当前课程知识点：微积分-2 > Chapter 2 Infinite Series 无穷级数(first part) > Unit 1 Infinite Series and Their Convergence（无穷级数及其收敛性） > Infinite Series and Their Convergence (无穷级数及其收敛性)
同学们 你们好
欢迎来到MOOC在线课程微积分
这节课我们要开辟新的一章 级数
我们先简单说一下为什么要引入级数
我们知道
有限多个数相加的结果呢
就是一个具体的数
但是啊 在很多数学问题中
我们还会遇到无限多个数相加的情形
那么 无限多个数加起来的和是否存在呢
如果存在 它这个和到底等于什么
它是什么意义呢
这就是我们这一章要讨论的主题
好 下面我们就从级数的定义谈起
Chapter 2 Infinite Series 无穷级数
Unit 1 Infinite Series and their Convergence
无穷级数及其收敛性
One. Convergence of Series
级数的收敛性
首先 我们讲一下什么是级数
其实啊 级数很简单
就是这样一种无穷个数的和
A summation of the form
注意 我们这里这样写的
S 它是一个符号
它表示这样一个无穷和
指标呢k从0开始到无穷a_k
也就是从a0加a1加到a2一直加下去
Plus all the a n and n goes to infinity
无穷多个数加起来
这种形式的东西
我们姑且暂时不说它的含义是什么
那么这些无穷个数加起来
它就叫做Infinite Series无穷级数
或者呢 简称级数 or series
好的
如果我们要讨论这个无穷级数它到底是什么含义
或者说它的值指的是什么数
我们通常呢是这样约定的
Its value, if exists
is the limit of the sequence of partial sums {S_n}
这句话我们来慢慢理解
前面我们说的无穷级数
它的值如果存在的话
指的是什么呢
指的是一个极限值
这个极限值的结果是通过求部分和这个数列的极限
注意 我们这里写了一个Sn
把他看成一个数列
S n什么意思呢
就是从0一直加到n
指标从0到n 这么一段数的和
从a0 a1一直加到an
有限个数加起来得到一个有限的值
这个值呢 记成Sn
那么这些所有的Sn
当n跑的时候就构成一个数列
如果这个数列的极限存在的话
我们就把它叫做前面我们写的无穷级数的值
因此我们看到这个无穷级数啊
如果它有值的话 这个值呢就是一个极限
In other words
S if exists is the limit of Sn as n goes to infinity
刚才我们给出了级数的说明
现在呢我们给出一个完整的定义
Below is the formal definition
Definition 1.1
A series summation of ak
k from zero to infinity
which is the sum of a0 plus a1 plus dots plus a n plus so on
也就是从a0一直到无穷这么一个无穷个数的和
Such a series is said to be convergent
这样一个级数呢叫做收敛的
If Sn as a sequence is convergent
也就是我们前述的部分和的数列
它是收敛的数列
Sn呢就是我们刚才定义的部分和也就是从a0一直到an
那么如果它收敛的话
就收敛到某一个具体的数了
这个数呢就是我们刚才所定义的这个级数的值
In such a case, we write
the value of such a series equals the limit of Sn
which is the limit as n goes to infinity
a finite sum k from zero to n of ak
我们刚才定义这个级数的时候呢
我们通常约定 这个最开始的项是a0
然后呢是a1 a2
有的时候呢 第一项可以不是从指标0开始
可以从1开始 也可以从别的数开始
这个呢 都不影响上述的定义
因为我们知道啊 极限它关键是在n趋于无穷的时候
前面有限个项呢 它不影响这个极限的存在性
另外呢
We recall the definition of limits of sequences, we have
根据我们以前定义过的数列极限的定义
我们知道啊 所谓级数收敛
级数ak k从0到无穷 它收敛按定义就是上述Sn的极限存在
就等价于这样一件事情
我们现在呢用严格的数学语言来描述一下
就是存在某一个大L 它是一个实数
这个实数呢就是我们将来要找的极限值
使得什么呢 使得Sn趋近于L
as n goes to infinity
好的 我们来看一个具体的例子
请看Example1.2
Here, we consider the series
注意我们现在把这个级数写出来了
它的通项是依赖于k的
k的指标是从1开始到无穷
它的通项式是-1的k+1次方除以k
第一项就是1
第二项是负二分之一
第三项是正三分之一
第四项是负四分之一
And so on
这样一个级数和
它是否收敛呢
其实啊 这是一个比较难的数学问题
要想说明它convergent
We claim it is convergent
是需要一些其他的准备知识的
The following fact is needed
我们现在呢 需要这样一个定理
这个定理呢 我们在以前微积分1中呢
没有讲过 但是在微积分1的补充材料中是有它的证明的
我们现在呢 把它直接拿来用
因为这个定理的证明超越了我们这门课本身的要求
我们就直接承认这样一个结果就可以了
它就是下面的Theorem1.3
The limit limit as n goes to infinity
注意看里边
是k分之一这样一些项
从哪加起来呢 从k等于1一直加到n
好了 前面一个和式减去ln(n)
注意整个这个括号中的式子依赖于小n
然后呢让小n趋近于正无穷
这个极限呢是存在的
这个极限的结果呢通常被记成一个符号
Denoted by γ
这个γ呢就叫做欧拉constant欧拉常数
这是一个非常著名的数学分析的结果
它的证明呢也是比较复杂的
我们这里呢就忽略了
我们呢可以把这个定理呢换一种方式来写
它相当于说什么呢
In other words we have
也就是部分和k分之一
这个部分和从1加起
1加2分之1加3分之1一直加到n分之1
它和ln(n)的差别在哪里
我们现在用这样一个式子来写
就是ln(n)加上 γ加上εn
Where εn goes to 0 as n goes to infinity
也就是说我们把
k分之一这个部分和
k从1到小n
这样一个部分和和ln(n)的差异在哪里呢
就是γ加上εn，εn是一个趋近与0的数列
这是定理1.3的等价写法
这个结果呢 也叫做调和数列的估值
这是一个非常著名的结果 好了
如果我们承认这个结果的话
我们下面就可以处理前面讲的那个例子了
请看 We are back to Example 1.2
这里呢 我们要考虑这样一个部分和
因为啊 在例子1.2中我们要考虑
就是负1的k加1次方除以k
