
和第三个K之间的
也就是我们算出来的
K2和K3之间这个区间里面
在这个区间里面系统是稳定的
所以这个系统
就对应我们的一个条件稳定系统
好 我们对应于前面学过的
频率特性来看
我们这个条件稳定系统
对应于频率特性的Nyquist曲线
交替的穿越复平面的复实轴
而在根轨迹的图上看
它对应于我们的根轨迹
会交替的穿越我们虚轴
这就是我们的条件稳定系统
好 我们这节课就到这里
-绪论
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-拉普拉斯变换定义及性质（一）
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-拉普拉斯变换定义及性质（一）--作业
-拉普拉斯变换定义及性质（二）
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-拉普拉斯变换定义及性质（二）--作业
-卷积定义、定理及性质
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-卷积定义、定理及性质--作业
-拉普拉斯逆变换及应用（一）：拉普拉斯逆变换定义
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-拉普拉斯逆变换及应用（一）：拉普拉斯逆变换定义--作业
-拉普拉斯逆变换及应用（二）：拉普拉斯逆变换应用
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-拉普拉斯逆变换及应用（二）：拉普拉斯逆变换应用--作业
-控制的基本概念
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-控制的基本概念--作业
-控制系统的微分方程描述（一）
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-控制系统的微分方程描述（一）--作业
-控制系统的微分方程描述（二）
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-控制系统的微分方程描述（二）--作业
-控制系统的传递函数描述（一）：Laplace变换知识回顾
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-控制系统的传递函数描述（二）：控制系统的传递函数描述
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-框图及其变换（一）：传递函数框图定义及连接方式
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-框图及其变换（一）：传递函数框图定义及连接方式--作业
-框图及其变换（二）：传递函数框图变换
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-第二周：控制系统的概念及数学模型--框图及其变换（二）：传递函数框图变换
-信号流图
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-信号流图--作业
-控制系统的基本单元
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-控制系统的基本单元--作业
-非线性单元的线性化
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-第二周：控制系统的概念及数学模型--非线性单元的线性化
-稳定性
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-第三周：线性系统时域分析（一）--稳定性
-稳定的Liapunov定义
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-稳定的Liapunov定义--作业
-稳定性的代数判据（一）：Routh判据
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-稳定性的代数判据（一）：Routh判据--作业
-稳定性的代数判据（二）：系统稳定的必要条件
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-稳定性的代数判据（二）：系统稳定的必要条件--作业
-参数稳定性，参数稳定域
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-参数稳定性，参数稳定域--作业
-静态误差（一）：误差和静态误差定义
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-第四周：线性系统时域分析（二）--静态误差（一）：误差和静态误差定义
-静态误差（二）：静态误差与输入
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-静态误差（三）：静态误差的计算
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-静态误差（三）：静态误差的计算--作业
-静态误差（四）：系统类型与静态误差的关系
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-静态误差（四）：系统类型与静态误差的关系--作业
-静态误差（五）：静态误差的物理和理论解释
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-静态误差（六）：扰动引起的静态误差
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-静态误差（六）：扰动引起的静态误差--作业
-动态性能指标
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-动态性能指标--作业
-高阶系统动态性能的二阶近似
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-高阶系统动态性能的二阶近似--作业
-控制系统的校正
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-控制系统的校正--作业
-频率特性引言
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-频率特性引言--作业
-Fourier变换
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-第五周：频率响应法（一）--Fourier变换
-频率特性函数
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-频率特性函数--作业
-频率特性的图像
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-基本环节的频率特性
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-复杂频率特性的绘制（一）
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-复杂频率特性的绘制（二）
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-复杂频率特性的绘制（三）
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-第五周：频率响应法（一）--复杂频率特性的绘制（三）
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-Nyquist稳定判据（二）
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-第六周：频率响应法（二）--Nyquist稳定判据（二）
-Nyquist稳定判据（三）
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-第十周 非线性系统分析（一）--非线性系统概述
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-非线性系统的典型动力学特征--作业
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-第十周 非线性系统分析（一）--基于描述函数的稳定性分析
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-第十周 非线性系统分析（一）--非线性系统自持振荡的分析
-相平面与相轨迹
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-相平面与相轨迹--作业
-相轨迹的绘制方法
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-相轨迹的绘制方法--作业
-奇点
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-奇点--作业
-线性系统的相平面分析
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-线性系统的相平面分析--作业
-非线性系统的相平面分析
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-非线性系统的相平面分析--作业
-极限环及其产生条件
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-第十一周 非线性系统分析（二）--极限环及其产生条件
-非线性系统分析小结
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-非线性系统分析小结--作业
-采样控制系统概述
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-采样控制系统概述--作业
-脉冲采样与理想采样
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--采样系统
-脉冲采样与理想采样--作业
-采样定理
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-采样定理--作业
-零阶保持器
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-零阶保持器--作业
-z-变换
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-z-变换--作业
-脉冲传递函数（一）
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-第十二周：采样系统--脉冲传递函数（一）
-脉冲传递函数（二）：求脉冲传递函数的一般方法
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-第十二周：采样系统--脉冲传递函数（二）：求脉冲传递函数的一般方法
-z-平面上采样系统的稳定性分析
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-z-平面上采样系统的稳定性分析--作业
-w-平面上采样系统的稳定性分析
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-w-平面上采样系统的稳定性分析--作业
-采样控制系统的时域分析
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-采样控制系统的时域分析--作业
-修正的z-变换
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-修正的z-变换--作业
-考试环节--期末考试
-考试环节--期中考试
