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同学们好 下面我们来学习一下

非线性系统的相平面分析

那么在这节课里面

我们主要关心这样一类的非线性系统

也就是说这样一类非线性系统

它具有这种分片的特征

我们看这样一个例子

就是说如果有一个非线性系统

它满足这样一个

一般的非线性的微分方程

最左边是一个非线性函数

而右边这个数值它是一个常数

但是这个常数随着相点

在相平面的不同区域里面

这个常数会变化

也就是说x大于0的时候等于正M

x小于0等于负M

那么在相平面图上去表示出来

就可以看到x大于0这个区域

比如说我们叫做区域一

在区域一里面这个非线性系统

就满足f等于M这个非线性方程

在区域二也就是x小于0这个区域里面

它满足的f的这个非线性函数

等于负M这个微分方程

所以我们在研究这个

非线性系统运动的时候

相轨迹在不同区域的

运动的形式是不一样的

当相轨迹从第一个区域开始的时候

它是遵循这个微分方程

但是当它从第一个区域

穿到第二个区域的时候

它的运动规律就要发生切换

就要满足第二个微分方程

所以说研究这样一类系统的时候

我们经常要在

两个不同的系统之间进行切换

而这两个系统它又分别有各自的奇点

而这些奇点对这个相轨迹的运动

也是非常重要的

也就是说在区域一里边

我们知道相轨迹的运动方程满足这个方程

那么从这个方程里面

我们很容易可以解出它的奇点

假如说我们从这个方程里面

解出这个系统有两个奇点

一个奇点叫做PI1 一个奇点叫做PI2

如果说这两个奇点

恰好PI1在右半平面 PI2在左半平面

那这两个奇点我们分别有个叫法

那我们把PI1叫做实奇点

把PI2叫做虚奇点

为什么这么叫呢

因为所有的这两个奇点

都是从区域一这个系统

所满足的微分方程所解出来的

所以它都应该是在这里面相轨迹所运动

所应该远离或者朝向的一个奇点

但是这个奇点如果是在右半平面

也就是说它还在区域一里面

那么这个区域里面运动的相轨迹

遵循同样的方程

那它有可能就是如果说这个奇点是稳定的

那么这个相轨迹就有可能去渐近的

去趋近于这个奇点或者平衡点

那么PI2这个奇点就不一样了

因为我们看到PI2

这时候它是在区域二里边

即使PI2举出来我们可以证明

它对于这个方程而言它是一个稳定的奇点

那是实际的系统

如果系统的相轨迹从第一个区域出发

它会有一个渐近的向PI2运动的趋势

但是这个运动永远不会到PI2

因为一旦这个相轨迹出了这个第一个区域

进入第二个区域以后

它就不再遵循这个运动方程

那么这个稳定性也就不再有效

而这个系统的稳定性

就应该由这个区域所满足的方程来定

所以说尽管来讲PI2是第一个方程

第一个区域所满足方程的一个稳定奇点

但是这个奇点是相轨迹永远也达不到的

所以说我们把它叫做虚奇点

所以说从定义上来讲的话

如果从一个区域所遵循的微分方程

解出来一些奇点的话

如果这些奇点还在这个区域里面

这个奇点就叫实奇点

如果这个奇点已经不再这个区域了

那这个奇点我们就把它叫做虚奇点

所以这个概念大家首先要掌握

我们看一个具体的例子

比如说现在有一个闭环的非线性系统

那这个非线性系统有这样一个线性环节

它是一个二阶的线性系统

还有这样一个非线性环节

那这个非线性环节

它的输入输出关系是什么样的呢

它是一个分段线性的

也就是说当输入

也就是说这个非线性环节输入

实际上是这个系统的误差信号

当输入的误差在一个比较小的范围内

那它的输出

和它等于是一个线性依赖关系

是一个斜率比较小依赖关系

但是一旦到误差比较大的时候

那么这条直线它还是个线性依赖关系

但是这个斜率 直线的斜率就会增加

所以说直观上来讲的话

这个非线性环节就反映了这个环节

对误差信号的一个不同的动作

就是说如果误差比较大的时候

在这个区域以外 在这两条虚线以外

误差比较大的时候

那么M的响应的这个幅值是比较大的

如果误差比较小的话