然后呢求和k从1到无穷
现在呢我们考虑部分和
就是从1到2n
我们看看它会怎样
好了这个部分和呢
我们把它先写成两部分
这里呢我就不给同学们
把每一项念出来了
同学们仔细看一下
这是一个恒等式
我们把这个恒等式呢
再换一个写法
我们能看出来 怎样呢
它就是1加2分之1加3分之1一直加到2n分之1
而后面被减项呢是
1加2分之1加3分之1一直加到n分之1
好的 我们现在利用前面我们所讲的那个定理
Recall that
就是k分之1 也就是1加2分之1加到n分之1这个部分和呢
它会等于ln(n) plus gamma
plus εn where εn goes to zero
好的我们套进去就得到什么呢
部分和k从1到2n
负1的k加1次方除以k
等于ln(2n)plus gamma plus ε2n
minus ln(n) plus gamma plus εn
好的
整理一下 它就是ln2 plus ε2n minus εn
别忘了εn是趋近于0的
因此呢 它整体极限就是ln2
于是我们看出来了
当我们取部分和
也就是偶数多个项的部分和的时候
它的极限是ln2
如果我们取奇数个呢
这个极限也是ln2
这个地方呢希望同学们自己仔细地推导一下
总之呢 我们现在呢
得到结果就是
无穷级数的和
负1的k加1次方除以k
它的结果是ln2
它是收敛的
2. Basic properties of series
级数的基本性质
好的 我们刚才看到了
级数的定义和一个非常有意思的例子
下面呢我们研究一下级数一些最基本的性质
首先呢 我们要把原来的收敛性呢
给再具体一下 就是一个
A necessary condition of convergence
我们要说这样一件事情
就是收敛级数的一个必要条件
Necessary condition
它是这样讲的
If a series
如果我们有这样一个series
就是n从zero to infinity a n
这样一个无穷级数
If it converges
then the limit of a n as goes to infinity equals zero
什么意思呢
就是说如果一个无穷级数
它是收敛的 那么它的通项
也就是a n的极限呢
一定是0
这个啊 要想证明这件事情啊
其实并不是很难
我们需要用一下柯西收敛准则
这里呢 我们就忽略这个证明
因为我们这门课对证明本身呢要求不是很高
我们只要能够理解这件事情
就可以了 好的 我们看一个例子吧
example2.2 如果我们考虑这个
级数 负1的n次方
它通项是负1 n次方也就是
1 -1 1 -1 1 -1这样的序列
你给它无穷个加起来
它就发散 为什么呢
因为刚才这个定理2.1已经告诉我们了
如果它要收敛的的话 它通项必须趋近于0
而负1的n次方呢
显然当n趋近于无穷的时候
并不趋近于0
因此它一定发散
Because the limit of -1 to the n does not converge to zero
好的 另外一个重要的定理是这样说的
If a n and b n two series
两个关于a n b n的级数
If they both converge
如果这两个都是收敛的级数的话
那么怎么样呢
我们可以做他们的线性组合
也就是做通项式
λ a n plus or minus μ times b n
其中这个λ μ呢都是实数
做任何的这一种
线性组合得到的新的级数呢
一定也是收敛的
而且它收敛到的数呢
就是先对a n这个级数求极限
然后呢 b n这个级数求它的值
然后再做相应的线性组合
这就是所谓的线性性质
The property of linearity
接下来还有一个重要的注记
Remark2.4也就是
Removal or addition of finitely many terms
from a series or to a series
从一个无穷级数中
去掉有限多项
或者添加有限多项 怎么样呢
does not affect the convergence or divergence of the series
对于一个无穷级数而言
不管你增加了多少项
还是减少了多少项
只要是有限多个
那么它的收敛性不会改变
但是它收敛到的那个值会发生改变
这个呢 很容易理解
3. Cauchy Criterion
柯西准则
好的 这一小节呢 我们明确一下
级数收敛的柯西准则
以前提到柯西准则
我们是在数列极限
或者呢函数极限的时候说的
现在呢 把原来的柯西准则呢
相应地适应到级数的情况就有现在的Theorem 3.1
柯西准则
A series a k
k from zero to infinity
the summation of infinite many terms
such a series is convergent
这样一个无穷级数
它是收敛的 充分必要条件是什么呢
if and only if for all ε positive
there exists some big N
which is a natural number
对任意的ε大于0
存在着某一个
大N它是一个自然数
使得什么呢 使得
这样一个片段和 注意
这是片段和 和前面我们说的部分和不太一样
注意它的片段和是怎么个片段法呢
从小n到n+p
这么一段指标上的部分
也就是a n
a (n+1)一直到a (n+p)
这么一个片段的数
给它加起来
它的绝对值
要小于ε
其中呢 小n是任意一个
比大N还大的指标
而p呢是任意的
好的 讲了柯西准则之后呢
我们现在呢 讲另外一个重要的例子
它叫几何级数 geometric series
这个几何级数是什么样的呢
它是这样的 它的通项是r的k次方
其中啊r是某一个实数
第一项是r的0次方 也就是1
第二项是r的1次方r
接下来呢是r的平方
一直加下去
这种级数呢就叫做几何级数
它的通项呢是
一个同样的比例
就是r 好
我们来看一下这种级数
它的收敛性如何
注意其中r呢是一个参数
We have the following basic fact
说这样一个几何级数
它是收敛的充分必要条件是
r的绝对值小于1
and 如果r的绝对值小于1的话
那么 几何级数收敛到的值是(1-r)分之1
其实啊这个结论呢
很容易通过定义就能证明出来
我们下面呢简单解释一下
In fact 我们看一下部分和
从1加起 k从1一直加到无穷
r的k次方
为什么呢 我们下面呢
简单地解释一下 就是通过定义
请看啊 部分和k从0到n
r的k次方 因为这是有限个数 我们很容易算出来
它就是r的n加1次方负1除以r减1
那么 当n趋近于无穷的时候呢
我们想一下 什么情况下它极限会存在呢
稍微仔细地分析一下就会发现
只要r的绝对值
小于1 这个极限就存在
如果r的绝对值大于或等于1
这个极限呢就不可能存在
因此呢 我们有刚才这个结论
同学们刚才这一讲呢
我们学习了数项级数的一些基础知识
我们呢
为大家简单介绍了数项级数收敛的概念
还有几种简单的判别方法
希望同学们呢课后要多做一些练习
以熟练掌握这些知识
下一讲中呢
我们要为同学们介绍
数项级数的两种不同收敛性
绝对收敛和条件收敛
同学们呢要提前预习一下
最好呢 和我们以前学过的
广义积分的绝对收敛和条件收敛呢
互相比较一下 看看有什么异同之处
