Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 2)慕课视频播放-微积分-2-MOOC慕课视频教程-柠檬大学

Section 2 Gauss’s theorem

高斯定理

同学们在这一小节呢我们学习高斯定理

In vector calculus Guass’s theorem

also known as the divergence theorem

or Ostrogradsky’s theorem

is a result that relates

the flux of a vector field through a surface

to the behavior of the

vector field inside the surface

在向量场的微积分知识中

高斯定理它呢也叫散度定理

或者Ostrogradsky定理

它呢给出一组关系

一边是沿着某一个面的通量 flux

另一边呢是

这个向量场在这个面的内部的某些行为某些量

好我们下边具体看一下

Precisely the divergence theorem states that

the outward flux of a vector

field through a closed surface

is equal to the volume integral

of the divergence

over the region inside the surface

简单讲吧就是说这个散度定理

也就是高斯定理

它说什么呢说朝外的通量

实际上就等于在这个体的内部

对所有散度的三重积分

Intuitively it states that

the sum of all sources minus the sum of all sinks

gives the net flow out of a region

另一种简单的解释就是说

在这个体内呢有很多的源 source

那么换一种解释就是说

在一个体的内部

如果我们把所有的流出的源和流入的源

它们的贡献加起来就会给出net flow

也就是净流出在这个区域内部的净流出

这些呢和我们下一个单元要学习的场论呢

有很大的关系

现在呢我们暂时不用细究

以后呢总会明白这里面说的什么意思

好我们看一下高斯定理

Theorem 2.1

Gauss’s theorem or Ostrogradsky’s theorem

高斯定理或者Ostrogradsky定理

好请看

Let V be a bounded and closed region in E^3

假设欧氏空间E^3中呢有某一个V

这是一个有界的闭集

The boundary of V

V的边界把它记成partial V

S equals partial V

consists of one or finitely many

piecewise smooth surfaces

假设这个体啊也就是V

它的表面记成S

是由有限个逐段光滑的曲面片构成的

and is oriented by outward-pointing normals

指定的一个法向怎么指定呢朝外

沿着它的表面朝外

Functions P Q R are C^1 functions

on an open neighborhood of V

因为V是一个闭集

我们假设V稍微扩充一点

放在某一个开集中呢

这个开集中有这么一个场

这个场的三个分量是P Q R

也就是三个函数它们都是C^1类函数

好这个时候呢我们有结论

请看这个等式

左边是在partial V

也就是V的表面做第二型面积分

被积的呢是一个2形式

P dy wedge dz 加上Q dz wedge dx加上Rdxdy

好的结论它等于等式的右边

这个右边是什么呢是一个三重积分

V是积分区域

被积函数呢是

partial P partial x plus partial Q partial y

plus partial R partial z dxdydz

这就是高斯定理的结论

它建立了两个积分之间的关系

一个是表面的第二型面积分

一个是体内部的三重积分

好的我们刚才陈述了高斯定理

高斯定理的意义是这样的

The surface integral of a vector field

通常啊给定一个向量场

比如说 P Q R 作为分量的向量场

那么对它做面积分

通常是比较难算的

It’s always a little bit hard to calculate

We will see that Gauss’s theorem

will simplify the calculation

如果我们使用高斯定理的话

这个运算呢就会变简单

In fact it gives the relation between

a type two surface integral and a triple integral

因为呢根据高斯定理

可以把刚才这个第二型面积分啊

把它转化成一个三重积分

好我们看一个例子

Example 2.2

在这个例子中我们要考虑这样一个问题

Calculate such an integration

好这个第二型面积分呢

是在某一个曲面S上去做的

它的被积函数是xdydz

加上ydz wedge dx加上zdx wedge dy

这个S是什么呢它是

the surface of x square plus y square plus z square

equals one with normal pointing outward

也就是单位球面指定定向朝外

如果我们按原来所学习的

第二型面积分的计算方法的话

就要把x y z全部转化成它的参数表达

然后代入这个式子去计算

现在呢我们看一种简单方法请看

Solution

Let B be the region enclosed by S

也就是说 B这个球的表面啊S