那么这个斜率就会减小

也就是说M相应的这个变化就会变慢

所以说大误差的时候

它会出现一个比较强的调节作用

但是误差比较小的话

它又会比较仔细的调节

所以这就是控制上来讲的话

有些时候我们是希望这样做的

我们来看一下如果这样做

会对控制带来什么样的好处

那么首先来看一下误差满足的方程

我们首先先根据

这个线性环节的输入输出关系来看

那从M到C是满足这样一个传递函数的关系

那从这个传递函数关系

我们很容易可以写出来

从M和C所满足的

这样一个线性的常微分方程

但是现在我们希望知道这个E和R

就是我这个误差信号随着R是怎么变的

所以说我还希望把它代进来

第一个我首先可以先把这个C

这个输出信号

输出我们知道 R减去输出等于C

所以我们先把这个关系带进来把C消掉

这样这个方程里面就出现了误差信号

出现了输入信号

当然还有一个M这个信号

就是我们这个中间信号还没消掉

当然这个M信号我们知道

它和这个误差信号

它是有一个非线性依赖关系

所以本质上来讲的话

这个M实际上它是依赖于E的

所以本质上这个方程

是一个关于R和E的

一个非线性的微分方程

好 那么我们具体的写开来讲的话

这个方程实际上就代表了

这样一个非线性微分方程

在这里面的这个M信号

它在误差信号不同取值的范围内

分别是E的不同的斜率的线性函数

所以这个本质上

是关于误差信号的

一个非线性的微分方程

那么根据这个方程

我们对这个整个相平面

去分下区

那首先我们看从这个分段表示

我们已经知道

实际上这个相平面我们分成

可以分成这几个区域

一个区域是E的绝对值

小于e0的

我们叫做第二个区域

那另外一个区域

实际上是e的绝对值大于e0的

但是这个区域实际上是分割成

两个不连通的区域

一个是在二区域左边的

一个在二区域的右边

所以我分别叫做

第一个区域 第三个区域

分解成这三个区

那实际上在这三个区里面

它虽然有三个相互连接的

互不联通的区域

但实际上在三个区域里面

它分别满足两个常微分方程

也就是说在区域的一和三里面

它M和E的依赖关系是这个

那这个时候它满足第一个微分方程

那么在区域二里面

M和E的这个线性依赖关系是这个

所以把这个带进来以后

它满足另外一个线性的常微分方程

所以说我们从这可以看到

我们如果对这个相平面做这样一个分区

那在这个分区的相平面里面

它不同的区域里面

分别表现为不同的线性系统

所以这样的话我们前面学过的

非线性系统知识

就可以用到这里面来了

我们考虑这个单位的阶跃响应

就是说我们先把这里面的RT先固定下来

如果RT是等于一个阶跃响应

也就是说在T大于0的时候 R恒等于1

那么R的导数和R的二级导数都等于0

我们可以进一步的得到

它满足的这个E

这个信号误差所的满足的常微方方程

也就是说把方程的右边

实际上就都等于0了

它在一三中满足这样一个常微分方程

在二中满足这样一个常微分方程

然后它们的这个误差信号的初值

误差的初值是从一开始

误差速度的初值是从0开始

那对这两个方程的话

实际上我们可以去开始求它的奇点了

我们可以很容易求得

那在这两个系统

对这两个线性系统而言的话

第一个系统我去求

这个常微分方程的奇点

我们可以求出来它是原点

那么第二个方程求奇点它也是原点

所以它们两个分别都有一个奇点都在原点

但是对第一个区域而言

对第一个区域而言

我们这里求出来的原点

我们看原点在哪

原点是在这个地方

实际上它是在第二个区域

也就是说我们根据第一个区域

第三个区域所满足的常微分方程

求出来的这个奇点

它不在它所处的区域里面

而是处在它的区域以外

所以对于一三而言

原点这个奇点它是一个虚奇点

而对于第二个区域而言

我用这个方程求出来的奇点原点

它还在这个区域里边

所以对于区域二而言这个奇点是个实奇点

那实奇点 如果它是一个实奇点的话

实际上有一个性质我们马上就可以知道

就是说如果在区域二里面

这个奇点是个实奇点

而且这个奇点是稳定的