好的 我们下一讲再见
-Introduction (课程介绍)
-Unit 1 Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 1)
--Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 1)
--Exercises-1-1-1
-Unit 1 Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 2)
--Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 2)
--Exercises-1-1-2
-Unit 2 Examples of Improper Integrals (广义积分的例子)
--Video-1-2 Examples of Improper Integrals (广义积分的例子)
--Exercise-1-2
- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)
--Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)
--Exercises-1-3-1
- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)--作业
- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)
--Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)
--Exercises-1-3-2
- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)--作业
-Unit 4 Absolute Convergence and Conditional Convergence (绝对收敛和条件收敛)
--Absolute Convergence and Conditional Convergence (绝对收敛和条件收敛)
--Exercise-1-4
--1-4讲义
-Test1
-Unit 1 Infinite Series and Their Convergence（无穷级数及其收敛性）
--Infinite Series and Their Convergence (无穷级数及其收敛性)
--Exercises-2-1
--2-1讲义
-Unit 2 Absolute Convergence and Conditional Convergence （绝对收敛与条件收敛）
--Absolute Convergence and Conditional Convergence （绝对收敛与条件收敛）
--Exercises-2-2
--2-2讲义
-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 1）
--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 1）
--Exercises-2-3-1
-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 2）
--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 2）
--Exercises-2-3-2
-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 3）
--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 3）
--Exercises-2-3-3
--2-3讲义
-Test2
-Unit 4 Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 1）
--Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 1）
--Exercises-2-4 (section 1)
-Unit 4 Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 2）
-- Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 2）
--Exercises-2-4 (section 2)
--2-4讲义
-Unit 5 Uniform Convergence(一致收敛性)（section 1）
--Uniform Convergence（一致收敛性）（section 1）
--Exercises-2-5(section 1)
-Unit 5 Uniform Convergence(一致收敛性)（section 2）
--Uniform Convergence(一致收敛性)（section 2）
--Exercises-2-5（section 2）
--2-5讲义
-Unit 1 Power Series (幂级数)(section 1)
--Power Series (幂级数) (section 1)
--Exercise-3-1(section 1)
-Unit 1 Power Series (幂级数）(section 2)
--Power Series (幂级数）(section 2)
--Exercise-3-1 (section 2)
--3-1讲义
-Unit 2 Expansion of Functions in Power Series (函数的幂级数展开)
--Expansion of Functions in Power Series(函数的幂级数展开)
--Exercise-3-2
--3-2讲义
-Unit 3 Fourier Expansion (Fourier级数展开) (section 1)
--Fourier Expansion(Fourier级数展开)(section 1)
--Exercise-3-3(section 1)
-Unit 3 Fourier Expansion (Fourier级数展开) (section 2)
--Fourier Expansion(Fourier级数展开)(section 2)
--Exercise-3-3(section 2)
--3-3讲义
-Unit 4 Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 1)
--Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 1)
--Exercise-3-4(section 1)
-Unit 4 Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 2)
--Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 2)
--Exercise-3-4(section 2)