包围的部分就是那个球体记做B

We then have好我们直接使用这个高斯定理

那么我们要求的这个积分啊

就是沿着S表面对这个形式做积分啊

它会等于什么呢

等于在B上去做一个三重积分

而这个三重积分的量呢很简单

因为第一个量P就等于x

所以是偏P偏x 就是偏x偏x

好类似的其它几个量呢我们都写出来了

这样一看的话

这不就直接等于3倍的B上的积分吗

于是我们知道

在这个球体B上去做三重积分啊

等于球体的体积

这个我们以前都知道这个结果

所以最后经过简化之后等于4π

我们看到直接使用高斯定理

这个第二型面积分呢

就几乎是一步就可以算出来了

但是如果使用参数化的方法

使用定义的话这个计算量是非常大的

同学们不妨自己试一下

同学们下面我们考虑这样一个例子

这个例子呢是一个具体的物理问题

Example 2.3

Consider the problem of the flux of a fluid

还是考虑流体的通量这么一个问题

A three dimensional region V

contains a certain fluid

在三维的体V中呢包含了某种流体

which is flowing out of the surface

也就是partial V 在V的表面呢它向外流出

或者某些地方向内流入

at a rate 这个rate就是流出或流入的速度

F=(P,Q,R)

The density in V is the function ρ(x,y,z)

好现在我们假设这个V中这个流体它的密度啊

是仅仅依赖于x y z 不依赖于时间

也就是说它在稳定的流入或流出

Due to the conservation of mass

根据我们之前讲过这个物质守恒呢

已经得到了这样一个关系

这个关系我们以前解释过

就是partial M partial t

也就是M是总质量

它关于时间的导数等于

三重积分partialρpartial t dxdydz

它呢按守恒定律呢

它会等于负的partial V F dσ 带箭头啊

也就是 F这个场在表面做第二型面积分

当然这里头有个负号在这里

于是我们按照这个第二型面积分的定义呢

把它写成这样一个2形式的形式

好就是负的partial V Pdydz

加上Qdzdx加上R dx wedge dy

进一步

according to Gauss equation

现在呢我们运用高斯公式得到什么呢

就是把刚才那个算式中的第二型面积分啊

直接把它转化成一个三重积分

也就是在V里边去求

partial P partial x partial Q

partial y partial R partial z

这三项之和的三重积分

好接下来

我们把刚才这个等式啊代入之后呢

我们就会得到这样一个恒等式

因为我们对任意的区域V中都可以做这件事情

那么最后就会得到这样一个恒等式

怎么说 partial P partial x

加上 partial Q partial y

加上partial R partial z

加上 partial ρ partial t等于零

当然如果ρ不依赖于t的话

那么partial ρ partial t 就会等于0

那么刚才这个方程啊

我们可以换一种写法就是

nabla点乘F加上partialρpartial t等于0

这个公式呢我们在下一个单元呢还会再解释

它在电学中呢也会见到类似的公式

总之呢这里边

nabla点乘F

后面我们就把它叫做divergence 散度

which we shall explain in the sequel

在下个单元中还会解释它

微积分-2课程列表：

Chapter 1 Improper Integrals 广义积分 (first part)

-Introduction (课程介绍)

--Introduction

-Unit 1 Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 1)

--Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 1)

--Exercises-1-1-1

-Unit 1 Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 2)

--Definition of Improper Integrals (广义积分的定义)(section 2)

--Exercises-1-1-2

-1-1讲义

-Unit 2 Examples of Improper Integrals (广义积分的例子)

--Video-1-2 Examples of Improper Integrals (广义积分的例子)

--Exercise-1-2

-1-2讲义

Chapter 1 Improper Integrals 广义积分 (second part)

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)

--Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)

--Exercises-1-3-1

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 1)--作业

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)

--Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)

--Exercises-1-3-2

- Unit 3 Tests of Convergence(收敛性判别)(section 2)--作业

-1-3讲义

-Unit 4 Absolute Convergence and Conditional Convergence (绝对收敛和条件收敛)