那这个相轨迹就有可能最后

去稳定在这个奇点上

好 下面我们通过一些具体的例子

来看一下对于这个非线性系统的相轨迹

它所包含的一些具体的特征

首先我们做一个假设

就是假设1减4小k乘以大K再乘以大T等于0

为什么要做这个假设呢

我们后面会告诉大家

这里面我们先接受

那么由这个k小于1

这个前提条件也就是说

当误差比较小的时候

那么这个斜率是比较小的

它可以做一些精细的调节

由这个条件我们可以推出来

如果这个等式等于0 而k又小于1的话

那么1减去4倍的KT应该是小于0的

所以从这两个关系出发

我们来看一下

在这两个不同的区域里面

这个非线性系统具有什么样的特征

在一三内我们知道

它满足这个线性微分方程

它对应这个误差幅度比较大的

而这个微分方程

它对应的这个特征根是这样一对根

而它的特征判别式就是

1减去4倍的大K乘以大T

也就是我们这里面

所刚才分析的这个表达式

而根据我们刚才假设

这个表达式是小于0的

所以这个时候对应13

它所满足的微分方程

对应的特征根是一对共轭的复根

而且它实部小于0

所以是一对稳定的这个共轭的复根

所以说它对应的这个奇点

这个奇点在原点

它是一个稳定的交点

那在区域二里面

它对应误差幅度比较小的

也就是在这个区域里面

我们知道这个奇点还是在原点

这个时候我写出对应的

这个根的表达式里面

我们可以看到它对应的这个判别式

就是我们上面看到的这个

根据这个假设这个表达式等于0的话

就对应这两个根是一对实数的重根

也就是说它是一个

这个方程有一对实的重根

那为什么等于0呢

所以大家从这也可以看到

由于这个是一对共轭的复根

所以从二阶系统的角度来看的话

它的系统的响应

实际上是一个有欠阻尼的一个运动

而这个运动的话

它是一对这个重的实根

所以它对应的是一个具有临界阻尼

也就是说阻尼系数等于1的时候

就是从欠阻尼到过阻尼

过渡的这个中间状态

所以我们可以看出

实际上这个运动是个欠阻尼的运动

这个是个临界阻尼的运动

而这个阻尼的运动

它对应一个这个相应的节点

是一个稳定的节点

也就是说两个特征根都在左半平面

它对应的是个稳定节点

好 我们先把这些特征先记在脑子里面

下面我们看一下

具体的根轨迹的走势是怎么走的

也就是说我们先取一个相轨迹的初始点

在这个第三个区域里面

E0在这个区域里面

我们看一下这个根轨迹是怎么走的

第一个我们从A出发

A出发 因为它在第一个区域里面

从A出发的话我们知道

原点是这个区域的一个交点

是一个稳定的交点

也就是说如果不考虑这个切换

那从A开始出发

就是说如果没有这个非线性切换的话

它如果一直走下去的话

应该是个螺旋的最后逐渐的收缩的

接近于这个原点的运动趋势

所以它的运动趋势应该是这个样子的

但是这个趋势我们知道

由于这个非线性切换

它不可能持续下去

因为当这条轨线一旦走到交界的地方

从区域三进入到区域二的时候

它所遵循的这个方程

就不再是原来的方程了

而是遵循区域二满足的方程

而从这一点开始以后

它又沿着这样一条轨线运动

而这条轨线我们根据刚才的分析知道

这条轨线它所对应的奇点

是一个稳定的节点

那么这个稳定的节点

我们知道节点有什么特征呢

就是说它最后

它的最后总是一个渐近的往原点运动

而且总是渐近的沿着一条渐近线

这条渐近线对应于

它的一个斜率比较小的这个特征根

因为这里边我们根是重根

所谓这个斜率就是一样的

就是沿着这条渐近线趋近于它

好 如果这个区域比较宽

那有可能我一步就从这

就沿着这条渐近线就直接到原点了

但是如果这个区域比较窄

有可能我会在这个地方

会穿出这个区域二进入到区域一

所以说从C开始

我们又回到沿着第一个微分方程运动

而这个微分方程运动

是以o为稳定交点的

也就是说从这开始运动

趋势应该是一个螺旋

接近于o的这样一个运动趋势

但是这个运动趋势

也不能永远的持续下去

因为它过了一段时间会再次进入区域二

那进入区域二以后我们可以看到