--3-4讲义
-Unit 5 Other Forms of Fourier Series(其他形式的Fourier级数)
--Other Forms of Fourier Series(其他形式的Fourier级数)
--Exercise-3-5
--Test3
--3-5讲义
-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 1)
--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 1)
--Exercise-4-1-1
-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 2)
--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 2)
--Exercise-4-1-2
-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 3)
--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 3)
--Exercise-4-1-3
--4-1讲义
-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 1)
--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 1)
--Exercise-4-2-1
-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 2)
--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 2)
--Exercise-4-2-2
-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 3)
--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 3)
--4-2讲义
-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 1)
--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 1)
--Exercise-4-3-1
-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 2)
--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 2)
--Exercise-4-3-2
-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 3)
--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 3)
--Exercise-4-3-3
--4-3讲义
-Unit 4 Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 1)
--Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 1)
--Exercise-4-4-1
-Unit 4 Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 2)
--Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 2)
--Exercise-4-4-2
--4-4讲义
-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 1)
--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 1)
--Exercise-4-5-1
-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 2)
--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 2)
--Exercise-4-5-2
-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 3)
--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 3)
--Exercise-4-5-3
--4-5讲义
-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 1)
--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 1)
--Exercise-4-6-1
-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 2)
--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 2)
--Exercise-4-6-2
-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 3)
--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 3)
--Exercise-4-6-3
--4-6讲义
-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 1)
--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 1)
-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 2)
--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 2)
--Exercise-4-7-1
--Exercise-4-7-2
-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 3)
--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 3)
--Exercise-4-7-3
-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 4)
--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 4)
--Exercise-4-7-4
--4-7讲义
-Test1
-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 1)