--Absolute Convergence and Conditional Convergence (绝对收敛和条件收敛)

--Exercise-1-4

--1-4讲义

-Test1

Chapter 2 Infinite Series 无穷级数(first part)

-Unit 1 Infinite Series and Their Convergence（无穷级数及其收敛性）

--Infinite Series and Their Convergence (无穷级数及其收敛性)

--Exercises-2-1

--2-1讲义

-Unit 2 Absolute Convergence and Conditional Convergence （绝对收敛与条件收敛）

--Absolute Convergence and Conditional Convergence （绝对收敛与条件收敛）

--Exercises-2-2

--2-2讲义

-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 1）

--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 1）

--Exercises-2-3-1

-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 2）

--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 2）

--Exercises-2-3-2

-Unit 3 More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 3）

--More Tests for Convergence (更多的收敛性判别法)（section 3）

--Exercises-2-3-3

--2-3讲义

-Test2

Chapter 2 Infinite Series 无穷级数 (second part)

-Unit 4 Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 1）

--Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 1）

--Exercises-2-4 (section 1)

-Unit 4 Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 2）

-- Sequences and Series of Founctions(函数项数列与函数项级数)（section 2）

--Exercises-2-4 (section 2)

--2-4讲义

-Unit 5 Uniform Convergence(一致收敛性)（section 1）

--Uniform Convergence（一致收敛性）（section 1）

--Exercises-2-5(section 1)

-Unit 5 Uniform Convergence(一致收敛性)（section 2）

--Uniform Convergence(一致收敛性)（section 2）

--Exercises-2-5（section 2）

--2-5讲义

Chapter 3 Power Series and Fourier Series 幂级数和Fourier级数 (first part)

-Unit 1 Power Series (幂级数)(section 1)

--Power Series (幂级数) (section 1)

--Exercise-3-1(section 1)

-Unit 1 Power Series (幂级数）(section 2)

--Power Series (幂级数）(section 2)

--Exercise-3-1 (section 2)

--3-1讲义

-Unit 2 Expansion of Functions in Power Series (函数的幂级数展开)

--Expansion of Functions in Power Series(函数的幂级数展开)

--Exercise-3-2

--3-2讲义

-Unit 3 Fourier Expansion (Fourier级数展开) (section 1)

--Fourier Expansion(Fourier级数展开)(section 1)

--Exercise-3-3(section 1)

-Unit 3 Fourier Expansion (Fourier级数展开) (section 2)

--Fourier Expansion(Fourier级数展开)(section 2)

--Exercise-3-3(section 2)

--3-3讲义

Chapter 3 Power Series and Fourier Series 幂级数和Fourier级数 (second part)

-Unit 4 Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 1)

--Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 1)

--Exercise-3-4(section 1)

-Unit 4 Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 2)

--Convergence of Fourier Series(Fourier 级数的收敛性)(section 2)

--Exercise-3-4(section 2)

--3-4讲义

-Unit 5 Other Forms of Fourier Series(其他形式的Fourier级数)

--Other Forms of Fourier Series(其他形式的Fourier级数)

--Exercise-3-5

--Test3

--3-5讲义

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (first part)

-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 1)

--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 1)

--Exercise-4-1-1

-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 2)

--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 2)

--Exercise-4-1-2

-Unit 1 Euclidean Space (欧几里德空间) (section 3)

--Euclidean Space (欧几里德空间) (section 3)

--Exercise-4-1-3

--4-1讲义

-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 1)

--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 1)

--Exercise-4-2-1

-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 2)

--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 2)

--Exercise-4-2-2

-Unit 2 Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 3)

--Curves and Surfaces (曲线与曲面) (section 3)

--4-2讲义

-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 1)

--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 1)

--Exercise-4-3-1

-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 2)

--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 2)

--Exercise-4-3-2

-Unit 3 Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 3)

--Point-Set Topology of E3 (E3中的点集拓扑) (section 3)

--Exercise-4-3-3

--4-3讲义

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (second part)

-Unit 4 Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 1)

--Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 1)

--Exercise-4-4-1

-Unit 4 Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 2)