那它会沿着这样一个稳定节点的

附近的运动特征

会沿着这条直线趋近于原点

所以大家可以看到

如果从这出发这个轨线会经过若干次切换

也可能经过一次切换

也可能经过三次切换 或者再多切换

但最终会稳定在这个原点

或者说是以这种稳定节点的方式

去稳定在这个原点

好 下面我来看一下这样一条相轨迹

所对应的时间响应是什么样的

首先我们看一下这个时间响应第一段

那么第一段我们知道

当这个系统的轨迹

在区域三里面运动的时候

它对应于一个欠阻尼的运动

也就是说在这里面第一段的表示

我们知道欠阻尼运动有什么特点呢

就是说它在开始的时候上升的很快

但是正是由于上升快

它过了这个稳定值以后

它很容易冒头 超调

而且这个超调会花一个比较长的时间

经过多次的振荡以后

才能够稳定到一个稳定的值

所以它有利于开始快速的上升

但是不利于最后快速的稳定

所以我们看分析第一段

就是说当这个信号的这个强度

比较小的时候

就在这个系统中

这个信号强度比较小的时候

原点这个时候对应的误差比较大

也就是说一开始的时候误差很大

所以这个时候我希望这个误差

能够快速的降下来

所以这时候我希望有欠阻尼的运动

但是这个欠阻尼的运动

到了一定程度以后 我们画了

如果还是沿着这个趋势运动的话

它就会在这个0附近是不断的振荡变化

所以这个是我们不希望发生的

那为了改善这个

我们就希望在一定的时候我们去切换

怎么切换呢

比如说我在这个时刻

我去把这个欠阻尼的运动

变成一个过阻尼的运动

或者说变成一个欠阻尼

但是阻尼系数比较大

或者说是临界阻尼

我们在这个例子里面

取的是个临界阻尼的例子

比如说从这个地方开始

它的运动是个临界阻尼

当然这个临界阻尼很有可能的话

它还会再一次的过头

过头以后它在这一段

呈现一个欠阻尼运动

而在此进入这个误差区域的时候

它又会呈现一个临界阻尼的运动

而单调的趋近于这个系统的稳态值

所以第二段的区域

它就变成了一个临界阻尼的特点

可以有效的避免了

这个响应过程中的振荡

所以这样一个非线性的切换系统

实际上是有效的综合了这个欠阻尼运动

和临界阻尼的运动的它的各自的优点

而同时回避了它们的缺点

所以这样的系统它的运动的

这个动态性能的话

可以想象会比单纯的用一个线性系统要好

我们再来看一下

当输入信号是一个斜坡信号的时候

也就是这样一个信号的时候

我们同样道理

那这时候系统的这个分区

还是这样的分区

但是在这些区域里面

所满足的微分方程稍微有些变化

因为现在输入的信号变化了

这时候在区域一三方程里面

它这个左边不变 右边会多了一个V

那在二这个方程里边

右边同样一样 也会多了V

那这个变化会导致这个平衡点的变化

会导致这个奇点的变化

也就是说当我们还是在原来这个假设下面

如果当这个等于0的时候

这个在区域一三里面

会出现一个稳定的节点

而个节点它不在原点了

而在区域二里面会出现一个稳定的交点

稳定的交点

而这两个这个奇点实际上也是不一样的

实际上不一样

大家可以看看是不一样的

那它们到底是实的还是虚的

那么实际上是要根据这些V

小k大K的取值来定

就是它们在取值在不同范围的时候

它们有些时候会是实奇点

有些时候会是虚奇点

下面我们来分情况分别的讨论一下

首先第一个我们看

就是假如说这个输入信号的速度V

是一个比较小的

也就是说这个输入信号

它的增长比较慢 它小到什么

小于这个小k乘以大K再乘以e0这个数值

比如说我举这样一组参数

那在这组参数下面我们可以去计算一下

我们可以得到对于一三这两个区域而言

我们去求这个微分方程它所对应的奇点

这个奇点是在0.01这个地方

由于这个奇点它是在二区域

不在一三区域里面

所以它是一个虚奇点

那我针对区域二所满足的

这个微分方程求解的奇点它是等于0.16

我们看到它还在区域二里面

所以这个P2它是一个实奇点

那我们在了解了这两个奇点的虚实以后

我们就可以去分析

这个系统相轨迹的走势

假如说我们的相轨迹

