当前课程知识点：自动控制理论（1） > 第九周 系统校正（二） > 基于根轨迹法设计超前-滞后校正 > Video
同学们好
现在我们来研究一下
怎么样基于根轨迹法
来设计超前滞后校正装置
前面我们讲过超前滞后校正装置
实际上应用于这样一个场合
就是当我们的系统稳态误差很大
响应速度又慢的时候
我们需要用这种校正装置
因为我们知道超前校正装置
是为了来改善系统的动态性能
提高响应速度
提高相对稳定性
那么滞后校正
主要是为了改善系统的稳态误差
所以说当我们碰到这一类系统的时候
单单采用超前校正装置
或者滞后校正装置的时候
实际上是不能够完全解决问题的
这两个校正装置是需要配合起来使用
所以这就带来了超前滞后校正的问题
那我们在设计超前滞后校正的时候
需要注意一些什么样的问题
或遵循一些什么样的原则
我们来逐步的看一下
首先第一个超前和滞后校正装置的
时间常数T1和T2
我们在讲到
超前滞后校正装置的特性的时候
我们知道一般来讲我们会选T1小于T2
也就是说超前所对应的时间常数
要小一些
滞后所对应的时间常数要慢一些
要大一些
这是因为超前校正装置
是针对中频特性
滞后校正装置是对低频特性
所以是一个快一个慢
那么为了使得我们的设计
能够相对独立容易设计的话
他们互相之间的影响比较小的话
我们除了满足T1小于T2
或者T2大于T1这个条件以外
我们还希望这两个时间常数
要距离足够远
这是第一个原则
这样它就可以比较容易的分开设计
第二个我们来看一下超前部分
超前部分我们知道
它是为了提高系统的相对稳定性
和响应速度来的
所以我们在设计超前部分的时候
实际上和我们前面学过的
单独使用超前校正的方法
实际上是一样的
因为如果满足T1和T2
如果差的比较远的话
实际上这两个设计是完全可以独立
所以它的方法和我们前面学习的方法
是完全一样的
当我们在这个选择超前校正装置
这个参数比较多的时候
前面我们学过实际上有五个
最多的情况下
实际上可以有五个独立参数
一个增益系数KC
一个α一个β
就是两个装置里面的比例系数
还有两个时间常数T1和T2
当这个时间常数比较多的时候
实际上在选某些常数的时候
就可以比较方便了
比如说我选校正装置的零点
我在选超前校正装置的零点的时候
我可以不需要像以前的那个方法设计
我只需要找到
我们控制对象最靠近原点的那个极点
也就是说最慢的那个极点
我们让这个零点把这个极点消掉
这样就可以很大程度的提高系统稳定性
并加快响应
当然这个设计并不一定是最优的
但是由于我们有很多其他的选择
所以我们可以通过其他的选择
来补偿这个并不是最优的
这样可以简化我们的设计
当然这个并不是唯一的
我们也可以利用
我们前面的这个建议的方法来进行设计
那么设计完超前以后
我们再来看滞后部分
滞后部分主要的作用
是用来提高系统的稳态精度
所以它是使用在低频段
也就是说它的这个T2要远大于T1
那么它的设计由于T2和T1
分隔的比较远
所以它的设计也可以独立进行
和单独使用滞后校正的时候
设计的方法和原则实际上是一样的
我们需要让零极点都比较靠近原点
而且为了提高稳态精度
我们需要设计的这个比例系数β
要选一个比较大的比例系数β
这是和我们前面学过的
滞后校正装置的原则
实际上是一样的
那么这两个原则
我们在这儿是一个超前一个滞后
但是实际设计的过程中
我们可以先设计超前再设计滞后
也可以先设计滞后再设计超前
实际上这两个顺序实际上都是可以的
当然了这个前提
是我们在这两个校正装置的频率范围内
相隔的比较远的时候
那如果他们相隔的不够远
实际上它们之间会有一些相互的影响
这时候我们设计起来
可能需要一些仔细的设计
或者说我们设计它
需要进行仔细的校验或者反复的修正
我们来看一下一个简单的例子
如果我们现在有这样一个二阶系统
我们希望设计一个校正装置
使校正后的闭环系统
满足这样一些性能
第一我们希望它的稳态误差系数
是等于50
我们希望它的系统的
闭环主导极点等于5弧度每秒
它的阻尼系数等于0.5
首先我们看一下
我们在没有校正的时候
系统对应的这些参数到底是多少
它和我们设计的目标差的有多远
我们首先画出
原来这个系统的根轨迹图
这个根轨迹图我们已经画过很多遍了
这两个极点一个在原点
一个在负0.5
那么这两个极点出发
我们会有一条汇合再分离的过程
那么分离以后
这两个极点这个是一对共轭的极点
在这个虚轴上
所以我们可以看到
它的实物实际上没法改变的
应该是等于这两个中间负的0.25
所以它的响应速度是没有办法
通过调节增益系数来改善的
而且当这个极点处于
比较高的位置的时候
在这个虚部比较大的位置的时候
它的阻尼是比较小的
这时候振荡会比较剧烈
所以这是这个系统
我们从这个根轨迹图上可以看到