--Completeness and Connectness (完备性与连通性) (section 2)

--Exercise-4-4-2

--4-4讲义

-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 1)

--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 1)

--Exercise-4-5-1

-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 2)

--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 2)

--Exercise-4-5-2

-Unit 5 Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 3)

--Continuous Multivariable Functions (连续多元函数) (section 3)

--Exercise-4-5-3

--4-5讲义

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (third part)

-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 1)

--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 1)

--Exercise-4-6-1

-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 2)

--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 2)

--Exercise-4-6-2

-Unit 6 Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 3)

--Partial Derivatives and Differentiability (偏导数与可微性) (section 3)

--Exercise-4-6-3

--4-6讲义

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 1)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 1)

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 2)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 2)

--Exercise-4-7-1

--Exercise-4-7-2

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 3)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 3)

--Exercise-4-7-3

-Unit 7 Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 4)

--Jacobian Matrix and Directional Derivatives (雅克比矩阵与方向导数) (section 4)

--Exercise-4-7-4

--4-7讲义

-Test1

Chapter 4 Differentiations of Multivariable Functions 多元函数微分学 (fourth part)

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 1)

--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 1)

-Exercise-4-8-1

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 2)

--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 2)

-Exercise-4-8-2

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)

--Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)

--4-8讲义

-Unit 8 Taylor's Theorem (泰勒定理) (section 3)--作业

-Unit 9 Applications of Gradients (梯度的应用) (section 1)

--Applications of Gradients (梯度的应用) (section 1)

-Unit 9 Applications of Gradients (梯度的应用) (section 2)

--Applications of Gradients (梯度的应用) (section 2)

--Exercise-4-9-2

--4-9讲义

Chapter 5 Multiple Integrals 重积分 (first part)

-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 1)

--Multiple Integrals (重积分) (section 1)

-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 2)

--Multiple Integrals (重积分) (section 2)

--Exercise-5-1-2

-Unit 1 Multiple Integrals (重积分) (section 3)

--Multiple Integrals (重积分) (section 3)

--Exercise-5-1-3

--5-1讲义

-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 1)

--Triple Integrals (三重积分) (section 1)

--Exercise-5-2-1

-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 2)

--Triple Integrals (三重积分) (section 2)

--Exercise-5-2-2

-Unit 2 Triple Integrals (三重积分) (section 3)

--Triple Integrals (三重积分) (section 3)

--Exercise-5-2-3

--5-2讲义

-Unit 3 Line Integrals (曲线积分) (section 1)

--Line Integrals (曲线积分) (section 1)

--Exercise-5-3-1

-Unit 3 Line Integrals (曲线积分) (section 2)

--Line Integrals (曲线积分) (section 2)

--Exercise-5-3-2

--5-3讲义

Chapter 5 Multiple Integrals 重积分 (second part)

-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 1)

--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 1)

--Exercise-5-4-1

-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 2)

--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 2)

--Exercise-5-4-2

-Unit 4 Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 3)

--Surface Integrals (I) (第一型曲面积分) (section 3)

--Exercise-5-4-3

-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 1)

--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 1)

-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 2)

--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 2)

--5-4讲义

-Unit 5 Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 3)

--Surface Integrals (II) (第二型曲面积分) (section 3)

--Exercise-5-5-1

--5-5讲义

Chapter 5 Multiple Integrals 重积分 (last part)

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 1)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 1)

--Exercise-5-6-1

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 2)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 2)

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 3)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 3)

--Exercise-5-6-2

--Exercise-5-6-3

--5-6讲义

-Unit 6 Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 4)

--Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 4)

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 1)

--Field Theory (场论) (section 1)

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 2)

--Field Theory (场论) (section 2)

--Exercise-5-7-1

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 3)

--Field Theory (场论) (section 3)

-Unit 7 Field Theory (场论) (section 4)

--Field Theory (场论) (section 4)

--Exercise-5-7-2

--Test5

--5-7讲义

Some Theorems of Line and Surface Integrals (曲线与曲面积分的几个定理) (section 2)在线视频