还是从第三个区域开始

我们知道这个时候

这个轨迹它所对应的奇点是P1

而这个P1是一个稳定的交点

所以说如果我没有这个非线性切换的时候

它运动的趋势应该是朝着P1

成一个螺旋的收缩的趋势

最后稳定于P1

但是我们知道这个趋势

是不可能持续下去的

因为一旦当这个轨迹

运动到这个切线的时候

它的这个运动的行为会发生变化

所以在第一段来讲

由于这个P1是个稳定的交点

它会沿着这条轨线运动 运动到B

但是再接下来的话从B开始

那它所运动的这个目标就变成P2

而这个P2是个稳定的节点

所以说它会沿着这个稳定的节点

最后以这个渐近线的方向

就趋近于这个节点

那我们可以看到就是说

如果这个区域是比较宽的

就是说这个e0的取值比较宽

那这个可能一条轨线就走过来了

但是如果这个区域相对比较窄

比如说它可能会沿着这样一条轨线

它有可能会再次的穿出区域二

到区域一里面

它可能还会再经过一个过程再回来

从这个渐近线趋近于P2

但是不管怎么说它可能会经过一次切换

或者三次切换 或者多次切换

最终还是稳定在P2这个稳定的节点上

可是我们看到只要这个实奇点

是一个稳定的奇点

那这个系统最后的运动

至少有一些相轨迹

会稳定在这个奇点上

终止于这个奇点上面

而且我们看到这个时候

由于系统这个e这个误差信号

最终实际上稳定在这

那我们可以看到

这个误差最终实际上是有净差的

这个净差就对应P2的取值0.16

好 所以最后的这个稳定点就是P2

我们再来看一个

如果这个信号速度再快一点

它比我们刚才设定这个预值要高了

但是小于K倍的e0

也就是说我们在这个取值下面

这个时候我们再去计算一下

具体计算过程我们就不说了

我们针对一三满足的这个微分方程

算出来它的奇点P1是在0.1

这个0.1由于它还在区域2里面

所以它还是个虚奇点

我们再算区域2所满足的方程 P2是1.6

但是这个1.6对于我们取的

这个0.2这个取值

它已经跑出区域二了

所以根据二区域满足的方程

算出来的奇点它在三区域里面

所以这个奇点也是一个虚奇点

两个奇点都是一个虚奇点

我们再来分析一下

在这个情况下所满足的方程

那这个时候如果给相轨迹

从第二个区域开始

我们知道一开始它是沿着

这个A这一段这个轨迹出发

而这个出发它的目标是朝着P2走的对吧

朝着P2走的

而这个P2我们知道它是一个稳定的节点

而我们知道由于P2是在区域3里面

所以说它肯定会走到一段

走到B这个时候它会发生一个切换

从B开始又沿着这条轨线继续走

而这条轨线是以P1为稳定交点

或者以P1为目标的

它是沿着围绕P1

最后稳定在P1这个趋势来走的

所以它沿着这个方向来走

走到这个地方又进入区域二

那这个区域二又会朝着P2走

会走到这

到这个地方它又会绕着P1

朝着这个方向走

所以它会这样一直循环一直循环的走下去

而从这个区域上来看的话所有的切换

最后都是在这个分界的地方发生切换

而最后切换它最后会逐渐收敛逐渐收敛

收敛到这个地方

就是说这条垂线和横轴的交点

所以我们可以看到

这时候系统的这个误差信号

最终的收敛既不收敛到P1

也不收敛到P2

而是收敛到e0这个地方

正是由于这两个极点

虽然都是稳定的奇点

但是这两个奇点都不是实奇点

既然它不是实的

最后就没有办法去收敛到这个奇点上面

我们再来看一个

如果输入信号速度再大一些

比K倍的e0还要大

这时候我们去计算P1等于0.3

P1等于0.3

这个0.3我们从这个图上可以看出来

它处在区域三里面

因为它是由三区域的这个方程算出来

它还在三里面

所以这时候P1就变成一个实奇点

而根据第二个区域里面

根据第二个区域

所满足的微分方程算出来这个奇点4.8

它在这个区域二范围以外跑到区域三里面

所以它是一个虚奇点

所以这个虚实的关系就又变了

我们看一下在这个情况下

它的相轨迹是怎么走的

也就是说我们的相轨迹

还是从区域二开始

那么这个相轨迹是以P2为目标

这时候P2在这个地方