它的性能肯定是不好的
我们大概看一下
我们期望的性能是什么样的
首先计算一下期望的主导极点
我们可以根据期望的特征频率
也就是原点到这个期望主导极点的距离
和期望的阻尼系数
这个阻尼系数对应于这个向量
和实轴的夹角
那根据这个我们可以计算出来
sd应该等于-2.5加减j4.33
那么校正前的这个闭环的主导极点
我们可以算出来
实际上这个校正前的闭环主导极点
是在这个位置
我们可以去求闭环系统的特征多项式
解它的特征方程
可以得出来它所对应的特征频率是2
阻尼系数是0.125
和我们的目标来比
2和5相比要小不少
阻尼系数0.125和我们的目标0.5来比
要小不少
所以从动态特性上来讲的话
它是不满足要求的
而且有很大的差距
从静态特性上来讲
我们也可以看到
那么静态特性主要是由这个系数4
我们算一下
如果让s趋于0
G（s）乘以s 然后让s趋于0
这是我们的速度误差系数
我们可以算出来是4除以0.5等于8
所以这个数8和我们的目标50
实际上也差的比较远
所以从这两方面来看
动态性能也有差距 静态性能也有差距
所以我们单单用超前校正装置
或者单单用滞后校正装置
实际上都是没有办法
满足我们的设计目标的
所以这个时候我们需要用超前滞后校正
那么在设计超前滞后校正的
这个设计过程中
实际上和我们前面相同的一点是
就是第一步
我们总是要确定这个增益系数
因为这个增益系数
是由我们的稳态误差来决定的
而稳态误差和我们其他的
所有的这些动态环节的这个参数
实际上是没有关系的
所以我们在这儿选择一个
相对比较固定的系统
就是我们前面讲这个α和β
实际上是可以分开设计的
可以是不一样的
但是在这儿我们选择让它一样
我们来看一下
第一步我们先看一下Kc怎么选
然后滞后怎么选
我们设计步骤是先选Kc
然后选完Kc以后
再选滞后环节的参数
最后再来定超前环节的参数
第一部Kc
是根据我们的目标的这个Kv
就是如果我们加上这个校正环节以后
然后我去算一下
这个时候的速度误差系数
也就是这个环节
我让这个环节乘以s
然后让s趋于0
我们算一下速度误差系数我们可以算
然后这一部分就变成了8
然后这一部分让s等于0以后
大家可以看到
上面变成了T1 T2分之一
下面变成了什么呢
β和这个β消掉
然后也是T1 T2分之一
所以整个这一部分当s趋于0的时候
这一部分就是1
所以最后算出来就是8倍的Kc
所以8倍的Kc呢
要不小于我们的目标的速度误差系数50
所以我们选择Kc至少要选择6.25
我们不妨就选6.25
好 我们来看一下滞后校正装置的选择
我们前面讲过
在设计滞后校正装置的时候
我们要使得滞后校正装置的两个零极点
要离原点足够的近
而且它们的比值要足够大
可以保证稳态误差
那在这个里面我们首先来选择一下T2
那到底有多近 我们现在也不知道
所以我们选择先试探性的先选一个
比如说我们选T2等于10
那这个T2等于10
我们选择的它是 实际它是比1要大得多
要选择远大于1的这个数
使得T2分之一实际上是一个比较小的数
比较小的数
由于β也是大于1的
所以βT2分之一也是一个很小的数
那如果这两个数很小
会有一个什么效果
就是说如果我们看这个时候
它在主导极点
对主导极点附近的根轨迹的影响的话
它的影响是不大的
因为这个是几乎等于1
这个几乎等于1
这个算出来几乎就等于1
所以我们在选择这样的参数以后
我们可以发现
如果T2选择比较大
那么这个滞后校正环节
在主导极点附近
它的影响是基本上可以忽略不计的
这样就使得我们后面设计
超前校正的时候
它就会相对的比较容易一些
我们看一下剩下来怎么设计超前校正
好 现在我们的这个Kc已经定下来了
然后滞后校正的这个T也已经定下来了
还有一个β没有定
还有超前校正装置的T1参数没有定
我们来看一下
那它应该满足什么条件
这个条件还是要从根轨迹条件的
它的幅值条件和相角条件来出发
我们写一下校正以后
系统总的传递函数
这是我们控制对象的传递函数
这是校正装置
现在Kc已经定了
然后s加上T2分之一
s加上βT2分之一
T2我们已经选好了
我们选择一个比较大的数
使得T2分之一比较小
βT2分之一也比较小
但是β没有定
β和我们这个β是一样的
这个是待定的
所以我们剩下
就是这里面的β和T1怎么选
那由于我们前面在选T2选的比较大
所以使得这一部分
我们知道在闭环的主导极点附近
就是我们期望的闭环主导极点附近
这一部分实际上是近似等于1的
所以说我们把Kc代进去
把这一部分代进去
这个我让它近似等于1
最后我就可以得到
我在校正以后加入超前
加入滞后校正以后
这个开环的传递函数应该就等于6.25
就是Kc乘以原来的对象的传递函数
再乘以超前校正的传递函数