--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 1)
-Exercise-4-8-1
-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 2)
--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 2)
-Exercise-4-8-2
-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)
--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)
--4-8讲义
-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)--作业
-Unit 9 Applications of Gradients (梯度的应用) (section 1)
--Applications of Gradients (梯度的应用) (section 1)
-Unit 9 Applications of Gradients (梯度的应用) (section 2)
--Applications of Gradients (梯度的应用) (section 2)
--Exercise-4-9-2
--4-9讲义
-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 1)
--Multiple Integrals (重积分) (section 1)
-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 2)
--Multiple Integrals (重积分) (section 2)
--Exercise-5-1-2
-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 3)
--Multiple Integrals (重积分) (section 3)
--Exercise-5-1-3
--5-1讲义
-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 1)
--Triple Integrals (三重积分) (section 1)
--Exercise-5-2-1
-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 2)
--Triple Integrals (三重积分) (section 2)
--Exercise-5-2-2
-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 3)
--Triple Integrals (三重积分) (section 3)
--Exercise-5-2-3
--5-2讲义
-Unit 3 Line Integrals (曲线积分) (section 1)
--Line Integrals (曲线积分) (section 1)
--Exercise-5-3-1
-Unit 3 Line Integrals (曲线积分) (section 2)
--Line Integrals (曲线积分) (section 2)
--Exercise-5-3-2
--5-3讲义
-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 1)
--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 1)
--Exercise-5-4-1
-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 2)
--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 2)
--Exercise-5-4-2
-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 3)
--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 3)
--Exercise-5-4-3
-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 1)
--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 1)
-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 2)
--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 2)
--5-4讲义
-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 3)
--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 3)
--Exercise-5-5-1
--5-5讲义
-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 1)
--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 1)
--Exercise-5-6-1
-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 2)
--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 2)
-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 3)
--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 3)
--Exercise-5-6-2
--Exercise-5-6-3
--5-6讲义
-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 4)
--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 4)
-Unit 7 Field Theory (场论) (section 1)
--Field Theory (场论) (section 1)
-Unit 7 Field Theory (场论) (section 2)
--Field Theory (场论) (section 2)
--Exercise-5-7-1
-Unit 7 Field Theory (场论) (section 3)
--Field Theory (场论) (section 3)
-Unit 7 Field Theory (场论) (section 4)
--Field Theory (场论) (section 4)
--Exercise-5-7-2
--Test5
--5-7讲义