以P2为目标为运动

但是由于它是一个虚奇点

它永远也不会运动到P2

它在运动到这个分界线的时候就发生切换

然后在这个区域里面

沿着区域三所追寻的相轨迹的运动方程

以P1为目标

来做这样一个螺旋的

收缩的这样一个运动

当然这个运动可能会到一定程度

会再次碰到极限 切换到区域二

然后区域二会又再一次的

以P2为目标去进行运动

然后再进到区域三 再围绕着P1

所以大家可以看到

在运动到一定程度以后

由于这个轨线是在不断收缩的

所以收缩到一定程度以后

它就不再会进入到区域二里面

而只是在区域三里面运动

而从而最终沿着一个稳定交点的运动

来最终收缩到P1这个点

所以我们总结一下

从A开始从区域二运动到三

然后从B开始然后再切到二

然后经过有限次的几次切换以后

最后它会在区域三里面

稳定的收缩到这个P1

所有最后的稳态误差

实际上就是对应于P1这个取值

P1这个取值

而且这个时候大家可以看到

它这个轨线会有多次的振荡的调节

多次的振荡调节

它的调整时间会变长

所以说我们现在把这三种情况

就是说随着信号速度V的增加

从小到比较中等

到比较大的这个相轨迹

我们放到一起来比较一下

我们可以看到一下随着速度的增加

一开始它的稳态误差是在0.2以内

比0.2要小 在速度比较小的时候

但是速度稍微增加一点的时候

我们可以看到这个时候误差变成0.2

也就是说e0的这个预值

然后速度误差再大一些

这时候误差稳态值

就变到了比这个预值还要大的地方

变到了P1

所以随着信号速度增加

稳态误差是增加的

而且还有一个特点

就是说随着信号速度的增加

这个时候这个信号一开始

它可能经过很有限的几次切换

它就会稳定到这个点

但是随着速度误差增大的话

它这种振荡的切换的次数就会增加

所以说这个振荡会加剧

而且随着这个振荡的加剧

调整时间会逐渐的变长

所以说从这个非线性系统而言

就是说如果当我们的跟踪信号

速度增加的时候

它的跟踪的性能会逐渐的变差

我们再来看另外一个系统

就是说控制对象还是一样

但是我们这个非线性环节

变成了一个有死区 有滞环

有切线的这样一个非线性特性

那对于这样一个非线性特性

实际上我们这个在这个相平面上分区的话

要分成这三个区

而且这三个区

不像我们刚才这个例子里面分区那么平整

那具体怎么分呢

实际上我们实际上还是根据m的取值来分

m的取值来分

从这个图形上我们可以看到这个m

就是说输出信号的m的取值

实际上只有三种可能

一种是它等于负m0

一种是在死区的时候它是等于0

一种是等于正m0

所以说我们分区就看在哪些区域里面

m是等于负m0的

在哪个区域m是等于大m0的

那么看这些区域是什么划分的

我们把这个非线性环节的这个表达式

分段表达式写出来

也就是说首先因为我们知道

这种滞环特性

它和误差信号的变化的趋势有关系

如果当e从小变大的时候

这就对应于e一点是大于0的

e一点大于0就对应于

我们这个相平面的上半平面

上半平面这部分

那我们可以看到

那么在e1的这个地方会发生切换

那么当它大于e1的时候它的取值是m0

就是我们第一段函数

那么在e1以前 在这个地方

从这个e1到的负e0这个地方它取值是0

而且在这个地方以后它取值负m0

所以说这是在上半平面它是这么分的

也就是说大家可以画一下

就是e大于e1的时候在上半平面

我们只是看上半平面

e大于e1的时候这部分

它对应的m等于m0

在e1和负e0之间就是我们对应的第二段

在上半平面它对也的是M等于0这一段

这一段是对应于m等于负m0

我们反过来看 在反向的时候

它会在这个地方发生切换

也就是说当e大于e0的时候

而不是大于e1的时候

因为它在这个时候

切换的时候是在这个地方切换

而不是在e1切换

所以在e大于e0的时候m取是大m0

这个e0到负e1之间的取值是0

那在e以后取值是负m0

所以我们画 因为这时候是e减小

e减小 对应于e一点小于0

也就是这个相平面的下半平面