因为这个时候滞后校正这一部分
它的影响可以忽略不计
那这一部分它应该是满足
我们的根轨迹条件
它应该是等于负1
那从这一点出发
我们去分别去看它的幅值条件和相角条件
那在这点我们知道
这一部分应该提供多少幅值
为了满足这个条件
我们算一下就是这个传递函数
在期望的闭环主导极点这个地方
也就是我们期望的闭环主导极点
这个地方我们算一下它的幅值条件
我们可以算出来Sd加上T1分之一
Sd加上T1分之β
应该大概等于0.954 这是第一个
那么相角条件也是一样的道理
就是这两部分所提供的相角
应该等于负180度的奇数倍
这里面我们取负180度
那么我们也可以算出来
因为这一部分相角我们是可以算的
控制对象是已经知道的
所以它提供的相角
我们最后算出来应该是在55度附近
所以大家从这儿也可以看到
实际上我们现在有两个参数还没有定
一个是T1 一个是β
而我们现在根据幅值条件和相角条件
我们得到了两个方程
所以原则上来讲根据这两个方程
我们就可以去确定
两个方程 两个未知数
我们就可以去确定
这个超前校正装置的β参数和T1参数
所以我们把这两个方程写到这
那么这两个方程我们直接去解
可能并不一定太容易解
但是这两个方程
它有一个比较直观的几何含义
我们来看一下第一个幅值条件
因为Sd加上T1 它这个向量的长度
实际上对应于我们这个地方的PD
PD这个线段的长短
Sd加上T1分之β
实际上对应于我们这个线段的长度
对应我们这个线段的长度
所以这两个线段长度
根据我们这个幅值条件
它的比例应该是4.77比上5
那么相角条件一样
它应该是对应于这两个线段的夹角55度
所以这两个线段的比值确定了
相角确定了
所以它和负实轴的交点C和D
就应该能够确定下来
我们可以去解析的计算
也可以通过试探的办法
比如说我初步选一个
如果是算出来和这个差远了
那我们可以适当的往左边移一点
或往右边移一点
最后我总能够把对应的T1和β
能够估计出来
那这样的话我们通过计算
最后来确定T1分之一
应该是在0.5附近
β应该等于10
因为我们在设计超前滞后校正
都是通过估计的方法
只要满足这个要求的范围就可以
所以我们没有必要
把T1和β就算的特别准确
我们取一个比较方便的数值就可以
这里面我们取T1分之一等于0.5
β等于10
那在这里面
这是我们通过这个三角关系计算出来的
但是我们会发现这儿有一个巧合
这个巧合就是我们这个超前校正装置
这个T1分之一它所提供的这个零点
恰好对消了一个对象的极点
因为我们知道对象有个极点在负2
那我们知道T1分之一正好就是2
所以它恰好对消了一个对象极点
所以这是我们前面提出的
在设计超前装置的时候
有些时候我们可以直接就选择
这个零点让它对消灭
对象的一个比较慢的极点就可以了
所以这是一个现象
那我们把这些参数确定下来以后
我们的这个校正装置的参数
就完全确定了
结构就确定了
所以最后的校正装置就是6.25
是我们的Kc
超前校正装置是s加上0.5除以s加5
滞后校正装置是s加上0.1
除以s加上0.01
在这里面这个超前校正装置
有一个零点和我们控制对象的
这个极点发生了对消
所以最后的控制对象
变成了这样一个三阶系统
我们来算一下
校正以后的闭环极点
是负的2.454加减j4.304
和我们的这个期望的主导极点
实际上是非常接近的
还有一个
因为这是一个三阶系统
还有一个闭环的这个极点
在负的0.102
这个0.102比这一对复极点
实际上更靠近原点
所以原则上来讲呢
它对系统的动态性能
会有一个不小的影响
但是我们设计的很好
因为这时候我们可以看到闭环系统
这是我们校正以后
这个系统的开环传递函数
我们知道开环传递函数的零点
和闭环传递函数的零点实际上是一样的
所谓闭环传递函数有一个零点
恰好就在负0.1
而这个负0.1和我们闭环的
这个极点负0.102非常接近
所以这个闭环极点
实际上它对系统响应的影响
是可以忽略的
因为它们是近似零极相消
所谓这对复极点
得到复极点实际上就是我们的主导极点
所以实际的主导极点
就是我们算出来的这一对
它和我们期望的值
实际上是非常接近的
那速度误差系数
根据我们前面设计
我们第一步就确定下来了
这个速度误差系数一定是满足要求的
所以这是我们画出来的
校正以后的系统的闭环的根轨迹
这是我们稍微夸张的画了一点
稍微夸张的画了一点
我们后面可以看到
实际的根轨迹看起来
这一段弯曲实际上是有一点弯曲的
但是这个弯曲基本上是很难看得出来
所以我们从这里边来看的话
设计是满足要求的
这样我们看一下
这是我们利用MATLAB软件
画出来的根轨迹
我们可以看到刚才是一个比较夸张
把这一部分放大了
把这一部分的弧度加大了
实际上我们看到了这个系统的根轨迹
在这一部分基本上它的曲率非常小
而这一部分由于我们这个滞后校正的
零极点非常靠近原点
所以它对原点附近的
这个根轨迹的改善
实际上我们是很难看得出来
我们从这儿可以看得出来
校正前这个闭环主导极点在这个地方
校正后闭环主导极点
在我们期望的位置
从阶跃显示上来看
校正前由于阻尼系数比较低
然后响应速度比较慢
我们可以看到超调比较高
然后它过度过程时间也比较长
校正以后超调降低了
过度过程时间大概在这个位置
它的响应的速度也相应的提高了
所以我们的这个超前滞后校正装置
它可以同时改变我们系统的
静态性能和动态性能
都得到很好的改善
好 我们这节课就讲到这里
-绪论
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-拉普拉斯变换定义及性质（一）
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-拉普拉斯变换定义及性质（一）--作业
-拉普拉斯变换定义及性质（二）
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-拉普拉斯变换定义及性质（二）--作业
-卷积定义、定理及性质
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-卷积定义、定理及性质--作业
-拉普拉斯逆变换及应用（一）：拉普拉斯逆变换定义
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-拉普拉斯逆变换及应用（一）：拉普拉斯逆变换定义--作业
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-拉普拉斯逆变换及应用（二）：拉普拉斯逆变换应用--作业
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-参数稳定性，参数稳定域
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-第四周：线性系统时域分析（二）--静态误差（一）：误差和静态误差定义
-静态误差（二）：静态误差与输入
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-静态误差（四）：系统类型与静态误差的关系--作业
-静态误差（五）：静态误差的物理和理论解释
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-高阶系统动态性能的二阶近似--作业
-控制系统的校正
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-控制系统的校正--作业
-频率特性引言
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-频率特性引言--作业
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-频率特性函数
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-频率特性函数--作业
-频率特性的图像
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-频率特性的图像--作业
-基本环节的频率特性
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-复杂频率特性的绘制（一）
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-复杂频率特性的绘制（一）--作业
-复杂频率特性的绘制（二）
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-复杂频率特性的绘制（二）--作业
-复杂频率特性的绘制（三）
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-第五周：频率响应法（一）--复杂频率特性的绘制（三）
-闭环频率特性
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-闭环频率特性--作业
-Nyquist稳定判据（一）
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-Nyquist稳定判据（一）--作业
-Nyquist稳定判据（二）