e一点小于0下半平面

首先我们根据这个表达式可以看一下

大于e0在这个地方

的右边是等于m等于大M的区域

中间是对应m等于0的区别

左边是对应于小m等于负M0的区域

所以我们这个区域是根据小m的取值

三个不同的取值进行这样一个划分

那么在这些区域里面

误差是满足这样一个方程

那同样的道理的话

那这个误差和输入信号

以及和m非线性环节的输出信号

所满足的方程

和我们前面推导的是一样的

而这个M和我们的误差信号

是有一定的非线性的依赖关系

我们看一下如果现在这个输入信号

是个单位的阶跃响应

那么在这三个区域里面

那么这个系统分别满足

三个不同的微分方程

也就是说在区域一里面

在区域一我们知道

对应的小m是等于负的M0

所以也就是说这时候这两项都没有了

因为这个是个阶跃响应

这两项没有了 小m它等于负M0

所以方程的右边就变成k倍的M0

那么在第二个区域里面

我们看到小m等于0

所以这个方程右边也变成0

第三个区域里面

这个方程右边就变成这个

所以在三个区域里面

分别满足三个不同的线性微分方程

而在这些区域里面

我们可以分析一下它奇点的特征

实际上这个方程我们前面已经分析过了

实际上在这个区域里面

在区域二的区域里面我们前面分析过

这个系统它是有奇点的

而且奇点是连续分布的

那么在区域一和三之间是不存在奇点的

为什么不存在奇点呢

就是说如果有奇点

那在这个奇点的这个地方

那么e一点应该等于0

因为它在这个奇点的地方

运动是不变的 不动的

那么e两点也应该等于0

那么这两个等于0的话

就意味着方程左边等于0

而方程右边不等于0

所以这样的点是找不到的

所以在一三里面是没有奇点的

而在区域二里面是连续的奇点

这个连续的奇点

而且是在这个横轴上

首先我们把这个奇点画出来

就是说所有的横轴

在区域二的里面的这部分

都有可能是这个系统的奇点

而且这个奇点我们可以看到

它是一个实奇点

好 那么还有一个特征

就是渐近线的特征

我们还是看这个方程

就是说如果我们去看这个系统

如果这个系统的相轨迹

如果趋近于无穷远

但是趋近到无穷远的时候

它可能运动到一定趋势的时候

e一点这个相变量

它可能慢慢的趋近于一个常数值

那这个时候e两点

可能就会慢慢趋近于0

所以如果在这个方程里面让它等于0

而它趋近于一个常数值

我们就可以看到那么这个常数值

就是k的大M0

所以说在区域一它会有一个渐近线

正好是一条e0等于常数的

这样一条水平线

同样在区域三里面

就是让e两点趋近于0

让e一点趋近于常数的话

它会有一个e一点等于负kM0的

这样一条渐近线

所以这个渐近线画出来

就是在区域一里面

有一条在实轴上面的渐近线

在区域二里面有一条在实轴下面的渐近线

那么这两条渐近线

对相轨迹的运动作用也是非常大的

下面我们分几种不同的情况来看一下

如果这个非线性环节的这个阈值比较大

也就是说我们刚才这个分区的区域

这个第二个区域 中间这个区域比较宽

而这个开环增益K乘以M0

我们通过前面的这个传递函数表达式

我们可以看到KM0实际上就对应于

这个系统的开环增益

如果开环增益比较低的话

我画出来是这个样子

那么这个时候就区域二会比较宽

但是上下这两条渐近线

相对的比较接近这横轴

我们看一下这时候相轨迹会是什么样的

如果我从第三个区域出发

我们知道第三个区域出发

由于这个区域它没有奇点

从这个区域出发的轨迹

它会沿着朝这条渐近线

趋近于这条渐近线的这个趋势来进行运动

如果没有这个切换

它会永远的沿着这条渐近线一直往左边走

但是这个趋势不会进行下去

一旦到这个切换点

它会切换到第二个区域所满足的微分方程

而这个微分方程

它是朝着这些连续的奇点运动的

而这个运动我们前面分析过

对于这样一个线性系统方程

它的相轨迹都是这样一条

斜率固定的直线 平行直线

那如果这个区域比较宽

可能在一定的时刻

它又正好抵达了某一个连续的奇点

那这个时候运动就终止了