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-第六周：频率响应法（二）--Nyquist稳定判据（二）
-Nyquist稳定判据（三）
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-第六周：频率响应法（二）--Nyquist稳定判据（三）
-相对稳定性（稳定裕量）
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-根轨迹的图像--作业
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-第十周 非线性系统分析（一）--非线性系统概述
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-非线性系统自持振荡的分析
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-第十周 非线性系统分析（一）--非线性系统自持振荡的分析
-相平面与相轨迹
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-相平面与相轨迹--作业
-相轨迹的绘制方法
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-相轨迹的绘制方法--作业
-奇点
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-奇点--作业
-线性系统的相平面分析
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-线性系统的相平面分析--作业
-非线性系统的相平面分析
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-非线性系统的相平面分析--作业
-极限环及其产生条件
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-第十一周 非线性系统分析（二）--极限环及其产生条件
-非线性系统分析小结
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-非线性系统分析小结--作业
-采样控制系统概述
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-采样控制系统概述--作业
-脉冲采样与理想采样
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--采样系统
-脉冲采样与理想采样--作业
-采样定理
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-采样定理--作业
-零阶保持器
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-零阶保持器--作业
-z-变换
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-z-变换--作业
-脉冲传递函数（一）
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-第十二周：采样系统--脉冲传递函数（一）
-脉冲传递函数（二）：求脉冲传递函数的一般方法
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-第十二周：采样系统--脉冲传递函数（二）：求脉冲传递函数的一般方法
-z-平面上采样系统的稳定性分析
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-z-平面上采样系统的稳定性分析--作业
-w-平面上采样系统的稳定性分析
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-w-平面上采样系统的稳定性分析--作业
-采样控制系统的时域分析
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-采样控制系统的时域分析--作业
-修正的z-变换
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-修正的z-变换--作业
-考试环节--期末考试
-考试环节--期中考试