那如果这个区域不够宽

那它可能在穿到这的时候

它又会从区域二进入到区域一

从而从区域一里面

再沿着一个不稳定的运动去运动

那这个运动尤其在区域一

所以它是朝着区域一的这条渐近线去运动

大家可以看到这个趋势

就是往这条渐近线去运动

如果它不停止的话

会一直往右边运动下去

但是这个运动也不会永远

因为它过了一段时间

它就又再一次的进入到区域二

那如果这区域二比较宽的话

我们可以看到从这开始

沿着这样一条相轨迹为直线的这个相轨迹

它会最终终结到一个连续的奇点上面

所以这样一个系统的相轨迹

它可能归经过若干次

但是有限次的切换最终稳定到一个奇点上

而这个奇点可以是任意一个连续奇点

依赖于我们这个相轨迹从哪开始

如果反过来 如果这个阈值比较低

而这个增益比较高

对应于这个相平面图

就是说中间这个区域比较窄

而上下两条渐近线是离横轴比较远

我们再来看一下这个相轨迹会是什么样的

大家看一下就从这开始

首先第一段它在区域三里边

会朝着趋近于这条渐近线的趋势运动

然后从这再进入区域二的时候

会沿着这条平行的这个直线的相轨线

朝着这个连续的实奇点

这个方向去运动 朝着实轴运动

但是运动到这个区域

由于这个比较窄

所以它肯定会在某个地方

会穿出这个分界线进入到区域一里面

然后又向着区域一的这条渐近线运动

然后再次进入区域二

然后进入区域二里面

沿着直线运动然后再次进入区域三

然后再次沿着区域三的渐近线运动

这样往返的运动下去

大家看这个运动很可能会持续下去

就是这种切换有可能

它会一直在区域一二三之间发生切换

而这个切换可能永远的会持续下去

而且持续到一定程度以后

它这个切换的这个轨迹

它都变成了一条线

就是说如果在区域三里面运动轨线

最后它可能会趋近于一条曲线

而在这条轨线它可能最终趋近于一条直线

所以这实际上就是我们前面

所碰到过的极限环

也就是说对于这样一类情况

就是说阈值比较低

但是开环增益比较高的情况下

这时候系统中有可能会出现极限环

所以这是在阶跃输入响应情况下的相轨迹

那么如果这输入是斜坡输入

我们这个具体的分析就不再具体的描述

我们可以写出相应的

这个三个区域中的微分方程

只不过是方程右边的是多了一些常数项

那它这些常数项是会影响这个奇点的分布

那么这个奇点分布我们可以看到

这个时候就是原来对于这个阶跃输入

在区域二里面总是有奇点的

但是那在这种情况下

实际上奇点并不一定总是存在的

我们可以看到

就只有当方程右边是等于0的时候

才可能有奇点

那我们可以看到由于V是大于0的

区域二里面已经没有奇点了

由于V kM0都是大于0

所以区域一里面也是没有奇点

那区域三里面有可能

就是说如果这三个参数取值正好

让它等于0的时候它可能会出现奇点

而且这个奇点是连续的

所以说我们画这个奇点的时候

就是说在一定的条件下

区域三里面可能会出现连续奇点

否则在这个三区域里面都不会出现奇点

如果没有奇点的话

在这三个区域里面

分别会由这三个数值确定三条渐近线

我们画出来就是这样的

所以有了这些特征

我们就可以把相应的相轨迹画出来

第一个如果输入信号速度比较高

我们画出的相轨迹

大家回去可以自己画一下

是这样一个趋势

它最终的运动是不稳定的

因为它会最终沿着第三个区域的渐近线

一直往右趋近于无穷

那如果信号的速度处于临界的时候

就是V正好等于KM0的时候

我们知道在区域三里面会有连续的奇点

这个时候相轨迹会经过一定的切换运动

最终会稳定在某一个连续的奇点上面

那具体稳定在哪个奇点上面呢

依赖于相轨迹初始的取值

如果输入信号的速度比较低的话

这时候三个区里面都没有奇点

我们还是沿着这三条渐近线运动

而这个时候大家再画一下和刚才一样

这时候有可能在这个地方出现一个极限环

当然具体能不能出现

什么情况下可以出现的话

这个还需要进行进一步的分析

而这个分析我们在下一节课

会专门的对这种相平面图上的极限环

进行进一步的深入研究

好 我们这节课就到这里